ENUNCIADO. Cada uno de los dos motores de un avión bimotor que sigue una ruta por el desierto del Gobi se averia pongamos que el 1% de las veces que el avión se ve afectado por una tormenta de arena. En caso necesario, el avión puede seguir en vuelo con un sólo motor ( los posibles fallos en un motor se suponen independientes de los del otro). Se considera que el avión es alcanzado por una tormenta de arena. Calcúlese la probabilidad de que:
a) El avión tenga que realizar un aterrizaje forzoso, debido al fallo de los dos motores.
b) Uno de los dos motores deje de funcionar ( sólo uno de los dos )
c) Ninguno de los dos motores no se vean afectados por la tormenta
d) La probabilidad de que al menos uno de los dos motores deje de funcionar
Nota: Al redactar este problema me he inspirado en la emotiva película Flight of the Phoenix (2004), la epopeya de un Fairchild C-119, dirigida por John Moore [ un remake de la versión original de 1965, de Robert Aldrich ], en cuya banda musical se puede disfrutar de excelentes canciones, como ésta por ejemplo ( vía YouTube ).
SOLUCIÓN.
Denotemos por $B$ al suceso "fallo del motor de babor" y por $E$, fallor del motor de estribor.
a) La probabilidad de que el piloto tenga que realizar un aterrizaje forzoso ( fallo den los dos motores ) viene dada por $P(E \cap B)$, y, como, según el enunciado, el fallo en uno de los motores es independiente del fallo en el otro, ésta es igual a $P(E) \cdot P(B)= \dfrac{1}{100} \cdot \dfrac{1}{100} = \dfrac{1}{10\,000} = 0,01\,\%$, por lo que, en principio, dada la baja probabilidad de fallo total, no se debería temer un desenlace fatal.
b) $P( (E \cap \bar{B} ) \cup (\bar{E} \cap B ) ) = \dfrac{1}{100}\cdot (1-\dfrac{1}{100}) + (1-\dfrac{1}{100}) \cdot \dfrac{1}{100}$
$= 2\cdot (1-\dfrac{1}{100})\cdot \dfrac{1}{100} = \dfrac{99}{5000} = 0,0198 =1,98\,\%$. A pesar de que la probabilidad sea pequeña, hay que prever esta posibilidad. De ahí, entre otras razones logísticas, la preferencia por el uso de un avión bimotor.
c) $P(\bar{E} \cap \bar{B})=(1-\dfrac{1}{100})\cdot (1-\dfrac{1}{100}) = \dfrac{9801}{10\,000} = 0,9801 \approx 98\,\%$, así que, según ésto, no deberíamos temer -- razonablemente -- ninguna avería.
d) $P( (E \cap \bar{B} ) \cup (\bar{E} \cap B ) \cup (\bar{E} \cap \bar{B} ) ) = 1-P(\bar{E} \cap \bar{B})=1-0,9801=0,0199 \approx 1,99\,\%$ Bueno ... desde luego, no es cero, así que habría que estar preparados ante posibles sustos; sin embargo, no perdamos la calma antes de decidir no subir a bordo y anular el viaje: pensemos en la baja probabilidad de que fallen los dos motores ( resultado del primer apartado ).
$\square$
domingo, 26 de mayo de 2019
jueves, 23 de mayo de 2019
Cálculo de probabilidades. Un ejemplo de aplicación de la fórmula de inclusión-exclusión extendida a tres conjuntos/sucesos
ENUNCIADO. En una asociación deportiva se practican tres tipos de actividades: A, B y C. Sabemos que el 50% de los socios afirman practicar la actividad A; el 40%, B; el 30%, C; el 20%, A y también B; el 10% A y también C; el 20%, B y también C; y, el 5% las tres actividades. Elegimos al azar a un socio. Se pide:
a) La probabilidad de que practique alguna actividad
b) La probabilidad de que no practique ninguna actividad
c) La probabilidad de que practica únicamente una de las tres actividades
SOLUCIÓN
a) La probabilidad de que practique alguna actividad
b) La probabilidad de que no practique ninguna actividad
c) La probabilidad de que practica únicamente una de las tres actividades
SOLUCIÓN
Un ejemplo de cálculo de la matriz inversa de una matriz regular, mediante el método de Gauss-Jordan
Esta mañana, en la clase para preparar el examen extraordinario y los exámenes de EvAU, he repasado el método de Gauss-Jordan para calcular la matriz inversa de una matriz regular, resolviendo un ejemplo sencillo de una matriz 3x3.
