domingo, 30 de septiembre de 2018
martes, 25 de septiembre de 2018
domingo, 23 de septiembre de 2018
lunes, 17 de septiembre de 2018
Ejemplos de uso del lenguaje matemático
ENUNCIADO. Exprésese en el lenguaje natural la siguiente proposición $$(\dot{2}) \cap (\dot{3}) = (\dot{6})$$
Nota: Denotamos por $(\dot{n})$ el conjunto de los números enteros múltiplos de $n$, siendo $n$ un número entero.
SOLUCIÓN. La igualdad entre los conjuntos de ambos miembros viene a decir que si para $x\in \mathbb{Z}$ tal que $x \in ((\dot{2}) \cap (\dot{3}))$, entonces $x \in (\dot{6})$; y, recíprocamente, si $x \in \mathbb{Z}$ es tal que $x \in (\dot{6})$, entonces $x \in ((\dot{2}) \cap (\dot{3}))$
En el lenguaje natural, tal como se pide, esto se expresa diciendo que todo número entero no negativo que sea múltiplo de $2$ y también de $3$ ha de ser, a su vez, múltiplo de $6$; y, recíprocamente, todo número entero múltiplo de $6$ ha de ser un múltiplo de $2$ y, también, un múltiplo de $3$
$\square$
Nota: Denotamos por $(\dot{n})$ el conjunto de los números enteros múltiplos de $n$, siendo $n$ un número entero.
SOLUCIÓN. La igualdad entre los conjuntos de ambos miembros viene a decir que si para $x\in \mathbb{Z}$ tal que $x \in ((\dot{2}) \cap (\dot{3}))$, entonces $x \in (\dot{6})$; y, recíprocamente, si $x \in \mathbb{Z}$ es tal que $x \in (\dot{6})$, entonces $x \in ((\dot{2}) \cap (\dot{3}))$
En el lenguaje natural, tal como se pide, esto se expresa diciendo que todo número entero no negativo que sea múltiplo de $2$ y también de $3$ ha de ser, a su vez, múltiplo de $6$; y, recíprocamente, todo número entero múltiplo de $6$ ha de ser un múltiplo de $2$ y, también, un múltiplo de $3$
$\square$
jueves, 13 de septiembre de 2018
Otro ejercicio de cálculo de límites
ENUNCIADO. Calcúlese el siguiente límite $$\displaystyle \lim_{x\rightarrow \pi/2}\,(\tan(x))^{\cos(x)}$$
SOLUCIÓN. Al pasar al límite, nos encontramos con una indeterminación del tipo $\infty^0$, por lo que procedemos a emplear la mimsa técnica que en el ejercicio anterior: sea $L$ el valor de dicho límite ( suponemos que existe ) $$\displaystyle \lim_{x\rightarrow \pi/2}\,(\tan(x))^{\cos(x)}=L$$ entonces, sacando logaritmos en ambos miembros de la igualdad anterior, $$\displaystyle \ln\,(\lim_{x\rightarrow \pi/2}\,(\tan(x))^{\cos(x)})=\ln\,L$$ con lo cual $$\displaystyle L=e^{\ln\,( \displaystyle \lim_{x\rightarrow \pi/2}\,(\tan(x))^{\cos(x)})} \quad \quad (1)$$ Procedamos ahora a calcular $$\displaystyle \ln\,( \displaystyle \lim_{x\rightarrow \pi/2}\,(\tan(x))^{cos(x)})$$ Sabemos que ( propiedad ) $$\displaystyle \ln\,( \displaystyle \lim_{x\rightarrow \pi/2}\,(\tan(x))^{\cos(x)})=\lim_{x\rightarrow \pi/2}\,(\ln\, (\tan(x))^{\cos(x)})$$ lo cual se desarrolla del siguiente modo $$\displaystyle \lim_{x\rightarrow \pi/2}\,(\ln\, (\tan(x))^{\cos(x)})=\displaystyle \lim_{x\rightarrow \pi/2}\,\cos(x)\,\ln\,(\tan(x))=\displaystyle \lim_{x\rightarrow \pi/2}\,\dfrac{\ln\,\tan(x)}{1/\cos(x)}\overset{\dfrac{\infty}{\infty} \rightarrow \text{l'Hôpital}}{=}$$
$$=\displaystyle \lim_{x\rightarrow \pi/2}\,\dfrac{(\ln\,\tan(x))'}{(1/\cos(x))'}=\displaystyle \lim_{x\rightarrow \pi/2}\,\dfrac{((1/\tan(x))\cdot (1/\cos^{2}(x))}{(-1/cos^{2}(x)\cdot (-\sin(x))}=\displaystyle \lim_{x\rightarrow \pi/2}\,\dfrac{1/\tan(x)}{\sin(x)}=$$
$$=\displaystyle \lim_{x\rightarrow \pi/2}\,\dfrac{\cos(x)}{\sin^{2}(x)}=\dfrac{0}{1}=0$$ Así pues, sustituyendo en (1) obtenemos el siguiente resultado $$\displaystyle L=e^{\ln\,( \displaystyle \lim_{x\rightarrow 0}\,(\tan(x))^{\cos(x)})}=e^0=1$$
$\square$
SOLUCIÓN. Al pasar al límite, nos encontramos con una indeterminación del tipo $\infty^0$, por lo que procedemos a emplear la mimsa técnica que en el ejercicio anterior: sea $L$ el valor de dicho límite ( suponemos que existe ) $$\displaystyle \lim_{x\rightarrow \pi/2}\,(\tan(x))^{\cos(x)}=L$$ entonces, sacando logaritmos en ambos miembros de la igualdad anterior, $$\displaystyle \ln\,(\lim_{x\rightarrow \pi/2}\,(\tan(x))^{\cos(x)})=\ln\,L$$ con lo cual $$\displaystyle L=e^{\ln\,( \displaystyle \lim_{x\rightarrow \pi/2}\,(\tan(x))^{\cos(x)})} \quad \quad (1)$$ Procedamos ahora a calcular $$\displaystyle \ln\,( \displaystyle \lim_{x\rightarrow \pi/2}\,(\tan(x))^{cos(x)})$$ Sabemos que ( propiedad ) $$\displaystyle \ln\,( \displaystyle \lim_{x\rightarrow \pi/2}\,(\tan(x))^{\cos(x)})=\lim_{x\rightarrow \pi/2}\,(\ln\, (\tan(x))^{\cos(x)})$$ lo cual se desarrolla del siguiente modo $$\displaystyle \lim_{x\rightarrow \pi/2}\,(\ln\, (\tan(x))^{\cos(x)})=\displaystyle \lim_{x\rightarrow \pi/2}\,\cos(x)\,\ln\,(\tan(x))=\displaystyle \lim_{x\rightarrow \pi/2}\,\dfrac{\ln\,\tan(x)}{1/\cos(x)}\overset{\dfrac{\infty}{\infty} \rightarrow \text{l'Hôpital}}{=}$$
