Construcción de funciones a partir de condiciones dadas

ENUNCIADO. Obtener los valores de los coeficientes $a,b$ y $c$ para que la gráfica de la función $f(x)=a\,x^3+b\,x+c$ pase por el origen de coordenadas y presente un máximo local en el punto $A(1,-1)$

SOLUCIÓN.
Impongamos las condiciones:
i) $f(0)=0 \Rightarrow c=0$
ii) Teniendo en cuenta que $f'(x)=3\,a\,x^2+b$, luego $f'(1)=0 \Rightarrow 3\,a+b=0 \quad (1)$
iii) $f(1)=-1$, por tanto $a+b=-1 \quad (2)$

Resolviendo el sistema de ecuaciones dado por (1) y (2), obtendremos los valores de $a$ y $b$ $$\left\{\begin{matrix}a&+&b&=&-1 \\ 3\,a&+&b&=&0 \end{matrix}\right. \overset{e_2-e_1\,\rightarrow e_2}{\sim} \left\{\begin{matrix}a&+&b&=&-1 \\ 2\,a&&&=&1 \end{matrix}\right. \sim \left\{\begin{matrix}&&b&=&-\dfrac{3}{2} \\ a&&&=&\dfrac{1}{2} \end{matrix}\right.$$ En consecuencia, $$f(x)=\dfrac{1}{2}\,x^3-\dfrac{3}{2}\,x$$
$\square$