miércoles, 22 de mayo de 2019
Insistiendo acerca de los teorema de la probabilidad total y de Bayes. Uso de las tablas de contingencia ( al final del artículo )
Lo expliqué a mis alumnos de cuarto de ESO. Os puede ir bien también a vosotros, pues no está de más volver a hablar de estos dos importantes teoremas y sus aplicaciones. Veréis que el ejercicio es muy sencillo, pero merece la pena que os fijéis bien en las tres variantes de resolverlo ( empleando el lenguaje formal, utilizando diagramas en árbol, y, por último, usando una tabla de contigencia ). Seguid este enlace.
lunes, 13 de mayo de 2019
Un problema de probabilidades en el tiro al plato. Teorema de Bayes.
ENUNCIADO.
Dos tiradores, Antonio y Berta, practican el tiro al plato. Antonio acierta $1$ de cada $3$ tiros; y Berta, $1$ de cada $2$. Sin ver a los tiradores cómo disparan, un observador oye $2$ disparos, y, al mirar el plato en el aire, se da cuenta de que ninguno disparo ha tenido éxito. Se pide:
a) La probabilidad de que los dos disparos los haya realizado Antonio
b) La probabilidad de que los dos disparos los haya realizado Berta
c) La probabilidad de que cada uno de los dos haya realizado uno de los dos disparos.
SOLUCIÓN.
a) Denotemos por: $A_1$ al suceso "el primer disparo lo ha realizado Antonio"; $A_2$ al suceso "el segundo disparo lo ha realizado Antonio"; $B_1$ al suceso "el primer disparo lo ha realizado Berta"; $B_2$ al suceso "el segundo disparo lo ha realizado Berta", y $F$ al suceso "los dos tiros han resultado fallidos"
Por el Teorema de la Probabilidad Total:
$P(F)=P(F | A_1 \cap A_2)\;P(A_1 \cap A_2)+P(F | B_1 \cap B_2)\;P(B_1 \cap B_2)+$
$=P(F | A_1 \cap B_2)\;P(A_1 \cap B_2) + P(F | B_1 \cap A_2)\;P(B_1 \cap A_2) \quad \quad (1)$
y por el Teorema de Bayes:
$$P(A_1 \cap A_2 | F ) = \dfrac{P(F | A_1 \cap A_2)\,P(A_1 \cap A_2)}{P(F)} \quad \quad (2)$$
$$P(B_1 \cap B_2 | F ) = \dfrac{P(F | B_1 \cap B_2)\,P(B_1 \cap B_2)}{P(F)} \quad \quad (3)$$
$P(A_1 \cap B_2) = \dfrac{P(F | A_1 \cap B_2)\,P(A_1 \cap B_2)}{P(F)} \quad \quad (4)$
$P(B_1 \cap A_2) = \dfrac{P(F | B_1 \cap A_2)\,P(B_1 \cap A_2)}{P(F)} \quad \quad (5)$
Desde luego, $P(A_1)=P(A_2)=P(B_1)=P(B_2)=\dfrac{1}{2}$. Y, com es de suponer, los dos disparos ( que son seguidos ), son independientes, luego
