Ejemplo de interpolación por el método de Lagrange haciendo uso de MAXIMA

[nota del autor]

Aplicar la regla de L'Hôpital para calcular el siguiente límite ... ( Artículo escrito en catalán )

Enunciat:
Calculeu el següent límit
      $\displaystyle \lim_{x \rightarrow 0}\, \dfrac{x^2}{\sin^{2}\,x}$

Solució:
Passant al límit ens trobem amb una indeterminació del tipus zero partit per zero que tractarem fent ús de la regla de l'Hôpital repetidament:
      $\displaystyle \lim_{x \rightarrow 0}\, \dfrac{x^2}{\sin^{2}\,x}=\big(\dfrac{0}{0}\big)=\lim_{x \rightarrow 0}\, \dfrac{(x^2)^{'}}{(\sin^{2}\,x)^{'}}=\lim_{x \rightarrow 0}\, \dfrac{2\,x}{2\,\sin\,x\,\cos\,x}$
        $\displaystyle=\lim_{x \rightarrow 0}\, \dfrac{2\,x}{\sin\,2\,x}=\big(\dfrac{0}{0}\big)=\lim_{x \rightarrow 0}\, \dfrac{(2\,x)^{'}}{(\sin\,2\,x)^{'}}$
        $\displaystyle=\lim_{x \rightarrow 0}\, \dfrac{2}{2\,\cos\,2\,x}=\dfrac{2}{2\,\cos\,(2\cdot 0)}=\dfrac{2}{2\cdot \cos \,0}=\dfrac{2}{2\cdot 1}=1$
$\square$

[nota del autor]

Cálcular el siguiente límite. ( Artículo escrito en catalán )

Enunciat:
Calculeu el següent límit
      $\displaystyle \lim_{x \rightarrow 0}\, x\,\sin\, \dfrac{1}{x}$

Solució:
Tenint en compte que la funció
    $\sin \, \dfrac{1}{x}$
està fitada entre $-1$ i $1$
i que el factor $x$ tendeix a zero quan $x \rightarrow 0$
llavors
      $\displaystyle \lim_{x \rightarrow 0}\, x\,\sin\, \dfrac{1}{x}=0$
$\square$

[nota del autor]

Calcular el límite ...

Enunciado:
Calcular el límite
      $\displaystyle \lim_{x \rightarrow \infty}\, x\,\sin\, x$

Solución:

Teniendo en cuenta que:
    1) la función seno toma valores comprendidos entre $-1$ y $1$ y que cuando $x \rightarrow \infty$ no es posible saber qué valor toma
    2) la función $x$ no es acotada
debemos concluir que el límite pedido no existe.
$\square$

[nota del autor]

Describir el conjunto de puntos de la recta de $\mathbb{R}^3$ que tiene la dirección del vector ...

ENUNCIADO:
Describir el conjunto de puntos de la recta de $\mathbb{R}^3$ que tiene la dirección deL vector $\vec{j}=(0,1,0)$, sabiendo además que pasa por el punto $Q(-1,-1,-1)$.

SOLUCIÓN:
Según la ecuación vectorial ( punto-vector ) de la recta, un punto cualquiera de la misma $P(x,y,z)$, viene dado por
$r:\,(x,y,z)=(-1,-1,-1)+\lambda\,(0,1,0)$, es decir la recta $r$ es el siguiente conjunto ( infinito ) de puntos: $$r:\,\lbrace(-1,\lambda-1,-1):\lambda \in \mathbb{R}\rbrace$$ $\square$

[nota del autor]

Sean las siguientes rectas de $\mathbb{R}^3$ ...

ENUNCIADO:
Sean las siguientes rectas de $\mathbb{R}^3$:
$r:\left\{\begin{matrix}
x &= &\lambda \\
y &= &-\lambda+1 \\
x &= &1 \\
\end{matrix}\right.$ y $s:\left\{\begin{matrix}
x &= &\mu+1 \\
y &= &\mu \\
x &= &0 \\
\end{matrix}\right.$
¿ Se intersecan ?

