procesos de demostración ...

[nota del autor]

recta tangente a la gráfica de una función en un punto dado ... ( Artículo escrito en catalán )

Enunciat:
Determineu l'equació de la recta tangent a la corba que ve donada per la funció $f(x)=3\,x^4$, en el punt d'abscissa $x=-1$

Resolució:
Cal trobar els valors dels coeficients $m$ (pendent de la r.t.) i $k$ (ordenada a l'origen) de la r.t. $y=m\,x+k \quad \quad (1)$

El pendent de la r.t. $m$ en el punt d'abscissa $x=-1$ és igual al valor de la derivada de la funció per a aquest valor de la variable independent: $f^{'}(-1)$.

Calculem, per tant, la funció derivada de $f(x)=3\,x^4$, fent ús de les regles de derivació:
    $f^{'}(x)=12\,x^3$
D'aquí, traiem, doncs, el valor de $m$, que és igual a
    $f^{'}(-1)=-12$

Finalment, cal determinar el valor de $k$. Com que $P\big(-1,f(-1)\big)$ és un punt de la r.t. i també de la corba, s'ha de complir que
    $f(-1)=-12\,x+k$
i, donat que, $f(-1)=3$
    $3=-12\cdot (-1)+k$
i, aïllant $k$ d'aquesta equació
    $k=-9$

Finalment, substituint els valors trobats de $k$ i $m$ a l'expressió (1)
$\text{rt:}\,y=-12\,x-9$
$\square$

[nota del autor]

¿Qué error porcentual se comete al sustituir el seno de $20^{\circ}$ por el valor de dicho ángulo expresado en radianes ? Repetir el mismo cálculo para el caso de la tangente.

Enunciado:
¿Qué error porcentual se comete al sustituir el seno de $20^{\circ}$ por el valor de dicho ángulo expresado en radianes ? Repetir el mismo cálculo para el caso de la tangente.

Solución:

Sea el valor nominal de una cierta magnitud, $x^{*}$, y denominemos por $x$ un valor aproximado de $x^{*}$. Entonces, se define el error absoluto de la aproximación $x \approx x^{*}$ como
    $E=\left|x-x^{*}\right|$
y el error relativo de la forma
    $e=\dfrac{E}{x^{*}}\approx \dfrac{E}{x}$

  (a)
Expresemos el valor del ángulo dado en radianes:
    $20^{\circ}=20\cdot \dfrac{\pi}{180}=\dfrac{\pi}{9}\,\text{rad}$
entonces, al hacer la aproximación
    $\sin\,\dfrac{\pi}{9} \approx \dfrac{\pi}{9}$
obtenemos el siguiente error absoluto
    $E=\left|\sin\,\dfrac{\pi}{9}-\dfrac{\pi}{9}\right|\approx 0,007046$
siendo el error relativo
    $e=\dfrac{\dfrac{\pi}{9}}{\sin\,\dfrac{\pi}{9}} \approx 0,0206 \rightarrow 2,06 \,\% $

  (b)
De la aproximación
    $\tan\,\dfrac{\pi}{9} \approx \dfrac{\pi}{9}$
obtenemos el siguiente error absoluto
    $E=\left|\tan\,\dfrac{\pi}{9}-\dfrac{\pi}{9}\right|\approx 0,014904$
siendo el error relativo
    $e=\dfrac{\dfrac{\pi}{9}}{\tan\,\dfrac{\pi}{9}} \approx 0,040949 \rightarrow 4,09 \,\% $

Referencias: Ejercicio ( 1.6, página 14 ) propuesto en el libro de J.L. Meriam, Mecánica para Ingenieros, Editorial Reverté, Barcelona, 1988.

$\square$

[nota del autor]

Geometrías no euclídeas

[ programa divulgativo RNE/UNED ]

Consideremos una aplicación lineal $f:\,\mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}^3$ dada por $f(x_1,x_2)=(x_1-x_2\,,\,x_1+2\,x_2,2\,x_1-3\,x_2)$ Determinar la matriz de dicha aplicación lineal.