$P(A_1 \cap A_2)=P(B_1 \cap B_2)=P(A_1 \cap B_2)=P(B_1 \cap A_2)=\left(\dfrac{1}{2}\right)^2=\dfrac{1}{4}$
Por otra parte,
$(P(F | A_1 \cap A_2)=(1-\dfrac{1}{3})\cdot (1-\dfrac{1}{3})=\dfrac{4}{9}$
$(P(F | B_1 \cap B_2)=(1-\dfrac{1}{2})\cdot (1-\dfrac{1}{2})=\dfrac{1}{4}$
$(P(F | A_1 \cap B_2)=(1-\dfrac{1}{3})\cdot (1-\dfrac{1}{2})=\dfrac{1}{3}$
$(P(F | B_1 \cap A_2)=(1-\dfrac{1}{2})\cdot (1-\dfrac{1}{3})=\dfrac{1}{3}$
Sustituyendo estos valores en (1)
$P(F)=\dfrac{4}{9}\cdot \dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{4}\cdot \dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{3}\cdot \dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{3}\cdot \dfrac{1}{4}$
$=\dfrac{49}{144}$
Con todo ello ya podemos dar respuesta a las preguntas de los tres apartados:
a) Sustituyendo en (2):
$P(A_1 \cap A_2 | F ) = \dfrac{P(F | A_1 \cap A_2)\,P(A_1 \cap A_2)}{P(F)}$
$=\dfrac{(4/9)\cdot (1/4)}{49/144}=\dfrac{16}{49}$
b) Sustituyendo en (3):
$P(B_1 \cap B_2 | F ) = \dfrac{P(F | B_1 \cap B_2)\,P(B_1 \cap B_2)}{P(F)}$
$=\dfrac{(1/4)\cdot (1/4)}{49/144}=\dfrac{9}{49}$
c) Sustituyendo en (4) y (5):
$P((A_1 \cap B_2) \cup (B_1 \cap A_2) | F )=P((A_1 \cap B_2) | F )+P((B_1 \cap A_2) | F )$
$=\dfrac{(1/3)\cdot (1/4)}{49/144}+\dfrac{(1/3)\cdot (1/4)}{49/144}=\dfrac{24}{49}$
Observación:
Comprobemos que $$P(A_1 \cap A_2 | F )+P(B_1 \cap B_2 | F )+P((A_1 \cap B_2)\cup (B_1 \cap B_2))=1$$
En efecto
$$\dfrac{16}{49}+\dfrac{9}{49}+\dfrac{24}{49}=\dfrac{49}{49}=1$$
Nota:
Para facilitar el planteamiento de este tipo de ejercicios suele ser útil el dibujo de un diagramación en árbol, que he omitido.
$\square$
Dos tiradores, Antonio y Berta, practican el tiro al plato. Antonio acierta $1$ de cada $3$ tiros; y Berta, $1$ de cada $2$. Sin ver a los tiradores cómo disparan, un observador oye $2$ disparos, y, al mirar el plato en el aire, se da cuenta de que ninguno disparo ha tenido éxito. Se pide:
a) La probabilidad de que los dos disparos los haya realizado Antonio
b) La probabilidad de que los dos disparos los haya realizado Berta
c) La probabilidad de que cada uno de los dos haya realizado uno de los dos disparos.
SOLUCIÓN.