SOLUCIÓN:
Los vectores de posición de los puntos que pertencen a $r$ son de la forma $(\lambda\,,\,-\lambda+1\,,\,1)\; \forall \lambda \in \mathbb{R}$ y los vectores de los puntos de posición que están sobre $s$ son $(\mu+1\,,\,\mu\,,\,0)\; \forall \mu \in \mathbb{R}$. Supongamos que haya puntos de intersección de ambas rectos, entonces deberá cumplirse que $(\lambda\,,\,-\lambda+1\,,\,1)=(\mu+1\,,\,\mu\,,\,0)$ y por tanto el siguiente sistema de ecuaciones debe ser compatible,
$\left\{\begin{matrix}
\lambda &=&\mu+1 \\
-\lambda+1 &=&\mu&\\
1&=&0
\end{matrix}\right.$
ahora bien, de la última ecuación ( absurdo ) concluimos que es incompatible ( no existe solución ), luego debemos concluir que las rectas $r$ y $s$ no se intersecan. $\square$

[nota del autor]

Calcular el siguiente límite ... ( Artículo escrito en catalán )

Enunciat:
Calculeu el següent límit
      $\displaystyle \lim_{x \rightarrow \infty}\, x\,\tan\, \dfrac{1}{x}$

Solució:
Fent el canvi $w=1/x$ podem escriure
      $\displaystyle \lim_{x \rightarrow \infty}\, x\,\tan\, \dfrac{1}{x}=\lim_{w \rightarrow 0}\, \dfrac{1}{w}\,\tan\,w$
i, en passar al límit, s'obté una indeterminació del tipus $0/0$, que resoldrem fent ús de la tècnica de l'Hôpital
      $\displaystyle \lim_{w \rightarrow 0}\, \dfrac{1}{w}\,\tan\,w=\lim_{w \rightarrow 0}\, \dfrac{(\tan\,w)^{'}}{(w)^{'}}=\lim_{w \rightarrow 0}\, \dfrac{\frac{1}{\cos^{2}\,w}}{1}=\dfrac{1}{\cos^{2}\,0}=\dfrac{1}{1}=1$
$\square$

[nota del autor]

Ejercicio de integración ( indefinida ) de una función racional. ( Artículo escrito en catalán )

Enunciat:
Resoleu
    $\displaystyle \int{\dfrac{x^3+x-1}{x^2-1}\,dx}$

Solució:
La funció integrand $f(x)$ és una funció racional impròpia.
Efectuant la divisió $(x^3+x-1) \div (x^2-1)$
trobem que el polinomi quocient és igual a $x$, i el polinomi residu és $2\,x+1$
i, doncs, pel teorema de la divisió, podem escriure
    $\dfrac{x^3+x-1}{x^2-1}=x+\dfrac{2\,x+1}{x^2-1}$
Llavors, podem escriure la integral de la forma
    $\displaystyle \int{\dfrac{x^3+x-1}{x^2-1}\,dx}=\int{\bigg( x + \dfrac{2\,x+1}{x^2-1}\bigg)\,dx}$
            $= \displaystyle \int{ x \,dx}+\int{ \dfrac{2\,x}{x^2-1}\,dx}+\int{ \dfrac{1}{x^2-1}\,dx}$
i tenint en compte que podem factoritzar el polinomi del denominador de la funció integrand del tercer terme: $x^2-1=(x-1)\,(x+1)$
escriurem
                $\dfrac{1}{x^2-1}$
com la suma de dues fraccions algebraiques
                $\dfrac{1}{x^2-1}=\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{1}{x-1}-\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{1}{x+1}$
Per tant ( i recopilant ), la integral donada
    $\displaystyle \int{\dfrac{x^3+x-1}{x^2-1}\,dx}$
és igual a la següent suma d'integrals ( més senzilles ):
    $\displaystyle \int{ x \,dx}+\int{ \dfrac{2\,x}{x^2-1}\,dx}+\int{ \dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{1}{x-1}\,dx}-\int{ \dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{1}{x+1}\,dx}$
que, integrades, i sumades, menen a
    $\displaystyle \dfrac{1}{2}\,x^2+\ln{\left|x^2-1\right|}+\dfrac{1}{2}\,\ln{\left|x-1\right|}-\dfrac{1}{2}\,\ln{\left|x+1\right|}+C$
        $=\displaystyle \dfrac{1}{2}\,x^2+\ln{\left|x^2-1\right|}+\dfrac{1}{2}\,\ln{\left|\dfrac{x-1}{x+1}\right|}+C$
on $C$, per ser la constant d'integració, és qualsevol nombre real.
$\square$