$$=\displaystyle \lim_{x\rightarrow \pi/2}\,\dfrac{(\ln\,\tan(x))'}{(1/\cos(x))'}=\displaystyle \lim_{x\rightarrow \pi/2}\,\dfrac{((1/\tan(x))\cdot (1/\cos^{2}(x))}{(-1/cos^{2}(x)\cdot (-\sin(x))}=\displaystyle \lim_{x\rightarrow \pi/2}\,\dfrac{1/\tan(x)}{\sin(x)}=$$
$$=\displaystyle \lim_{x\rightarrow \pi/2}\,\dfrac{\cos(x)}{\sin^{2}(x)}=\dfrac{0}{1}=0$$ Así pues, sustituyendo en (1) obtenemos el siguiente resultado $$\displaystyle L=e^{\ln\,( \displaystyle \lim_{x\rightarrow 0}\,(\tan(x))^{\cos(x)})}=e^0=1$$
$\square$
Cálculo de límites de funciones
ENUNCIADO. Calcúlese el siguiente límite $$\displaystyle \lim_{x\rightarrow 0}\,(\cos(x))^{1/\sin(x)}$$
SOLUCIÓN. Al pasar al límite, nos encontramos con una indeterminación del tipo $1^\infty$, por lo que procedemos a emplear la técnica habitual para resolverla: sea $L$ el valor de dicho límite ( suponemos que existe ) $$\displaystyle \lim_{x\rightarrow 0}\,(\cos(x))^{1/\sin(x)}=L$$ entonces, sacando logaritmos en ambos miembros de la igualdad anterior, $$\displaystyle \ln\,(\lim_{x\rightarrow 0}\,(\cos(x))^{1/\sin(x)})=\ln\,L$$ con lo cual $$\displaystyle L=e^{\ln\,( \displaystyle \lim_{x\rightarrow 0}\,(\cos(x))^{1/\sin(x)})} \quad \quad (1)$$ Procedamos ahora a calcular $$\displaystyle \ln\,( \displaystyle \lim_{x\rightarrow 0}\,(\cos(x))^{1/\sin(x)})$$ Sabemos que ( propiedad ) $$\displaystyle \ln\,( \displaystyle \lim_{x\rightarrow 0}\,(\cos(x))^{1/\sin(x)})=\lim_{x\rightarrow 0}\,(\ln\, (\cos(x))^{1/\sin(x)})$$ lo cual se desarrolla del siguiente modo $$\displaystyle \lim_{x\rightarrow 0}\,(\ln\, (\cos(x))^{1/\sin(x)})=\displaystyle \lim_{x\rightarrow 0}\,(\dfrac{1}{\sin(x)}\ln\, (\cos(x)))=\displaystyle \lim_{x\rightarrow 0}\,\dfrac{\ln\,\cos(x)}{\sin(x)}\overset{\dfrac{0}{0} \rightarrow \text{l'Hôpital}}{=}$$
$$=\displaystyle \lim_{x\rightarrow 0}\,\dfrac{(\ln\,\cos(x))'}{(\sin(x))'}=\displaystyle \lim_{x\rightarrow 0}\,\dfrac{(-\sin(x)/\cos(x)}{\cos(x)}=\displaystyle \lim_{x\rightarrow 0}\,\dfrac{(-\sin(x)}{\cos^{2}(x)}=-\dfrac{0}{1}=0$$ Así pues, sustituyendo en (1) obtenemos el siguiente resultado $$\displaystyle L=e^{\ln\,( \displaystyle \lim_{x\rightarrow 0}\,(\cos(x))^{1/\sin(x)})}=e^0=1$$
$\square$
SOLUCIÓN. Al pasar al límite, nos encontramos con una indeterminación del tipo $1^\infty$, por lo que procedemos a emplear la técnica habitual para resolverla: sea $L$ el valor de dicho límite ( suponemos que existe ) $$\displaystyle \lim_{x\rightarrow 0}\,(\cos(x))^{1/\sin(x)}=L$$ entonces, sacando logaritmos en ambos miembros de la igualdad anterior, $$\displaystyle \ln\,(\lim_{x\rightarrow 0}\,(\cos(x))^{1/\sin(x)})=\ln\,L$$ con lo cual $$\displaystyle L=e^{\ln\,( \displaystyle \lim_{x\rightarrow 0}\,(\cos(x))^{1/\sin(x)})} \quad \quad (1)$$ Procedamos ahora a calcular $$\displaystyle \ln\,( \displaystyle \lim_{x\rightarrow 0}\,(\cos(x))^{1/\sin(x)})$$ Sabemos que ( propiedad ) $$\displaystyle \ln\,( \displaystyle \lim_{x\rightarrow 0}\,(\cos(x))^{1/\sin(x)})=\lim_{x\rightarrow 0}\,(\ln\, (\cos(x))^{1/\sin(x)})$$ lo cual se desarrolla del siguiente modo $$\displaystyle \lim_{x\rightarrow 0}\,(\ln\, (\cos(x))^{1/\sin(x)})=\displaystyle \lim_{x\rightarrow 0}\,(\dfrac{1}{\sin(x)}\ln\, (\cos(x)))=\displaystyle \lim_{x\rightarrow 0}\,\dfrac{\ln\,\cos(x)}{\sin(x)}\overset{\dfrac{0}{0} \rightarrow \text{l'Hôpital}}{=}$$
$$=\displaystyle \lim_{x\rightarrow 0}\,\dfrac{(\ln\,\cos(x))'}{(\sin(x))'}=\displaystyle \lim_{x\rightarrow 0}\,\dfrac{(-\sin(x)/\cos(x)}{\cos(x)}=\displaystyle \lim_{x\rightarrow 0}\,\dfrac{(-\sin(x)}{\cos^{2}(x)}=-\dfrac{0}{1}=0$$ Así pues, sustituyendo en (1) obtenemos el siguiente resultado $$\displaystyle L=e^{\ln\,( \displaystyle \lim_{x\rightarrow 0}\,(\cos(x))^{1/\sin(x)})}=e^0=1$$
$\square$
sábado, 16 de junio de 2018
Cálculo de probabilidades. Teorema de la probabilidad total. Teorema de Bayes.