a) Denotemos por: $A_1$ al suceso "el primer disparo lo ha realizado Antonio"; $A_2$ al suceso "el segundo disparo lo ha realizado Antonio"; $B_1$ al suceso "el primer disparo lo ha realizado Berta"; $B_2$ al suceso "el segundo disparo lo ha realizado Berta", y $F$ al suceso "los dos tiros han resultado fallidos"
Por el Teorema de la Probabilidad Total:
$P(F)=P(F | A_1 \cap A_2)\;P(A_1 \cap A_2)+P(F | B_1 \cap B_2)\;P(B_1 \cap B_2)+$
$=P(F | A_1 \cap B_2)\;P(A_1 \cap B_2) + P(F | B_1 \cap A_2)\;P(B_1 \cap A_2) \quad \quad (1)$
y por el Teorema de Bayes:
$$P(A_1 \cap A_2 | F ) = \dfrac{P(F | A_1 \cap A_2)\,P(A_1 \cap A_2)}{P(F)} \quad \quad (2)$$
$$P(B_1 \cap B_2 | F ) = \dfrac{P(F | B_1 \cap B_2)\,P(B_1 \cap B_2)}{P(F)} \quad \quad (3)$$
$P(A_1 \cap B_2) = \dfrac{P(F | A_1 \cap B_2)\,P(A_1 \cap B_2)}{P(F)} \quad \quad (4)$
$P(B_1 \cap A_2) = \dfrac{P(F | B_1 \cap A_2)\,P(B_1 \cap A_2)}{P(F)} \quad \quad (5)$
Desde luego, $P(A_1)=P(A_2)=P(B_1)=P(B_2)=\dfrac{1}{2}$. Y, com es de suponer, los dos disparos ( que son seguidos ), son independientes, luego
$P(A_1 \cap A_2)=P(B_1 \cap B_2)=P(A_1 \cap B_2)=P(B_1 \cap A_2)=\left(\dfrac{1}{2}\right)^2=\dfrac{1}{4}$
Por otra parte,
$(P(F | A_1 \cap A_2)=(1-\dfrac{1}{3})\cdot (1-\dfrac{1}{3})=\dfrac{4}{9}$
$(P(F | B_1 \cap B_2)=(1-\dfrac{1}{2})\cdot (1-\dfrac{1}{2})=\dfrac{1}{4}$
$(P(F | A_1 \cap B_2)=(1-\dfrac{1}{3})\cdot (1-\dfrac{1}{2})=\dfrac{1}{3}$
$(P(F | B_1 \cap A_2)=(1-\dfrac{1}{2})\cdot (1-\dfrac{1}{3})=\dfrac{1}{3}$
Sustituyendo estos valores en (1)
$P(F)=\dfrac{4}{9}\cdot \dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{4}\cdot \dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{3}\cdot \dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{3}\cdot \dfrac{1}{4}$
$=\dfrac{49}{144}$
Con todo ello ya podemos dar respuesta a las preguntas de los tres apartados:
a) Sustituyendo en (2):
$P(A_1 \cap A_2 | F ) = \dfrac{P(F | A_1 \cap A_2)\,P(A_1 \cap A_2)}{P(F)}$
$=\dfrac{(4/9)\cdot (1/4)}{49/144}=\dfrac{16}{49}$
b) Sustituyendo en (3):
$P(B_1 \cap B_2 | F ) = \dfrac{P(F | B_1 \cap B_2)\,P(B_1 \cap B_2)}{P(F)}$
$=\dfrac{(1/4)\cdot (1/4)}{49/144}=\dfrac{9}{49}$
c) Sustituyendo en (4) y (5):
$P((A_1 \cap B_2) \cup (B_1 \cap A_2) | F )=P((A_1 \cap B_2) | F )+P((B_1 \cap A_2) | F )$
$=\dfrac{(1/3)\cdot (1/4)}{49/144}+\dfrac{(1/3)\cdot (1/4)}{49/144}=\dfrac{24}{49}$
Observación:
Comprobemos que $$P(A_1 \cap A_2 | F )+P(B_1 \cap B_2 | F )+P((A_1 \cap B_2)\cup (B_1 \cap B_2))=1$$
En efecto
$$\dfrac{16}{49}+\dfrac{9}{49}+\dfrac{24}{49}=\dfrac{49}{49}=1$$
Nota:
Para facilitar el planteamiento de este tipo de ejercicios suele ser útil el dibujo de un diagramación en árbol, que he omitido.