[nota del autor]

Una cuestión sobre continuidad de una función en ... ( Artículo escrito en catalán ).

Enunciat:
És contínua la funció
    $f(x)=\sin \, \dfrac{1}{x}$
en el punt d'abscissa $x=0$ ?

Solució:
La funció sinus no està definida per a $x=0$ perquè s'anul·la el denominador, llavors la funció no és contínua en aquest punt. Hem acabat.
$\square$

[nota del autor]

Ejemplo de demostración por el método de inducción. ( Artículo escrito en catalán )

Enunciat:
Demostreu, per inducció, la següent propietat:
    $1+5+9+\ldots+(4\,n-3)=n\,(2\,n-1) \quad \quad \text{on} \quad n \in \mathbb{N}$

Solució:
Seguint els tres passos del mètode de demostració per inducció tenim. Aquests passos són els següents:

  i) És evident que la propietat és certa per a $n=1$, és a dir, es compleix $\mathcal{P}_1$

  ii) Suposem, ara, que la propietat $\mathcal{P}_n$ és certa ( suposem que és certa la proposició donada, és a dir, la igualtat donada a l'enunciat )

  iii) Provarem, a continuació, que la propietat també és certa per a $n+1$, és a dir, provarem que es compleix $\mathcal{P}_{n+1}$. Fet això, d'acord amb el principi dit d'inducció, quedarà demostrada la proposició $\mathcal{P}$ per a qualsevol valor de $n$. Partint, doncs, de l'expressió del primer membre de la igualtat donada (   $\mathcal{P}_n$   ) , sumem el terme $4\,(n-3)+4$ al primer membre (sumem el valor del terme consecutiu de la successió aritmètica de diferència igual a $4$), obtenint
  $\bigg(1+5+9+\ldots+\big(4\,n-3\big)\bigg)+\big((4\,n-3)+4\big)$
i, segons $\mathcal{P}_n$, és igual a
    $n\,(2\,n-1)+\big((4\,n-3)+4\big)$
expressió que és igual a
    $2\,n^2+3\,n+1$
i, factoritzada (nota), queda
    $(n+1)\,(2\,n+1)$
on reconeixem la reproducció de l'estructura de la propietat $\mathcal{P}$ per a $n+1$
    $(n+1)\,\big(2\,(n+1)-1\big)$
i, doncs, queda provada $\mathcal{P}$. Hem acabat.
---------------

Nota:  
Per factoritzar el polinomi $2\,n^2+3\,n+1$ en calculem, primer de tot, les arrels o zeros del polinomi (que són els nombres que l'anul·len) i, per acabar, aplicarem el teorema de factorització.