ENUNCIADO. En una empresa, el $40\,\%$ de los trabajadores son mujeres. Se sabe que están haciendo un determinado curso de formación el $20\,\%$ de los varones y el $30\,\%$ de las mujeres, respectivamente. Se elige, al azar, una persona que trabaje en la empresa. Se pide la probabilidad de que:
a) Esté haciendo el curso de formación
b) Sea un varón, sabiendo que está haciendo dicho curso de formación
SOLUCIÓN.
Denotemos por $M$ al suceso "elegir una persona de la empresa que sea mujer"; por $V$, al suceso "elegir una persona de la empresa que sea vaŕon", y por $F$ al suceso "elegir una persona de la empresa que esté haciendo el curso de formación"
a)
Como los sucesos $V$ y $M$ constituyen una partición del espacio muestral, por el teorema de la Probabilidad Total, podemos escribir $$P(F)=P(F|V)P(V)+P(F|M)P(M)$$ De los datos del problema, sabemos que $P(M)=0,4$, y, por tanto, $P(V)=1-0,4=0,6$; y, además, $P(F|V)=0,2$ y $P(F|M)=0,3$; por consiguiente, $$P(F)=0,2\cdot 0,6+0,3 \cdot 0,4 = 0,24$$
b)
Por el teorema de Bayes, podemos escribir $$P(V|F)=\dfrac{P(F|V)P(V)}{P(F)}$$ y, con los datos del problema, encontramos $$P(V|F)=\dfrac{0,2\cdot 0,6}{0,24}=0,5$$
$\square$
a) Esté haciendo el curso de formación
b) Sea un varón, sabiendo que está haciendo dicho curso de formación
SOLUCIÓN.
Denotemos por $M$ al suceso "elegir una persona de la empresa que sea mujer"; por $V$, al suceso "elegir una persona de la empresa que sea vaŕon", y por $F$ al suceso "elegir una persona de la empresa que esté haciendo el curso de formación"
a)
Como los sucesos $V$ y $M$ constituyen una partición del espacio muestral, por el teorema de la Probabilidad Total, podemos escribir $$P(F)=P(F|V)P(V)+P(F|M)P(M)$$ De los datos del problema, sabemos que $P(M)=0,4$, y, por tanto, $P(V)=1-0,4=0,6$; y, además, $P(F|V)=0,2$ y $P(F|M)=0,3$; por consiguiente, $$P(F)=0,2\cdot 0,6+0,3 \cdot 0,4 = 0,24$$
b)
Por el teorema de Bayes, podemos escribir $$P(V|F)=\dfrac{P(F|V)P(V)}{P(F)}$$ y, con los datos del problema, encontramos $$P(V|F)=\dfrac{0,2\cdot 0,6}{0,24}=0,5$$
$\square$
Análisis de funciones reales de una variable real
ENUNCIADO. Se considera la función real de una variable real $$f(x)=\dfrac{3x}{1-x^2}$$ Se pide:
a) Las rectas asíntotas, si las hubiese
b) Las abscisas de los puntos de inflexión, de haber alguno
c) El área del recinto limitado por la gráfica de la función y la recta $y=4x$
SOLUCIÓN.
a)
Asíntotas verticales:
Son del tipo $\text{a.v.}\equiv x=a$, donde $$\displaystyle \lim_{x \rightarrow a} \,f(x) = +\infty $$ o bien $$\displaystyle \lim_{x \rightarrow a }\,f(x) = -\infty$$ Estos valores de $a$ son los que anulan el denominador de la función ( sin anular el numerador ): $$1-x^2 =0 \Leftrightarrow x=\pm 1$$ pues, en efecto, se puede comprobar que $$\displaystyle \lim_{x\, \rightarrow\, -1^{-}}\,f(x)=+\infty\;\; \text{y} \;\; \displaystyle \lim_{x\, \rightarrow\, -1^{+}}\,f(x)=-\infty$$ y $$\displaystyle \lim_{x\, \rightarrow\, 1^{-}}\,f(x)=-\infty \;\; \text{y} \;\; \displaystyle \lim_{x\, \rightarrow\, 1^{+}}\,f(x)=+\infty$$ Así pues, encontramos dos asíntotas verticas: $$\text{a.v.}_1\equiv x=-1$$ y $$\text{a.v.}_2\equiv x=1$$
Asíntotas oblicuas:
Para encontrar las asíntotas oblicuas, $\text{a.o.}\equiv y=mx+k$, tendremos que calcular primero la pendiente, $m$:
$\displaystyle m\overset{\text{def}}{=} \lim_{x \rightarrow \pm \infty}\,f'(x) \overset{\text{def. equiv.}}{=} \lim_{x \rightarrow \pm \infty}\,\dfrac{f(x)}{x}=\lim_{x \rightarrow \pm \infty}\,\dfrac{3x}{x(1-x^2)}=$
$=\lim_{x\rightarrow \pm \infty}\,\dfrac{3}{1-x^2}=\dfrac{3}{1-\infty}=0$
A continuación, calculamos la ordenada en el origen, $k$:
$\displaystyle k\overset{\text{def}}{=}\lim_{x \rightarrow \pm \infty}\,\left( f(x)- m\,x\right)=\lim_{x \rightarrow \pm \infty} \left( f(x) - 0 \right)=\lim_{x\rightarrow \pm \infty}\,\dfrac{3x}{1-x^2}=0$ ( por ser el grado del polinomio del denominador mayor que el del numerador )
Encontramos pues una asíntota horizontal, como un caso particular de asíntota oblicua con pendiente nula: $$\text{a.h.}\equiv y=0$$
b)
Las abscisas de los puntos de inflexión son las raíces de la función segunda derivada ( condición necesaria ): $$f''(x)=0$$
Derivando una vez la función $f(x)$ obtenemos -- dejo al lector que reproduzca el cálculo rutinario --: $$f'(x)=3\cdot\dfrac{x^2+1}{(x^2-1)^2}$$
Nota: Démonos cuenta de que esta función no tiene raíces, pues el numerador no se anula para ningún valor de $x$, luego no hay extremos relativos
Y derivando, a su vez, la función primera derivada, llegamos a la función segunda derivada $$f''(x)=-6\cdot \dfrac{x\,(x^2+3)}{(x^2-1)^3}$$ Con lo cual $$-6\cdot \dfrac{x\,(x^2+3)}{(x^2-1)^3}\Leftrightarrow x=0$$
Si bien no se pide en el enunciado, un bosquejo de la gráfica de la función es el de la figura siguiente:
c)
Los puntos de corte de la gráfica de la función $y=4x$ con la gráfica de la función del integrando $f(x)=\dfrac{3x}{1-x^2}$ son las soluciones de la ecuación $$4x = \dfrac{3x}{1-x^2}$$ y, por tanto ( dejo al lector el cálculo elemental ), de $$4x^3-x=0$$ Sacando factor común de $x$ en el primer miembro, vemos que $$x\,(4x^2-1)=0 \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}x=0 \\ 4x^2-1=0 \Rightarrow x=\pm \,\dfrac{1}{2}\end{matrix}\right.$$ Tenemos por tanto tres puntos de corte, cuyas abscisas son $-1/2$, $0$ y $1/2$. Entonces,
$$\displaystyle \mathcal{Área}=\left| \int_{-1/2}^{0}\,f(x)\,dx \right| + \left| \int_{0}^{1/2}\,f(x)\,dx \right|\overset{\text{Barrow}}{=}|F(0)-F(-1/2)|+|F(1/2)-F(0)|$$
Calculando la integral definida de $f(x)$ encontraremos una función primitiva $F(x)$: $$\displaystyle \int\,\dfrac{3x}{1-x^2}\,dx = \dfrac{3}{2}\,\int\,\dfrac{2\,x\,dx}{1-x^2} = -\dfrac{3}{2}\,\int \,\dfrac{d(x^2-1)}{x^2-1} = -\dfrac{3}{2}\,\ln \, |x^2-1|+C$$ y eligiendo un valor cualquiera para la constante de integración, pongamos que $C:=0$, una función primitiva es $F(x)=-\dfrac{3}{2}\,\ln \, |x^2-1|$
Así pues,
$|F(0)-F(-1/2)|=\left|-\dfrac{3}{2}\cdot \ln\,|0-1|- (-\dfrac{3}{2})\cdot |\ln\,|(-1/2)^2-1|\right|=$
$=-\dfrac{3}{2}\,\ln\,(3/4)=\dfrac{3}{2}\,\ln\,(4/3)$
y
$|F(1/2)-F(0)|=\left|-\dfrac{3}{2}\cdot \ln\,|(1/2)^2-1|- (-\dfrac{3}{2})\cdot |\ln\,|0-1|\right|=$
$=-\dfrac{3}{2}\,\ln\,(3/4)=\dfrac{3}{2}\,\ln\,(4/3)$
por tanto,
$\mathcal{Área}=\dfrac{3}{2}\,\ln\,(4/3)+\dfrac{3}{2}\,\ln\,(4/3)=2\cdot \dfrac{3}{2}\,\ln\,(4/3)=$
$=3\,\ln\,(4/3)\;\text{unidades arbitrarias de área}$
$\square$
a) Las rectas asíntotas, si las hubiese
b) Las abscisas de los puntos de inflexión, de haber alguno
c) El área del recinto limitado por la gráfica de la función y la recta $y=4x$
SOLUCIÓN.
a)
Asíntotas verticales:
Son del tipo $\text{a.v.}\equiv x=a$, donde $$\displaystyle \lim_{x \rightarrow a} \,f(x) = +\infty $$ o bien $$\displaystyle \lim_{x \rightarrow a }\,f(x) = -\infty$$ Estos valores de $a$ son los que anulan el denominador de la función ( sin anular el numerador ): $$1-x^2 =0 \Leftrightarrow x=\pm 1$$ pues, en efecto, se puede comprobar que $$\displaystyle \lim_{x\, \rightarrow\, -1^{-}}\,f(x)=+\infty\;\; \text{y} \;\; \displaystyle \lim_{x\, \rightarrow\, -1^{+}}\,f(x)=-\infty$$ y $$\displaystyle \lim_{x\, \rightarrow\, 1^{-}}\,f(x)=-\infty \;\; \text{y} \;\; \displaystyle \lim_{x\, \rightarrow\, 1^{+}}\,f(x)=+\infty$$ Así pues, encontramos dos asíntotas verticas: $$\text{a.v.}_1\equiv x=-1$$ y $$\text{a.v.}_2\equiv x=1$$
Asíntotas oblicuas:
Para encontrar las asíntotas oblicuas, $\text{a.o.}\equiv y=mx+k$, tendremos que calcular primero la pendiente, $m$:
$\displaystyle m\overset{\text{def}}{=} \lim_{x \rightarrow \pm \infty}\,f'(x) \overset{\text{def. equiv.}}{=} \lim_{x \rightarrow \pm \infty}\,\dfrac{f(x)}{x}=\lim_{x \rightarrow \pm \infty}\,\dfrac{3x}{x(1-x^2)}=$
$=\lim_{x\rightarrow \pm \infty}\,\dfrac{3}{1-x^2}=\dfrac{3}{1-\infty}=0$
A continuación, calculamos la ordenada en el origen, $k$:
$\displaystyle k\overset{\text{def}}{=}\lim_{x \rightarrow \pm \infty}\,\left( f(x)- m\,x\right)=\lim_{x \rightarrow \pm \infty} \left( f(x) - 0 \right)=\lim_{x\rightarrow \pm \infty}\,\dfrac{3x}{1-x^2}=0$ ( por ser el grado del polinomio del denominador mayor que el del numerador )
Encontramos pues una asíntota horizontal, como un caso particular de asíntota oblicua con pendiente nula: $$\text{a.h.}\equiv y=0$$
b)
Las abscisas de los puntos de inflexión son las raíces de la función segunda derivada ( condición necesaria ): $$f''(x)=0$$
Derivando una vez la función $f(x)$ obtenemos -- dejo al lector que reproduzca el cálculo rutinario --: $$f'(x)=3\cdot\dfrac{x^2+1}{(x^2-1)^2}$$
Nota: Démonos cuenta de que esta función no tiene raíces, pues el numerador no se anula para ningún valor de $x$, luego no hay extremos relativos
Y derivando, a su vez, la función primera derivada, llegamos a la función segunda derivada $$f''(x)=-6\cdot \dfrac{x\,(x^2+3)}{(x^2-1)^3}$$ Con lo cual $$-6\cdot \dfrac{x\,(x^2+3)}{(x^2-1)^3}\Leftrightarrow x=0$$
Si bien no se pide en el enunciado, un bosquejo de la gráfica de la función es el de la figura siguiente:
c)
Los puntos de corte de la gráfica de la función $y=4x$ con la gráfica de la función del integrando $f(x)=\dfrac{3x}{1-x^2}$ son las soluciones de la ecuación $$4x = \dfrac{3x}{1-x^2}$$ y, por tanto ( dejo al lector el cálculo elemental ), de $$4x^3-x=0$$ Sacando factor común de $x$ en el primer miembro, vemos que $$x\,(4x^2-1)=0 \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}x=0 \\ 4x^2-1=0 \Rightarrow x=\pm \,\dfrac{1}{2}\end{matrix}\right.$$ Tenemos por tanto tres puntos de corte, cuyas abscisas son $-1/2$, $0$ y $1/2$. Entonces,
$$\displaystyle \mathcal{Área}=\left| \int_{-1/2}^{0}\,f(x)\,dx \right| + \left| \int_{0}^{1/2}\,f(x)\,dx \right|\overset{\text{Barrow}}{=}|F(0)-F(-1/2)|+|F(1/2)-F(0)|$$
Calculando la integral definida de $f(x)$ encontraremos una función primitiva $F(x)$: $$\displaystyle \int\,\dfrac{3x}{1-x^2}\,dx = \dfrac{3}{2}\,\int\,\dfrac{2\,x\,dx}{1-x^2} = -\dfrac{3}{2}\,\int \,\dfrac{d(x^2-1)}{x^2-1} = -\dfrac{3}{2}\,\ln \, |x^2-1|+C$$ y eligiendo un valor cualquiera para la constante de integración, pongamos que $C:=0$, una función primitiva es $F(x)=-\dfrac{3}{2}\,\ln \, |x^2-1|$
Así pues,
$|F(0)-F(-1/2)|=\left|-\dfrac{3}{2}\cdot \ln\,|0-1|- (-\dfrac{3}{2})\cdot |\ln\,|(-1/2)^2-1|\right|=$
$=-\dfrac{3}{2}\,\ln\,(3/4)=\dfrac{3}{2}\,\ln\,(4/3)$
y
$|F(1/2)-F(0)|=\left|-\dfrac{3}{2}\cdot \ln\,|(1/2)^2-1|- (-\dfrac{3}{2})\cdot |\ln\,|0-1|\right|=$
$=-\dfrac{3}{2}\,\ln\,(3/4)=\dfrac{3}{2}\,\ln\,(4/3)$
por tanto,
$\mathcal{Área}=\dfrac{3}{2}\,\ln\,(4/3)+\dfrac{3}{2}\,\ln\,(4/3)=2\cdot \dfrac{3}{2}\,\ln\,(4/3)=$
$=3\,\ln\,(4/3)\;\text{unidades arbitrarias de área}$
$\square$
Geometría analítica. Espacio euclídeo
ENUNCIADO. Dado el punto $P(1,0,1)$ y la recta $r\equiv x=-y=z$, se pide:
a) La distancia euclídea de $P$ a $r$
b) Considérese el plano $\pi \equiv z=0$, ¿ cuál es la distancia euclídea entre $P$ y $\pi$ ?
c) Considérense los puntos $O(0,0,0)$, $A(2,0,0)$, $B(0,3,0)$ y $C(0,0,1)$. Calcúlese el volumen del tetraedro cuyos vértices son los puntos referidos.
SOLUCIÓN.
a)
Hemos demostrado en clase que $$d(P,r)=\dfrac{\left\|\overset{\rightarrow}{AP} \times \vec{u}\right\|}{\left\|\vec{u}\right\|} \quad \quad (1)$$ donde $A$ es un punto de la recta $r$ y $\vec{u}$ es un vector en la dirección de la misma.