ENUNCIADO.
Consideremos una aplicación lineal
    $f:\,\mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}^3$
dada por
    $f(x_1,x_2)=(x_1-x_2\,,\,x_1+2\,x_2,2\,x_1-3\,x_2)$, tomando la base canónica $\{(1,0),\vec(0,1)\}$ de $\mathbb{R}^2$ y la base canónica $\{(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)\}$ de $\mathbb{R}^3$
Determinar la matriz de dicha aplicación lineal.

SOLUCIÓN.
Calculando las imágenes de los vectores de la base de $\mathbb{R}^2$, encontramos:
$$f((1,0))=(1-0,1+2\cdot 0,2\cdot 1-3\cdot 0)=(1,1,2)$$
$$f((0,1))=(0-1,0+2\cdot 1,2\cdot 0-3\cdot 1)=(-1,2,-3)$$
Entonces, disponiendo dichos vectores en columna y en el mismo orden que los hemos calculado, encontramos la matriz asociada a la aplicación lineal $$A_{3 \times 2}=\begin{pmatrix}1 & -1 \\1 & 2 \\ 2 & -3\end{pmatrix}$$

Otra forma de hacerlo:
Deberá cumplirse el siguiente producte de matrices (que expresa el sistema de ecuaciones lineales)

$$A \cdot\begin{pmatrix}\begin{matrix}x_1 \\ x_2 \\ \end{matrix}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\begin{matrix}x_1-x_2 \\ x_1+x_2 \\ 2\,x_1-3\,x_2 \end{matrix}\end{pmatrix}$$

En el primer miembro de esta igualdad encontramos el producto de la matríz $A$ por una matriz $( 2 \times 1 ) $ y el resultado ( segundo miembro ) es una matriz $( 3 \times 1 ) $. Luego, de acuerdo con el producto matricial, la matriz de la aplicación lineal $A$, debe tener $3$ filas y $2$ columnas, $( 3 \times 2 ) $ con los siquientes coeficientes:

$$A_{3 \times 2}=\begin{pmatrix}\begin{matrix} 1 & -1 \\ 1 & 2 \\ 2 & -3 \end{matrix}\end{pmatrix}$$

$\square$

Resolver la integral indefinida $\displaystyle \int \, \arcsin{x}\,dx$

Enunciado:
Resolver la integral indefinida
    $\displaystyle \int \, \arcsin{x}\,dx$

Solución:
Utilizaremos en este caso la técnica de integración por partes
    $\int \, u\,dv = u\,v -\int\,v\,du$
Designando:
    $u=\arcsin{x} \Rightarrow du=\dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}\,dx$
    $dv=dx \Rightarrow v=x$
vemos que
    $\displaystyle \int \, \arcsin{x}\,dx=x\,\arcsin{x}-\int\,\dfrac{x\,dx}{\sqrt{1-x^2}} \quad \quad \quad (1)$
Calcularemos ahora la integral del segundo miembro, haciendo el cambio de variable $x=\sin{w} \Rightarrow dx=\cos{w}\,dw$, con lo cual
   
$\displaystyle \int\,\dfrac{x \,dx}{\sqrt{1-x^2}}=
\int \,\dfrac{\sin{w}\,\cos{w}\,dw}{\sqrt{1-\sin^2 \,w}}=
\int\,\dfrac{\sin{w}\,\cos{w}\,dw}{\cos{w}}=\int\,\sin{w}\,dw$
        $=-\cos{w}+k_1 = \{\text{deshaciendo el cambio}\}=-\sqrt{1-x^2}+k_2$
Y, sustituyendo este resultado en (1), llegamos a
    $\displaystyle \int \, \arcsin{x}\,dx=x\,\arcsin{x}+\sqrt{1-x^2}+C$
$\square$

[nota del autor]