Resolem, doncs, l'equació $2\,n^2+3\,n+1=0$ per determinar les seves arrels. L'equació és polinòmica de 2n grau, i ja ve expressada en forma completa (o general) $a\,x^2+b\,x+c=0$, amb coeficients: $a=2$, $b=3$ i $c=1$
veiem que el discriminant $\Delta=b^2-4\,a\,c$ que és igual a $3^2-4 \cdot 2 \cdot 1 = 1$, que és un nombre positiu, i, per tant, veiem que hi ha dos nombres reals (diferents) com a solució, que són els següents:
      $\dfrac{-3\pm \sqrt{\Delta}}{2 \cdot 2}=\dfrac{-3\pm 1}{4}$
Obtenim, doncs, les següents arrels del polinomi
    $n_1=-\dfrac{1}{2} \quad \text{i} \quad n_2=-1$
llavors, pel teorema de factorització podem escriure
    $2\,n^2+3\,n+1=2\,\big(n-n_1\big)\,\big(n-n_2\big)$
és a dir
    $2\,n^2+3\,n+1=2\,\big(n-(-\dfrac{1}{2}\big)\,\big(n-(-1)\big)$
        $=2\,\bigg(n+\dfrac{1}{2}\bigg)\,\big(n+1)\big)$
        $=(n+1)\,\big(2\,(n+1)-1\big)$
        $=(n+1)\,\big(2\,n+1\big)$
$\square$

Ejercicio de cálculo de la matriz inversa por el método de Gauss-Jordan. ( Artículo escrito en catalán )

Enunciat:
Determineu la matriu inversa $A^{-1}$ de la següent matriu regular ( no singular )
    $A=\begin{pmatrix}1 & -2 & 0 \\ 3 & 1 & 2 \\ 2 & 4 & 3 \\ \end{pmatrix}$

Enunciat:
Farem ús del mètode de reducció de Gauss-Jordan
    $(A|I)=\ldots =(I|A^{-1})$
on $I$ és la matriu identitat
        $I=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1\\\end{pmatrix}$

Mitjançant operacions elementals per files, procedirem a reduir la matriu $(A|I)$ fins arribar a obtenir $(I|\square)$; de tal manera que totes les operacions elementals que apliquem a la part esquerra de $(A|I)$ ( i de les reduïdes que anem obtenint ) les aplicarem també a la part de la dreta. Primer de tot, esglaonarem amb zeros per sota (respectivament, pel damunt) de la diagonal principal i, a continuació, pel damunt (respectivament, per sota). Finalment, normalitzarem els coeficients de la diagonal principal i haurem arribat a la matriu reduïda $(I|\square)$ on la matriu designada amb el quadrat serà, precisament, la matriu inversa de $A$ ( $\square \equiv A^{-1}$ ).

Comencem:
    $(A|I)=\begin{pmatrix}1 & -2 & 0 & | & 1 & 0 & 0\\ 3 & 1 & 2 & | & 0 & 1 & 0\\ 2 & 4 & 3 & | & 0 & 0 & 1\\ \end{pmatrix}$

amb les operacions elementals
$f_2-3\,f_1 \rightarrow f_2$
$f_3-2\,f_1 \rightarrow f_3$
s'obté
    $\begin{pmatrix}1 & -2 & 0 & | & 1 & 0 & 0\\ 0 & 7 & 2 & | & -3 & 1 & 0\\ 0 & 8 & 3 & | & -2 & 0 & 1\\ \end{pmatrix}$
i fent
$f_3-\dfrac{8}{7}\,f_2 \rightarrow f_3$
obtenim
    $\begin{pmatrix}1 & -2 & 0 & | & 1 & 0 & 0\\ 0 & 7 & 2 & | & -3 & 1 & 0\\ 0 & 0 & \frac{5}{7} & | & \frac{10}{7} & -\frac{8}{7} & 1\\ \end{pmatrix}$
amb la qual cosa ja tenim reduïda (esglaonada ) amb zeros la part de sota.