Como $r\equiv \dfrac{x-0}{1}=\dfrac{y-0}{-1}=\dfrac{z-0}{1}$, tomamos $$\vec{u}:=(1,-1,1) \Rightarrow \left|\vec{u}\right|=\left|\sqrt{1^2+(-1)^2+1^2}\right|=|\sqrt{3}|$$ por otra parte, $\overset{\rightarrow}{AP}=\overset{\rightarrow}{OP}-\overset{\rightarrow}{OA}=(1-0,0-0,1-0)=(1,0,1)$ con lo cual $$ \overset{\rightarrow}{AP} \times \vec{u} = (1,0,1) \times (1,-1,1) = \begin{vmatrix}\vec{i}&\vec{j}&\vec{k}\\ 1&0&1\\1&-1&1\end{vmatrix}=$$
$$=\begin{vmatrix}0&1\\-1&1\end{vmatrix}\,\vec{i}-\begin{vmatrix}1&1\\1&1\end{vmatrix}\,\vec{j}+\begin{vmatrix}1&0\\1&-1\end{vmatrix}\,\vec{k}=\vec{i}-\vec{k}=(1,0,-1)$$ Nota: $\vec{i}=(1,0,0)$, $\vec{j}=(0,1,0)$ y $\vec{k}=(0,0,1)$ son los vectores de la base canónica del espacio vectorial $\mathbb{R}^3$
Tenemos pues que $$\left\|\overset{\rightarrow}{AP} \times \vec{u}\right\|=\left|\sqrt{1^2+0^2+(-1)^2}\right|=|\sqrt{2}|$$ Así, de (1), $$d(P,r)=\left|\sqrt{\dfrac{2}{3}}\right|\;\text{unidades arbitrarias de longitud}$$
b)
Hemos demostrado en clase que $$d(P,\pi)=\left|\dfrac{A\,x_P+B\,y_P+C\,z_P+D}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}\right| \quad \quad (2)$$ donde $A,B,C$ y $D$ son los coeficientes de la ecuación general del plano $\pi \equiv Ax+By+Cz+D=0$, esto es, en el caso que nos ocupa ( $\pi \equiv z=0$ ): $A=B=D=0$ y $C=1$. Por consiguiente, de (2), $$d(P\,\pi)=\left|\dfrac{0\cdot 1+0\cdot 0 +1\cdot 1+0}{\sqrt{0^2+0^2+1^2}}\right|=1\;\text{unidades arbitarias de longitud}$$
c)
Hemos visto en clase que el volumen de un tetraedro es igual a una sexta parte del volumen del paralelepípedo determinado por los tres vectores que partiendo de uno de sus vértices comprenden las tres aristas del mismo, es decir, una sexta parte del producto mixto de $\overset{\rightarrow}{OA}$, $\overset{\rightarrow}{OB}$ y $\overset{\rightarrow}{OC}$, esto es $$\mathcal{Volumen}=\dfrac{1}{6}\,\left|\,[\overset{\rightarrow}{OA},\overset{\rightarrow}{OB},\overset{\rightarrow}{OC}]\,\right|$$
Nota: Recordemos que el producto mixto de tres vectores $\vec{a}$, $\vec{b}$ y $\vec{c}$, se suele denotar como $[\vec{a},\vec{b}\,\vec{c}]$ y se define de la forma $\langle \vec{a}\,,\, \vec{b} \times \vec{c} \rangle = \begin{vmatrix} a_x & a_y & a_z \\ b_x & b_y & b_z \\ c_x & c_y & c_z \end{vmatrix}$
Y teniendo encuenta que $\overset{\rightarrow}{OA}=(2,0,0)$, $\overset{\rightarrow}{OB}=(0,3,0)$ y $\overset{\rightarrow}{OC}=(0,0,1)$, tenemos que $$\mathcal{Volumen}=\dfrac{1}{6}\cdot \begin{vmatrix}2& 0& 0\\0 & 3 &0\\0 & 0 & 1\end{vmatrix}=\dfrac{1}{6}\cdot 2\cdot 3 \cdot 1=1\;(\text{unidades arbitrarias de longitud})^3$$
$\square$
a) La distancia euclídea de $P$ a $r$
b) Considérese el plano $\pi \equiv z=0$, ¿ cuál es la distancia euclídea entre $P$ y $\pi$ ?
c) Considérense los puntos $O(0,0,0)$, $A(2,0,0)$, $B(0,3,0)$ y $C(0,0,1)$. Calcúlese el volumen del tetraedro cuyos vértices son los puntos referidos.
SOLUCIÓN.
a)
Hemos demostrado en clase que $$d(P,r)=\dfrac{\left\|\overset{\rightarrow}{AP} \times \vec{u}\right\|}{\left\|\vec{u}\right\|} \quad \quad (1)$$ donde $A$ es un punto de la recta $r$ y $\vec{u}$ es un vector en la dirección de la misma.
Como $r\equiv \dfrac{x-0}{1}=\dfrac{y-0}{-1}=\dfrac{z-0}{1}$, tomamos $$\vec{u}:=(1,-1,1) \Rightarrow \left|\vec{u}\right|=\left|\sqrt{1^2+(-1)^2+1^2}\right|=|\sqrt{3}|$$ por otra parte, $\overset{\rightarrow}{AP}=\overset{\rightarrow}{OP}-\overset{\rightarrow}{OA}=(1-0,0-0,1-0)=(1,0,1)$ con lo cual $$ \overset{\rightarrow}{AP} \times \vec{u} = (1,0,1) \times (1,-1,1) = \begin{vmatrix}\vec{i}&\vec{j}&\vec{k}\\ 1&0&1\\1&-1&1\end{vmatrix}=$$
$$=\begin{vmatrix}0&1\\-1&1\end{vmatrix}\,\vec{i}-\begin{vmatrix}1&1\\1&1\end{vmatrix}\,\vec{j}+\begin{vmatrix}1&0\\1&-1\end{vmatrix}\,\vec{k}=\vec{i}-\vec{k}=(1,0,-1)$$ Nota: $\vec{i}=(1,0,0)$, $\vec{j}=(0,1,0)$ y $\vec{k}=(0,0,1)$ son los vectores de la base canónica del espacio vectorial $\mathbb{R}^3$
Tenemos pues que $$\left\|\overset{\rightarrow}{AP} \times \vec{u}\right\|=\left|\sqrt{1^2+0^2+(-1)^2}\right|=|\sqrt{2}|$$ Así, de (1), $$d(P,r)=\left|\sqrt{\dfrac{2}{3}}\right|\;\text{unidades arbitrarias de longitud}$$
b)
Hemos demostrado en clase que $$d(P,\pi)=\left|\dfrac{A\,x_P+B\,y_P+C\,z_P+D}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}\right| \quad \quad (2)$$ donde $A,B,C$ y $D$ son los coeficientes de la ecuación general del plano $\pi \equiv Ax+By+Cz+D=0$, esto es, en el caso que nos ocupa ( $\pi \equiv z=0$ ): $A=B=D=0$ y $C=1$. Por consiguiente, de (2), $$d(P\,\pi)=\left|\dfrac{0\cdot 1+0\cdot 0 +1\cdot 1+0}{\sqrt{0^2+0^2+1^2}}\right|=1\;\text{unidades arbitarias de longitud}$$
c)