Resolver la integral indefinida $\displaystyle \int \, \dfrac{2^{x}\,dx}{\cos^2\,2^x}$

Enunciado:
Resolver la integral indefinida
    $\displaystyle \int \, \dfrac{2^{x}\,dx}{\cos^2\,2^x}$

Solución:
Haciendo el cambio de variable
    $2^{x}=t \Rightarrow dt=\ln\,2\cdot 2^x\,dx$
por tanto la integral pedida se transforma en
    $\displaystyle \int \, \dfrac{2^{x}\,dx}{\cos^2 \,2^x}=\frac{1}{\ln\,2} \,\int\,\dfrac{dt}{\cos^2\,t}=\dfrac{1}{\ln \,2} \, \tan{t}+k$
Deshaciendo, finalmente, el cambio de variable
    $\displaystyle \int \, \dfrac{2^{x} \,dx}{ \cos^2 \,2^x}= \dfrac{1}{\ln \,2} \, \tan {2^x}+C$

$\square$

[nota del autor]

Resolver la integral indefinida $\displaystyle \int \, \dfrac{5\,e^{2x}\,dx}{7-3\,e^{2x}}$

Enunciado:
Resolver la integral indefinida
    $\displaystyle \int \, \dfrac{5\,e^{2x}\,dx}{7-3\,e^{2x}}$

Solución:
Haciendo el cambio de variable
    $e^{2x}=t \Rightarrow dt=2\,e^{2x}\,dx$
luego podemos escribir la integral de la forma
    $\displaystyle \int \, \dfrac{5\,e^{2x}\,dx}{7-3\,e^{2x}}=\frac{5}{2}\,\int\,\dfrac{dt}{7-3\,t}=\frac{5}{2}\cdot\frac{1}{(-3)}\,\int\,\dfrac{-3\,dt}{7-3\,t}=-\frac{5}{6}\,\ln{(7-3\,t)}+k$
Deshaciendo, finalmente, el cambio de variable
    $\displaystyle \int \, \dfrac{5\,e^{2x}\,dx}{7-3\,e^{2x}}=-\frac{5}{6}\,\ln{(7-3\,e^{2x})}+C$

$\square$

[nota del autor]

Resolver la integral indefinida $\displaystyle \int \, \dfrac{e^x\,dx}{\sqrt{1+e^x}}$

Enunciado:
Resolver la integral indefinida
    $\displaystyle \int \, \dfrac{e^x\,dx}{\sqrt{1+e^x}}$

Solución:
Haciendo el cambio de variable
    $e^x=t \Rightarrow dt=e^x\,dx$
podemos escribir
    $\displaystyle \int \, \dfrac{e^x\,dx}{\sqrt{1+e^x}}=\int\,\dfrac{dt}{\sqrt{t+1}}$
y, a su vez, con éste otro cambio, $1+t=u^2 \Rightarrow dt=2\,u\,du$, llegamos a
    $\displaystyle \int \, \dfrac{e^x\,dx}{\sqrt{1+e^x}}=\int\,\dfrac{dt}{\sqrt{t+1}}=\int\,\dfrac{2\,u\,du}{u}=2\,\int\,du=2\,u+k_1$
Deshaciendo ahora los cambios por orden inverso
    $2\,u+k_1=2\,\sqrt{1+t}+k_2=2\,\sqrt{e^x+1}+C$
vemos que
    $\displaystyle \int \, \dfrac{e^x\,dx}{\sqrt{1+e^x}}=2\,\sqrt{e^x+1}+C$
$\square$

[nota del autor]

Resolver la integral indefinida $\displaystyle \int \, \dfrac{1}{x^2+9}$

Enunciado:
Resolver la integral indefinida
    $\displaystyle \int \, \dfrac{1}{x^2+9}$