Ara reduïrem la part superior:
$f_2-\dfrac{7}{5}\cdot 2\,f_3 \rightarrow f_2$
    $\begin{pmatrix}1 & -2 & 0 & | & 1 & 0 & 0\\ 0 & 7 & 0 & | & -7 & \frac{21}{5} & -\frac{14}{5}\\ 0 & 0 & \frac{5}{7} & | & \frac{10}{7} & -\frac{8}{7} & 1\\ \end{pmatrix}$
$f_1+\dfrac{1}{7}\cdot 2\,f_2 \rightarrow f_1$
    $\begin{pmatrix}1 & 0 & 0 & | & -1 & \frac{6}{5} & -\frac{4}{5}\\ 0 & 7 & 0 & | & -7 & \frac{21}{5} & -\frac{14}{5}\\ 0 & 0 & \frac{5}{7} & | & \frac{10}{7} & -\frac{8}{7} & 1\\\end{pmatrix}$

I, finalment, normalitzem els coeficients de la diagonal principal:
$\dfrac{1}{7}\cdot f_2 \rightarrow f_2$
$\dfrac{7}{5}\cdot f_3 \rightarrow f_3 $
    $\begin{pmatrix}1 & 0 & 0 & | & -1 & \frac{6}{5} & -\frac{4}{5}\\ 0 & 1 & 0 & | & -1 & \frac{3}{5} & -\frac{2}{5}\\ 0 & 0 & 1 & | & 2 & -\frac{8}{5} & \frac{7}{5}\\\end{pmatrix}$

Per tant
    $A^{-1}=\begin{pmatrix} -1 & \frac{6}{5} & -\frac{4}{5}\\\\ -1 & \frac{3}{5} & -\frac{2}{5}\\\\ 2 & -\frac{8}{5} & \frac{7}{5}\\\end{pmatrix}$

Nota:     Es pot comprovar que $A\,A^{-1}=A^{-1}\,A=I$

$\square$

[nota del autor]

Ejercicio sobre las nociones de continuidad y derivabilidad. ( Artículo escrito en catalán )

Enunciat:
Donada la funció:
    $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}^{+} \cup \{0\} \; , \; x \mapsto \left| \sqrt{\left|x-2\right|} \right|$
Raoneu:
a) És contínua en tot el seu domini d'existència ?
b) És derivable en tot el seu domini d'existència ?

Solució:

a) La funció és contínua en tots els punts del domini d'existència, que és $\mathbb{R}$
b) Malgrat ser contínua en tot el domini d'existència, la funció no és derivable en el punt d'abscissa $x=2$ perquè el límit que defineix la derivada en aquest punt no existeix; en efecte, els límits laterals divergeixen: a $+\infty$ per la dreta, i a $-\infty$ per l'esquerra:
    $\displaystyle \lim_{h \rightarrow 0^+}\, \dfrac{f(2+h)-f(2)}{h} = +\infty$
i
    $\lim_{h \rightarrow 0^-}\, \dfrac{f(2+h)-f(2)}{h}=-\infty$
per tant
    $\displaystyle \nexists \lim_{h \rightarrow 0}\, \dfrac{f(2+h)-f(2)}{h} \Rightarrow \nexists f'(2)$
$\square$

[nota del autor]

Ejemplo de aplicación de un modelo funcional. ( Artículo escrito en catalán )

Enunciat:
Sabem, de la teoria de la gravitació de Newton, que el valor del potencial gravitatori en un punt situat a una distància $d_1$ de la massa que el crea és inversament proporcional a aquesta distància. Us demanem:
    a) A quina distància ( de la massa que crea el camp gravitatori ), $d_2$, el valor de la funció de potencial gravitatori és $10$ vegades més petit que en el punt situat en la primera posició ?

    b) A la distància $d_2$, quantes vegades és més petita la força gravitatòria entre els dos cossos, en relació a la que es dóna a la distància $d_1$ ?

    c) A quina distància de la posició de la massa que crea el camp gravitatori trobaríem que el valor de la funció de potencial gravitatori, i, també, el de la força gravitatòria entre els dos cossos, val zero ?.