Hemos visto en clase que el volumen de un tetraedro es igual a una sexta parte del volumen del paralelepípedo determinado por los tres vectores que partiendo de uno de sus vértices comprenden las tres aristas del mismo, es decir, una sexta parte del producto mixto de $\overset{\rightarrow}{OA}$, $\overset{\rightarrow}{OB}$ y $\overset{\rightarrow}{OC}$, esto es $$\mathcal{Volumen}=\dfrac{1}{6}\,\left|\,[\overset{\rightarrow}{OA},\overset{\rightarrow}{OB},\overset{\rightarrow}{OC}]\,\right|$$
Nota: Recordemos que el producto mixto de tres vectores $\vec{a}$, $\vec{b}$ y $\vec{c}$, se suele denotar como $[\vec{a},\vec{b}\,\vec{c}]$ y se define de la forma $\langle \vec{a}\,,\, \vec{b} \times \vec{c} \rangle = \begin{vmatrix} a_x & a_y & a_z \\ b_x & b_y & b_z \\ c_x & c_y & c_z \end{vmatrix}$
Y teniendo encuenta que $\overset{\rightarrow}{OA}=(2,0,0)$, $\overset{\rightarrow}{OB}=(0,3,0)$ y $\overset{\rightarrow}{OC}=(0,0,1)$, tenemos que $$\mathcal{Volumen}=\dfrac{1}{6}\cdot \begin{vmatrix}2& 0& 0\\0 & 3 &0\\0 & 0 & 1\end{vmatrix}=\dfrac{1}{6}\cdot 2\cdot 3 \cdot 1=1\;(\text{unidades arbitrarias de longitud})^3$$
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Álgebra lineal. Sistemas de ecuaciones lineales
ENUNCIADO. Considérese el sistema de ecuaciones lineales, con un parámetro $a\in \mathbb{R}$ $$\left\{\begin{matrix}x&+&y&+&z&=&0 \\ x&+&a\,y&+&z&=&0 \\ x&+&y&+&a\,z&=&a\end{matrix}\right.$$ Se pide:
a) Discútase el sistema según los valores de $a$
b) Resuélvase el sistema para $a=2$
SOLUCIÓN.
a)
Reduciendo el sistema por Gauss, obtenemos un sistema equivalente que nos permitirá analizar su rango, según los valores de $a$:
$\left\{\begin{matrix}x&+&y&+&z&=&0 \\ x&+&a\,y&+&z&=&0 \\ x&+&y&+&a\,z&=&a\end{matrix}\right. \overset{e_1-e_2 \rightarrow e_2\,,\,e_1-e_3 \rightarrow e_3}{\sim}$
$\sim \left\{\begin{matrix}x&+&y&+&z&=&0 \\ &+&(1-a)\,y&&&=&0 \\ &&&&(1-a)\,z&=&-a\end{matrix}\right.$
Encontramos los siguientes casos:
i) Observemos que si $a=1$, la segunda ecuación es trivial, pues nos queda $0=0$, y que, lo que es más remarcable, la tercera nos llevaa una contradicción, $0=1$, luego el sistema de ecuaciones es incompatible para ese valor de $a$
ii) Para cualquier otro valor de $a$ distinto de $1$ el rango del sistema es $3$ ( número de ecuaciones no identicamente nulas ), que es igual al número de incógnitas, luego el sistema es compatible determinado.
b)
Siendo $a:=2 \neq 1$ el sistema es compatible determinado ( segundo caso de la discusión del anterior apartado ), y, sustituyendo este valor del parámetro en el sistema ya reducido llegamos al siguiente sistema equivalente ( al original ): $$\left\{\begin{matrix}x&+&y&+&z&=&0 \\ &&-y&&&=&0 \\ &&&&-z&=&-2\end{matrix}\right. \sim \left\{\begin{matrix}x&&&&&=&-2 \\ &&y&&&=&0 \\ &&&&z&=&2\end{matrix}\right.$$
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a) Discútase el sistema según los valores de $a$
b) Resuélvase el sistema para $a=2$
SOLUCIÓN.
a)
Reduciendo el sistema por Gauss, obtenemos un sistema equivalente que nos permitirá analizar su rango, según los valores de $a$:
$\left\{\begin{matrix}x&+&y&+&z&=&0 \\ x&+&a\,y&+&z&=&0 \\ x&+&y&+&a\,z&=&a\end{matrix}\right. \overset{e_1-e_2 \rightarrow e_2\,,\,e_1-e_3 \rightarrow e_3}{\sim}$
$\sim \left\{\begin{matrix}x&+&y&+&z&=&0 \\ &+&(1-a)\,y&&&=&0 \\ &&&&(1-a)\,z&=&-a\end{matrix}\right.$
Encontramos los siguientes casos:
i) Observemos que si $a=1$, la segunda ecuación es trivial, pues nos queda $0=0$, y que, lo que es más remarcable, la tercera nos llevaa una contradicción, $0=1$, luego el sistema de ecuaciones es incompatible para ese valor de $a$
ii) Para cualquier otro valor de $a$ distinto de $1$ el rango del sistema es $3$ ( número de ecuaciones no identicamente nulas ), que es igual al número de incógnitas, luego el sistema es compatible determinado.
b)
Siendo $a:=2 \neq 1$ el sistema es compatible determinado ( segundo caso de la discusión del anterior apartado ), y, sustituyendo este valor del parámetro en el sistema ya reducido llegamos al siguiente sistema equivalente ( al original ): $$\left\{\begin{matrix}x&+&y&+&z&=&0 \\ &&-y&&&=&0 \\ &&&&-z&=&-2\end{matrix}\right. \sim \left\{\begin{matrix}x&&&&&=&-2 \\ &&y&&&=&0 \\ &&&&z&=&2\end{matrix}\right.$$
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miércoles, 13 de junio de 2018
Un ejercicio de discusión de un sistema de ecuaciones lineales según los valores que pueda tomar un parámetro
ENUNCIADO. Considérese el sistema de ecuaciones lineales en el que figura un un parámetro $a\in \mathbb{R}$ en algunos de sus coeficientes $$\left\{\begin{matrix}x&+&y&+&mz&=&1\\x&+&my&+&z&=&0 \\ mx&+&y&+&z&=&0\end{matrix}\right.$$ Se pide:
a) Discútase dicho sistema en función de los valores de $a$
b) Resuélvase si $m:=0$
SOLUCIÓN.
a)
La matriz ampliada de los coeficientes del sistema es $$\left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & m & 1 \\ 1 & m & 1 & 0 \\ m & 1 & 1 & 0 \end{array}\right)$$ Procedomos a reducirla por Gauss, obteniendo, en el proceso, matrices equivalente en rango a la original.