Solución:
    $\displaystyle \int \, \dfrac{1}{x^2+9}=\int \, \dfrac{\frac{1}{9}\,dx }{\big(\frac{x}{3}\big)^2+1}$
y haciendo el cambio de variable
    $\dfrac{x}{3}=t \Rightarrow dx=3\,dt$
obtenemos
    $\displaystyle \frac{1}{3}\,\arctan{t}+k$
deshaciendo finalmente el cambio de variable llegamos a
    $\displaystyle \int \, \dfrac{1}{x^2+9}=\frac{1}{3}\,\arctan{\frac{x}{3}}+C$
$\square$

[nota del autor]

Resolver la integral indefinida $\displaystyle \int \dfrac{2\,x\,dx}{\sin^2 (x^2+1)}$

Enunciado:
Resolver la integral indefinida
    $\displaystyle \int \dfrac{2\,x\,dx}{\sin^2 (x^2+1)}$

Enunciado:
Se trata de una integral semi inmediata; en efecte, mediante el cambio de variable
    $x^2+1=t$
tenemos que
    $dt=2\,x\,dx$
por lo que la integral objetivo se transforma en
    $\displaystyle \int \dfrac{dt}{\sin^2 t}$
cuya familia de primitivas es
    $-\dfrac{1}{\tan{t}}+k$
y, deshaciendo el cambio, queda
    $\displaystyle \int \dfrac{2\,x\,dx}{\sin^2 (x^2+1)}=-\dfrac{1}{\tan{(x^2+1)}}+C$
$\square$

[nota del autor]

Calcular la integral indefinida

Enunciado:
Calcular la integral indefinida
    $\displaystyle \int \, \dfrac{1}{x^2+x+1}\,dx$

Solución:
La función del integrando es de tipo racional y su polinomio tiene raíces complejas, con lo cual no podemos descomponer la función
    $\dfrac{1}{x^2+x+1}$
en suma de funciones racionales, que sería la vía estándar a seguir.
Esto nos lleva a probar otro camino de resolución alternativo, que es el siguiente. Podemos expresar el polinomio del denominador de la fracción racional del integrando de la siguiente forma
    $x^2+x+1=\big(x+\dfrac{1}{2}\big)^2-\dfrac{1}{4}+1$
que es igual a
    $x^2+x+1=\big(x+\dfrac{1}{2}\big)^2+\dfrac{3}{4}$
luego la función del integrando se puede escribir de la forma
    $\dfrac{1}{\big(x+\dfrac{1}{2}\big)^2+\dfrac{3}{4}}$
y, por tanto, la integral objetivo es igual a
    $\displaystyle \int \, \dfrac{1}{\big(x+\dfrac{1}{2}\big)^2+\dfrac{3}{4}}\,dx$
y haciendo el cambio de variable
    $x+\dfrac{1}{2}= t$
llegamos a
    $\displaystyle \int \, \frac{1}{t^2+\dfrac{3}{4}}\,dt=\int \, \dfrac{\frac{4}{3}}{\frac{4}{3}\,t^2+\frac{4}{3}\cdot \frac{3}{4}}\,dt=\frac{4}{3}\,\int \, \dfrac{1}{\big(\frac{2\,t}{\sqrt{3}}\big)^2+1} \,dt$
y, a su vez, haciendo un segundo cambio
    $w=\frac{2\,t}{\sqrt{3}}$
nos queda
    $\displaystyle \frac{4}{3}\,\dfrac{\sqrt{3}}{2}\int \, \dfrac{1}{w^2+1} \,dw$
que es igual a
    $\dfrac{2}{\sqrt{3}}\,\arctan\,w+C_1$
Habiendo resuelto ya el problema de integración, procedemos ahora a deshacer los cambios de variable por orden inverso a los pasos realizados, llegando a
    $\dfrac{2}{\sqrt{3}}\,\arctan\,\dfrac{2\,t}{\sqrt{3}} +C_2$
    $\dfrac{2}{\sqrt{3}}\,\arctan\,\dfrac{2\,(x+\frac{1}{2}}{\sqrt{3}} +C$
es decir
    $\dfrac{2}{\sqrt{3}}\,\arctan\,\dfrac{2\,x+1}{\sqrt{3}} +C$
que es igual a la familia de primitivas de la función del integrando.
$\square$

[nota del autor]

Resolución de ecuaciones trascendentes con MAXIMA

MAXIMA permite encontrar la solución de ecuaciones logarítmicas y exponenciales (e. trascendentes) haciendo uso de la instrucción solve ( igual que en el caso de las ecuaciones algebraicas ). Vamos a mostrar aquí algunos ejemplos muy sencillos.