Solució:
  a)
Tenint en compte que hi ha una relació de proporcionalitat inversa entre el valor del potencial $V$ creat per una massa en un punt $P$ i la distància $d$ respecte de la posició de la massa
    $V \propto \dfrac{1}{d} \Rightarrow V =\dfrac{k}{d} \Rightarrow V\cdot d = k$
( on $k$ és la constant de proporcionalitat inversa )
per tant, podrem escriure:
    $V_1 \cdot d_1 =V_2 \cdot d_2$
i si, d'acord amb la informació de l'enunciat, $V_1=10\,V_2$
arribem a
    $(10\,V_2) \cdot d_1=V_2 \cdot d_2$
i, simplificant, trobem que
    $d_2=10\,d_1 $

  b)
La força gravitatòria entre els dos cossos és inversament proporcional al quadrat de la distància que els separa,
    $f \propto \dfrac{1}{d^2}$
per tant
    $f_1 \cdot d_{1}^2 =f_2 \cdot d_{2}^2$
és a dir
    $\dfrac{f_2}{f_1}=\dfrac{d_{1}^2 }{d_{2}^2}$
i tenint en compte que
    $d_2=10\,d_1 $
trobem que
    $\dfrac{f_2}{f_1}=\dfrac{d_{1}^2 }{10^2 \cdot d_{1}^2}$
            $=\dfrac{1}{10^2}$
és a dir
    $f_2= \dfrac{f_1}{100}$

  c)
La distància a la qual el valor de la funció de potencial gravitatori s'anul·la i, doncs, també el de la força gravitatòria entre els dos cossos, ha de ser, infinita, atès que el valor de $V$, que és $\frac{k}{d}$, s'anul·la tan sols quan el denominador, $d$, pren un valor infinit ( ja que $k \neq 0$ ).
$\square$

[nota del autor]

Ejercicio de cálculo de la matriz inversa de una matriz regular por el método de la matriz adjunta. ( Artículo escrito en catalán ).

Enunciat:
Determineu la matriu inversa $A^{-1}$ de la següent matriu regular ( no singular )
    $A=\begin{pmatrix}1 & -2 & 0 \\ 3 & 1 & 2 \\ 2 & 4 & 3 \\ \end{pmatrix}$
pel mètode de la matriu adjunta de $A$.

Solució:
Sabem que si $A$ és una matriu regular ( si, i només si, el seu determinant $\left|A\right|$ ) és no nul ).

Comprovarem, doncs, que
    $\left|A\right| \neq 0$
Calculem valor del determinant [ per altra banda, necessitarem més endavant el valor del determinant de $A$, tal i com explicarem de seguida ]:

    $\left|A\right|=\begin{vmatrix}1 & -2 & 0 \\ 3 & 1 & 2 \\ 2 & 4 & 3 \\ \end{vmatrix}$
desenvolupant pels adjunts d'alugna fila/columna( mètode de Laplace ); concretament, escollirem la primera fila ( aprofitant que un dels coeficients és zero per estalviar-nos feina de càlcul ), trobant que
    $\left|A\right|=\begin{vmatrix}1 & -2 & 0 \\ 3 & 1 & 2 \\ 2 & 4 & 3 \\ \end{vmatrix}=\begin{vmatrix}1 & 2 \\ 4 & 3 \\ \end{vmatrix}-(-2=\,\begin{vmatrix}3 & 2 \\ 2 & 3 \\ \end{vmatrix}=-5+2\cdot (9-4)=5$

    $A^{-1}=\dfrac{\text{Adj}(A^t)}{\left|A\right|}$
que, de manera equivalent, també es pot esciure així
    $A^{-1}=\dfrac{\big(\text{Adj}\big)^t}{\left|A\right|}$
atès que $\text{Adj}(A^t)=\big(\text{Adj}(A)\big)^t$
on els coeficients $\alpha_{ij}$ de la matriu $\text{Adj}(A)$ són de la forma
    $\alpha_{ij}=(-1)^{i+j}\,m_{ij}$
essent $m_{ij}$ el el determinant que s'obté de la matriu que resulta de suprimer la i-èssima fila i la j-èssima columna de $a_{ij}$ ( menor complementari de $a_{ij}$ )