$\left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & m & 1 \\ 1 & m & 1 & 0 \\ m & 1 & 1 & 0 \end{array}\right) \overset{f_1-f_2 \rightarrow f_2 \,,\, -m\cdot f_2+f_3 \rightarrow f_3}{\sim} \left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & m & 1 \\ 0 & 1-m & m-1 & 1 \\ 0 & (1-m)(1+m) & 1-m & 0 \end{array}\right)$
$$\overset{(-(1+m)\cdot f_2+f_3 \rightarrow f_3 }{\sim} \left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & m & 1 \\ 0 & 1-m & m-1 & 1 \\ 0 & 0 & (1-m)(m+2) & -(1+m) \end{array}\right)$$
Entonces, por el teorema de Rouché-Fröbenius se tiene que:
I) Si $m \in\{-2\,m\,1\}$, $\text{rango}(A)=2$ y $\text{rango}(A|B)=3$, y, al no coincidir los rangos, el sistema es incompatible
II) Para $m \notin \in\{-2\,m\,1\}$, $\text{rango}(A)=\text{rango}(A|B)=3$, que es igual al número de incógnitas, luego el sistema es compatible determinado.
b) Si $m:=0$, nos encontramos en el segundo caso del apartado anterior, luego el sistema es compatible determinado. Procedamos a encontrar la solución.
Habiendo reducido la matriz ampliada por Gauss, un sistema equivalente es
$$\left\{\begin{matrix}x&+&y&&&=&1\\&&y&-&z&=&1 \\ &&&&2z&=&-1\end{matrix}\right.$$
Despejando $z$ de la tercera ecuación llegamos a $z=-\dfrac{1}{2}$; sustituyendo este valor en la segunda ecuación y despejando $y$, encontramos $y=\dfrac{1}{2}$; y, finalmente, sustituyendo estos dos valores en la primera ecuación, y despejando $x$, se obtiene $x=\dfrac{1}{2}$
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a) Discútase dicho sistema en función de los valores de $a$
b) Resuélvase si $m:=0$
SOLUCIÓN.
a)
La matriz ampliada de los coeficientes del sistema es $$\left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & m & 1 \\ 1 & m & 1 & 0 \\ m & 1 & 1 & 0 \end{array}\right)$$ Procedomos a reducirla por Gauss, obteniendo, en el proceso, matrices equivalente en rango a la original.
$\left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & m & 1 \\ 1 & m & 1 & 0 \\ m & 1 & 1 & 0 \end{array}\right) \overset{f_1-f_2 \rightarrow f_2 \,,\, -m\cdot f_2+f_3 \rightarrow f_3}{\sim} \left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & m & 1 \\ 0 & 1-m & m-1 & 1 \\ 0 & (1-m)(1+m) & 1-m & 0 \end{array}\right)$
$$\overset{(-(1+m)\cdot f_2+f_3 \rightarrow f_3 }{\sim} \left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & m & 1 \\ 0 & 1-m & m-1 & 1 \\ 0 & 0 & (1-m)(m+2) & -(1+m) \end{array}\right)$$
Entonces, por el teorema de Rouché-Fröbenius se tiene que:
I) Si $m \in\{-2\,m\,1\}$, $\text{rango}(A)=2$ y $\text{rango}(A|B)=3$, y, al no coincidir los rangos, el sistema es incompatible
II) Para $m \notin \in\{-2\,m\,1\}$, $\text{rango}(A)=\text{rango}(A|B)=3$, que es igual al número de incógnitas, luego el sistema es compatible determinado.
b) Si $m:=0$, nos encontramos en el segundo caso del apartado anterior, luego el sistema es compatible determinado. Procedamos a encontrar la solución.
Habiendo reducido la matriz ampliada por Gauss, un sistema equivalente es
$$\left\{\begin{matrix}x&+&y&&&=&1\\&&y&-&z&=&1 \\ &&&&2z&=&-1\end{matrix}\right.$$
Despejando $z$ de la tercera ecuación llegamos a $z=-\dfrac{1}{2}$; sustituyendo este valor en la segunda ecuación y despejando $y$, encontramos $y=\dfrac{1}{2}$; y, finalmente, sustituyendo estos dos valores en la primera ecuación, y despejando $x$, se obtiene $x=\dfrac{1}{2}$
$\square$
sábado, 9 de junio de 2018
Probabilidad y estadística. Cálculo de probabilidades
ENUNCIADO. En una fábrica se elaboran dos tipos de productos: A y B. El $75\,\%$ de los productos fabricados son de tipo A y el $25\,\%$ de tipo B. Los productos de tipo B salen defectuosos un $5\,\%$ de las veces, mientras que los de tipo A salen defectuosos un $2,5\,\%$ de las veces.
a) Si se fabrican $5000$ productos en un mes, ¿ cuántos de ellos se espera que sean defectuosos ?
b) Un cierto mes, por motivos logísticos, se cambió la producción, de modo que se fabricaron exclusivamente productos de tipo A. Sabiendo que se fabricaron $6000$ unidades, determinar, aproximando la distribución por una normal, la probabilidad de que haya más de $160$ unidades defectuosas.
SOLUCIÓN.
a) Si se fabrican $5000$ productos en un mes, ¿ cuántos de ellos se espera que sean defectuosos ?
b) Un cierto mes, por motivos logísticos, se cambió la producción, de modo que se fabricaron exclusivamente productos de tipo A. Sabiendo que se fabricaron $6000$ unidades, determinar, aproximando la distribución por una normal, la probabilidad de que haya más de $160$ unidades defectuosas.
SOLUCIÓN.
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