$\square$
martes, 7 de mayo de 2019
El problema de los tres discos
ENUNCIADO. Una bolsa contiene tres discos: uno de ellos tiene ambas caras blancas; el segundo tiene una de las dos caras pintadas de blanco y en la otra hay un círculo rojo concéntrico pintado sobre fondo blanco, y, el tercer disco tiene ambas caras con un círculo rojo concéntrico pintando sobre fondo blanco. Extraemos uno de los discos al azar, y, depositándolo encima de la mesa ( sin examinar el disco ), observamos que la cara que mira hacia arriba tiene un círculo rojo pintado sobre fondo blanco. En relación a la cara inferior, calcúlese la probabilidad de que tenga también un círculo rojo concéntrico pintado sobre fondo blanco y de que no tenga dicho círculo rojo.
SOLUCIÓN.
Denotemos por $\mathcal{R}$ al suceso tener el círculo rojo en la cara inferior; por $R_2$, que dicho disco tenga el círculo rojo en las dos caras; por $R_1$, tenerlo en una sola cara, y, por $R_0$ no tenerlo en ninguna cara.
Consideramos la extracción al azar de uno de los discos. Es claro que $\{R_2,R_1,R_3\}$ es un conjunto completo de sucesos, esto es, constituye una partición del espacio muestral $\Omega$, ya que: i) $\Omega = R_2 \cup R_1 \cup R_3$ y, ii), $R_2 \cap R_1 = \emptyset$, $R_2 \cap R_0 = \emptyset$, $R_1 \cap R_0 = \emptyset$. Denotando por $\mathcal{R}$ al suceso extraer un disco que, al depositarlo sobre la mesa ( sin examinarlo ) tenga el círculo rojo concéntrico en la cara que mira hacia arriba, podemos escribir ( Teorema de la Probabilidad Total ): $$P(\mathcal{R})=P(\mathcal{R}|R_2)\,P(R_2)+P(\mathcal{R}|R_1)\,P(R_1)+P(\mathcal{R}|R_0)\,P(R_0)$$ que, con lo dicho en el enunciado es igual a $$P(\mathcal{R})=1\cdot \dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{2}\cdot \dfrac{1}{3}+0\cdot \dfrac{1}{3}=\dfrac{1}{2}$$
Según la pregunta formulada, deberemos calcular $P(R_2|\mathcal{R})$ y $P(R_1|\mathcal{R})$. Para ello, recurriremos al Teorema de Bayes:
$$P(R_2|\mathcal{R})=\dfrac{P(\mathcal{R}|R_2)\,P(R_2)}{P(\mathcal{R}}=\dfrac{1\cdot (1/3)}{1/2}=\dfrac{2}{3}$$
$$P(R_1|\mathcal{R})=\dfrac{P(\mathcal{R}|R_1)\,P(R_2)}{P(\mathcal{R}}=\dfrac{1\cdot (1/3)\cdot (1/2)}{1/2}=\dfrac{1}{3}$$
---
Nota: Desde luego, no hace falta decir que $$P(R_0|\mathcal{R})=0$$
---
Concluimos que, si bien podría parecer -- sin hacer ningún cálculo -- que la probabilidad de que en la cara inferior es la misma de tener o no el círculo rojo, vemos ahora que, de tener que apostar por qué hay en la cara inferior, deberíamos hacerlo por "tener otro círculo rojo" ya que es más probable que no tenerlo, pues $\dfrac{2}{3} \succ \dfrac{1}{3}$; en concreto, hay el doble de probabilidad de que en la cara inferior tenga el círculo rojo que de que no lo tenga.
$\square$
SOLUCIÓN.
Denotemos por $\mathcal{R}$ al suceso tener el círculo rojo en la cara inferior; por $R_2$, que dicho disco tenga el círculo rojo en las dos caras; por $R_1$, tenerlo en una sola cara, y, por $R_0$ no tenerlo en ninguna cara.