Ejemplo 1:

Sea la ecuación $\ln{(2+x)}=3$
Para obtener la solución con MAXIMA, editamos la ecuación en la linea de entrada, tecleando:
          (%i1) solve(log(2+x)=3,x);
y MAXIMA responde:
          (%o1) [x=%e^3-2]
es decir, la solución es
$x=e^3-2$

Ejemplo 2:

Consideremos la ecuación $2^x=5$
Tecleamos:
          (%i2) solve(2^x=5,x);
y la respuesta de MAXIMA es:
          (%o2)
                    $\left[ x={{\log 5}\over{\log 2}} \right]$
por tanto
$x=\dfrac{\ln{5}}{\ln{2}}$

Nota:   Recordemos que para obtener la expresión decimal aproximada ( con una precisión estándar de 16 cifras significativas ) debemos hacer uso de la instrucción
          (%i3) %o2,numer;
obteniendo
          (%o3) 2.321928094887362

Ejemplo 3:

Sea la ecuación $7^{x^2+1}=1$
La editamos en la linea de entrada:
          (%i4) solve(7^(x^2+1)=1,x);
I MAXIMA responde:
          (%o4) $\left[ x=-i , x=i \right]$
es decir
$x=\pm \, i \in \mathbb{C}$
Com puede verse, en este caso, la solución pertenece al cuerpo de los números complejos.
$\square$

[nota del autor]

Hallar la ecuación implícita (o general) de un plano que pasa por tres puntos

Enunciado:
Consideremos el espacio afín formado por espacio vectorial estándar $(\mathbb{R}^{3},+,\cdot_{\mathbb{R}})$ sobre el cuerpo de los números reales $\mathbb{R}$ con el siguiente sistema de referencia:
    i) El origen de coordenadas situado en el punto $O(0,0,0)$
    ii)La base $\mathcal{C}$ del espacio vectorial $(\mathbb{R}^{3},+,\cdot_{\mathbb{R}})$ es la formada por los vectores
            $\mathcal{C}=\{e_1=(1,0,0)\,,\,e_2=(0,1,0)\,,\,e_3=(0,0,1)\}$
                ( que es la base estándar o canónica).
Determinar la ecuación implícita del plano que pasa por los siguientes puntos:
              $P(1,0,0)$, $Q(0,1,0)$ y $R(0,0,1)$

Solución:
Antes de empezar, recordemos que la ecuación del plano $\pi$ en forma implícita viene dada por
    $\pi:\, A\,x+B\,y+C\,z+D=0$
siendo nuestro objetivo determinar los valores de los coeficientes $A$, $B$, $C$ y $D$. Esto se hará de la siguiente manera.

Al pertenecer los puntos
    $P(x_P,y_P,z_P)$, $Q(x_Q,y_Q,z_Q)$ i $R(x_R,y_R,z_R)$
a dicho plano, podemos afirmar que los vectores
    $u_1=(P_x-Q_x,P_y-Q_y,P_z-Q_z)$
    $u_2=(P_x-R_x,P_y-R_y,P_z-R_z)$
pertenecen a dicho plano y son linealmente independientes.
Como la dimensión de dicho plano $\pi$, como subespacio vectorial ( o variedad lineal ) es $2$, cualquier otro vector del plano
se podrá expresar como una combinación lineal de estos dos, es decir, estos dos vectores, $v_1$ y $v_2$, constituyen una base del plano.
Por tanto, siendo $(x,y,z)$ las coordenadas de un punto arbitrario del plano, el conjunto de vectores
    $\{(P_x-x,P_y-y,P_z-z), u_1, u_2\}$ tiene rango igual a $2$, luego el siguiente determinante es nulo
    $\begin{vmatrix} P_x-x& P_y - y &P_z - z \\ P_x-Q_x& P_y - Q_y &P_z - Q_z \\ P_x-R_x& P_y - R_y &P_z - R_z \end{vmatrix}$