Llavors
    $\text{Adj}(A)=\begin{pmatrix}m_{11} & -m_{12} & m_{13} \\ -m_{21} & m_{22} & -m_{23} \\ m_{31} & -m_{32} & m_{33} \\ \end{pmatrix}$

i essent els valors dels menors complementaris,

    $m_{11}=\begin{vmatrix}1 & 2 \\ 4 & 3 \\ \end{vmatrix}=-5$
    $m_{12}=\begin{vmatrix}3 & 2 \\ 2 & 3 \\ \end{vmatrix}=5$
    $m_{13}=\begin{vmatrix}3 & 1 \\ 2 & 4 \\ \end{vmatrix}=10$

    $m_{21}=\begin{vmatrix}-2 & 0 \\ 4 & 3 \\ \end{vmatrix}=-6$
    $m_{22}=\begin{vmatrix}1 & 0 \\ 2 & 3 \\ \end{vmatrix}=3$
    $m_{23}=\begin{vmatrix}1 & -2 \\ 2 & 4 \\ \end{vmatrix}=8$

    $m_{31}=\begin{vmatrix}-2 & 0 \\ 1 & 2 \\ \end{vmatrix}=-4$
    $m_{32}=\begin{vmatrix}1 & 0 \\ 3 & 2 \\ \end{vmatrix}=2$
    $m_{33}=\begin{vmatrix}1 & -2 \\ 3 & 1 \\ \end{vmatrix}=7$

trobem que

    $\text{Adj}(A)=\begin{pmatrix}-5 & -5 & 10 \\ 6 & 3 & -8 \\ -4 & -2 & 7 \\ \end{pmatrix}$

i, per tant, la matriu transposa de la matriu adjunta de $A$ és

    $\big(\text{Adj}(A)\big)^t=\begin{pmatrix}-5 & 6 & -4 \\ -5 & 3 & -2 \\ 10 & -8 & 7 \\ \end{pmatrix}$

Finalment, per acabar el càlcul de $A^{-1}$, tan sols falta dividir pel valor del determinant de $A$, arribant a

    $A^{-1}=\dfrac{1}{5}\,\begin{pmatrix}-5 & 6 & -4 \\ -5 & 3 & -2 \\ 10 & -8 & 7 \\ \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-1 & \frac{6}{5} & -\frac{4}{5} \\ \\ -1 & \frac{3}{5} & -\frac{2}{5} \\\\ 2 & -\frac{8}{5} & \frac{7}{5} \\ \end{pmatrix}$

Nota:     Per comprovar el resultat, tindrem en compte que s'ha de complir
    $A^{-1}\,A=A\,A^{-1}=I$
on $I$ és la matriu identitat
    $I=\begin{pmatrix}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ \end{pmatrix}$
Vegem-ho (per la definició del producte de multiplicació de matrius):
    $\begin{pmatrix}-1 & \frac{6}{5} & -\frac{4}{5} \\ \\ -1 & \frac{3}{5} & -\frac{2}{5} \\\\ 2 & -\frac{8}{5} & \frac{7}{5} \\ \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}1 & -2 & 0 \\ \\ 3 & 1 & 2 \\\\ 2 & 4 & 3 \\ \end{pmatrix} = \ldots = \begin{pmatrix}1 & 0 & 0 \\ \\ 0 & 1 & 0 \\ \\ 0 & 0 & 1 \\ \end{pmatrix} $
i també
    $ \begin{pmatrix}1 & -2 & 0 \\ \\ 3 & 1 & 2 \\\\ 2 & 4 & 3 \\ \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}-1 & \frac{6}{5} & -\frac{4}{5} \\ \\ -1 & \frac{3}{5} & -\frac{2}{5} \\\\ 2 & -\frac{8}{5} & \frac{7}{5} \\ \end{pmatrix} = \ldots = \begin{pmatrix}1 & 0 & 0 \\ \\ 0 & 1 & 0 \\ \\ 0 & 0 & 1 \\ \end{pmatrix} $

$\square$

[nota del autor]

Integración. Aplicación a la obtención de las ecuaciones del movimiento en un caso sencillo. ( Artículo escrito en catalán ).