Consideramos la extracción al azar de uno de los discos. Es claro que $\{R_2,R_1,R_3\}$ es un conjunto completo de sucesos, esto es, constituye una partición del espacio muestral $\Omega$, ya que: i) $\Omega = R_2 \cup R_1 \cup R_3$ y, ii), $R_2 \cap R_1 = \emptyset$, $R_2 \cap R_0 = \emptyset$, $R_1 \cap R_0 = \emptyset$. Denotando por $\mathcal{R}$ al suceso extraer un disco que, al depositarlo sobre la mesa ( sin examinarlo ) tenga el círculo rojo concéntrico en la cara que mira hacia arriba, podemos escribir ( Teorema de la Probabilidad Total ): $$P(\mathcal{R})=P(\mathcal{R}|R_2)\,P(R_2)+P(\mathcal{R}|R_1)\,P(R_1)+P(\mathcal{R}|R_0)\,P(R_0)$$ que, con lo dicho en el enunciado es igual a $$P(\mathcal{R})=1\cdot \dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{2}\cdot \dfrac{1}{3}+0\cdot \dfrac{1}{3}=\dfrac{1}{2}$$
Según la pregunta formulada, deberemos calcular $P(R_2|\mathcal{R})$ y $P(R_1|\mathcal{R})$. Para ello, recurriremos al Teorema de Bayes:
$$P(R_2|\mathcal{R})=\dfrac{P(\mathcal{R}|R_2)\,P(R_2)}{P(\mathcal{R}}=\dfrac{1\cdot (1/3)}{1/2}=\dfrac{2}{3}$$
$$P(R_1|\mathcal{R})=\dfrac{P(\mathcal{R}|R_1)\,P(R_2)}{P(\mathcal{R}}=\dfrac{1\cdot (1/3)\cdot (1/2)}{1/2}=\dfrac{1}{3}$$
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Nota: Desde luego, no hace falta decir que $$P(R_0|\mathcal{R})=0$$
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Concluimos que, si bien podría parecer -- sin hacer ningún cálculo -- que la probabilidad de que en la cara inferior es la misma de tener o no el círculo rojo, vemos ahora que, de tener que apostar por qué hay en la cara inferior, deberíamos hacerlo por "tener otro círculo rojo" ya que es más probable que no tenerlo, pues $\dfrac{2}{3} \succ \dfrac{1}{3}$; en concreto, hay el doble de probabilidad de que en la cara inferior tenga el círculo rojo que de que no lo tenga.
$\square$
domingo, 5 de mayo de 2019
Longitud de un arco de curva de una trayectoria ( cinemática )
En cinemática, es frecuente tener que calcular la longitud de arco de la curva que describe una partícula entre dos tiempos dados, $t_i$ y $t_f$. Al hilo de lo que hablaba en el artículo anterior, voy a exponer ahora cómo resolver este problema.
Si disponemos de las ecuaciones paramétricas de la trayectoria -- que, para simplificar, supondremos en el plano -- la cual proporciona la posición $(x(t),y(t))$ de la partícula en cada instante de tiempo $$\vec{r}(t) \equiv \left\{\begin{matrix}x(t) \\ y(t) \end{matrix}\right.$$ bastará con aplicar lo que ya se ha explicado en el artículo anterior: un elemento diferencia de longitud de arco es $$ds=\left| \sqrt{(dx(t))^2+(dy(t))^2} \right|$$ y teniendo en cuenta que $\dfrac{dx(t)}{dt}=x'(t)$ y $\dfrac{dy(t)}{dt}=y'(t)$ con lo cual $dx(t)=x'(t)\,dt$ e $dy(t)=y'(t)\,dt$ y por tanto podemos escribir $$ds= \left|\sqrt{(x'(t))^2\,dt^2+(y'(t))^2\,dt^2}\right| = \left|\sqrt{(x'(t))^2+(y'(t))^2}\right|\,dt$$ Así que $$ds= \left|\sqrt{(x'(t))^2+(y'(t))^2}\right|\,dt$$ Por consiguiente $$s_{t_i \rightarrow t_f} =\int_{t_i}^{t_f}\,\left|\sqrt{(x'(t))^2+(y'(t))^2}\right|\,dt$$
EJEMPLO ( sencillo ). La trayectoria de una partícula en el plano viene dada por $$\vec{r}(t)\equiv \left\{\begin{matrix}x(t)=1 \\ y(t)=-t^2 \end{matrix}\right.$$ Calcúlese la longitud del arco de curva que corresponde a la trayectoria de la partícula entre los instantes de tiempo $t_i=0\,\text{s}$ y $t_f=3\,\text{s}$ ( Las longitudes vienen dadas en metros ).