Con las coordenadas de los puntos dados queda,
    $\begin{vmatrix} 1-x& 0 - y &0 - z \\ 1-0& 0 - 1 &0 - 0 \\ 1-0& 0 - 0 &0 - 1 \end{vmatrix}=0$

Y, resolviendo el determinante, encontramos la ecuación del plano $\pi_{PQZ}$ en forma implícita
    $\pi_{PQZ}:\,x+y+z-1=0$

Por tanto, los valores de los coeficientes de la ecuación implícita son:
    $A=B=C=1$ y $D=-1$
$\square$

Nota 1:   Se demuestra que otra forma de expresar esto es
    $\begin{vmatrix} x&y &z &1\\ x_P&y_P &z_P &1 \\ x_Q&y_Q &z_Q &1 \\ x_R&y_R &z_R &1 \end{vmatrix}=0$
que, en el caso que nos ocupa, se concreta así
    $\begin{vmatrix} x&y &z &1\\ 1&0 &0 &1 \\ 0&1 &0 &1 \\ 0&0 &1 &1 \end{vmatrix}=0$
Calculamos este determinante de orden $4$ desarrollando por los adjuntos de la primera columna
    $\begin{vmatrix} x&y &z &1\\ 1&0 &0 &1 \\ 0&1 &0 &1 \\ 0&0 &1 &1 \end{vmatrix}=x\,\begin{vmatrix} 0&0 &1 \\ 1&0 &1 \\ 0&1 &1 \end{vmatrix}-\begin{vmatrix} y&z &1 \\ 1&0 &1 \\ 0&1 &1 \end{vmatrix}=x-(1-y-z)$
                                                                              $=x+y+z-1$

Nota 2:   Observemos que al proyectar este plano sobre los planos coordenados $Oxy$ ( imponiendo $z=0$ ), $Oyz$ ( haciendo $x=0$ ) i $Oxz$ ( con $y=0$ ) obtenemos las correspondientes rectas:
    $x+y=1$, es decir, la recta $y=-x+1$ ( proyectando en el plano $Oxy$ )
    $z+y=1$, es decir, la recta $z=-y+1$ ( proyectando en el plano $Oyz$ )
    $x+z=1$, es decir, la recta $z=-x+1$ ( proyectando en el plano $Oxz$ )
Estas rectas formen ángulos de $45^{\circ}$ con los ejes respectivos.

[nota del autor]

La suma de tres números naturales es $330$ y sabemos que uno de ellos es el doble de otro y que éste es el triple del tercero. Encontrar estos números.

Enunciado:
La suma de tres números naturales es $330$ y sabemos que uno de ellos es el doble de otro y que éste es el triple del tercero. Encontrar estos números.

Solución:
Lo que se nos dice en el enunciado nos lleva a escribirlo en forma de un sistema de ecuaciones
      $\left.\begin{matrix} x + y + z = 330\\ x = 2y \\ y=3z \end{matrix}\right\}$
Sustituyendo la expresión de $y$ de la tercera ecuación en la segunda obtenemos
      $x=6z$
y, a su vez, sustituyendo ambas en la primera, llegamos a
      $6z+3z+z=330$
y, de ahí, determinamos el valor de $z$, que es $33$
Y, conocido el valor de la incógnita $z$, solo nos queda sustituir en las ecuaciones segunda y tercera para encontrar los valores de las incógnitas restantes, $x$ e $y$, que son
    $y=99$   y   $x=198$
$\square$

[nota del autor]