Integració de l'equació de l'acceleració

Enunciat:
Considereu que la funció $a(t)=t+1$ ( $t$ designa la variable temps ) descriu l'acceleració instantània d'una partícula en un moviment unidimensional i rectilini (al llarg de l'eix $\text{Ox}$). Sabent que a l'instant $t=1 \; \text{s}$, la posició $s$ és igual a $2 \, \text{m}$ (respecte de l'origen), i que, en aquest mateix instant de temps, la velocitat de la partícula és igual a $-1 \;\; \text{m}\,\text{s}^{-1}$, determineu:
    a) la funció que dóna la velocitat en cada instant de temps $v(t)$
            [la funció acceleració instanània $v(t)$ és la funció derivada de la funció velocitat instantània $v(t)$]
    b) la funció que dóna la posició en cada instant de temps $x(t)$
            [la funció velocitat instantània $v(t)$ és la funció derivada de la funció de posició $x(t)$]
    c) els valors de la posició, la velocitat, i l'acceleració per a $t=0 \, \text{s}$

Resolució:

a)     Trobem la funció velocitat a partir de la integral indefinida de la funció acceleració

Per això, cal resodre la integral indefinida

$\displaystyle v(t)=\int \,a(t)\,dt$

de la qual obtenim la família de funcions primitives de $a(t)$

$\{\dfrac{1}{2}\,t^2+t+C\}$

i, d'aquestes, determinarem la f. primitiva que satisfà la condició de l'enunciat: $v(1 \; \text{s})=-1 \; \text{m}\,\text{s}^{-1}$

a partir de la qual, calcularem el valor de la constant d'integració $C$

$-1=\dfrac{1}{2}+1+C$

i, aïllant $C$, trobem

$C=-\dfrac{5}{2} \; \text{m}\,\text{s}^{-1}$

Per tant, deduïm que

$v(t)=\dfrac{1}{2}\,t^2+t-\dfrac{5}{2}$

$\square$


b)     Per determinar la funció de posició $x(t)$ cal resoldre el problema de la integral indefinida de la funció $v(t)$; és a dir,

$\displaystyle \int \,v(t)\,dt$

que, com és ben sabut, és igual a una família de funcions primitives $\{x(t)+D\}$     (on $D$ representa la constant d'integració )

Integrant, trobem fàcilment

$\displaystyle \int \, \big(\dfrac{1}{2}\,t^2+t-\dfrac{5}{2} \big) \, dt = \dfrac{1}{6}\,t^3 - \dfrac{1}{2}\,t^2 - \dfrac{5}{2}\,t + D \quad \quad \quad (1)$

I, imposant la condició inicial $x(1 \; \text{s})=2 \; \text{m}$, determinem el valor de la constant d'integració: $D$

$D=2-\bigg( \dfrac{1}{6}+\dfrac{1}{2}-\dfrac{5}{2}\bigg)$

és a dir

$D=\ldots=\dfrac{23}{6} \; \text{m}$

I, finalment, substituint aquest valor en (1) podem concretar la funció de posició

$x(t)=\dfrac{1}{6}\,t^3 + \dfrac{1}{2}\,t^2 - \dfrac{5}{2}\,t + \dfrac{23}{6}$

c)     Substituint aquest valor de la variable temps a les funcions corresponents obtenim:

      $x(0)=\ldots=\dfrac{23}{6} \; \text{m}$ (la coordenada de posició es pot expressar com la distància a l'origen de coordenades)

      $v(0)=\ldots=-\dfrac{5}{2} \; \text{m}\;\text{s}^{-1}$

      $a(0)=\ldots=1 \; \text{m}\;\text{s}^{-2}$

$\square$

[nota del autor]