SOLUCIÓN. Derivando las ecuaciones paramétricas de posición ( donde $t$ es el parámetro ) obtenemos las ecuaciones paramétricas de la velocidad: $$\vec{v}(t)\equiv \left\{\begin{matrix}x'(t)=0\\ y'(t)=-2\,t\end{matrix}\right.$$ Entonces
$\displaystyle s_{t_i:=0 \rightarrow t_f:=3} =\int_{0}^{3}\,\left|\sqrt{(0^2+(-2t)^2}\right|\,dt=\int_{0}^{3}\,\left|\sqrt{4t^2}\right|\,dt=\int_{0}^{3}\,2t\,dt=$
$\displaystyle=2\,\left[\dfrac{1}{2}\,t^2\right]_{0}^{3}=3^2-0^2=9\,\text{m}$
$\square$
Si disponemos de las ecuaciones paramétricas de la trayectoria -- que, para simplificar, supondremos en el plano -- la cual proporciona la posición $(x(t),y(t))$ de la partícula en cada instante de tiempo $$\vec{r}(t) \equiv \left\{\begin{matrix}x(t) \\ y(t) \end{matrix}\right.$$ bastará con aplicar lo que ya se ha explicado en el artículo anterior: un elemento diferencia de longitud de arco es $$ds=\left| \sqrt{(dx(t))^2+(dy(t))^2} \right|$$ y teniendo en cuenta que $\dfrac{dx(t)}{dt}=x'(t)$ y $\dfrac{dy(t)}{dt}=y'(t)$ con lo cual $dx(t)=x'(t)\,dt$ e $dy(t)=y'(t)\,dt$ y por tanto podemos escribir $$ds= \left|\sqrt{(x'(t))^2\,dt^2+(y'(t))^2\,dt^2}\right| = \left|\sqrt{(x'(t))^2+(y'(t))^2}\right|\,dt$$ Así que $$ds= \left|\sqrt{(x'(t))^2+(y'(t))^2}\right|\,dt$$ Por consiguiente $$s_{t_i \rightarrow t_f} =\int_{t_i}^{t_f}\,\left|\sqrt{(x'(t))^2+(y'(t))^2}\right|\,dt$$
EJEMPLO ( sencillo ). La trayectoria de una partícula en el plano viene dada por $$\vec{r}(t)\equiv \left\{\begin{matrix}x(t)=1 \\ y(t)=-t^2 \end{matrix}\right.$$ Calcúlese la longitud del arco de curva que corresponde a la trayectoria de la partícula entre los instantes de tiempo $t_i=0\,\text{s}$ y $t_f=3\,\text{s}$ ( Las longitudes vienen dadas en metros ).
SOLUCIÓN. Derivando las ecuaciones paramétricas de posición ( donde $t$ es el parámetro ) obtenemos las ecuaciones paramétricas de la velocidad: $$\vec{v}(t)\equiv \left\{\begin{matrix}x'(t)=0\\ y'(t)=-2\,t\end{matrix}\right.$$ Entonces
$\displaystyle s_{t_i:=0 \rightarrow t_f:=3} =\int_{0}^{3}\,\left|\sqrt{(0^2+(-2t)^2}\right|\,dt=\int_{0}^{3}\,\left|\sqrt{4t^2}\right|\,dt=\int_{0}^{3}\,2t\,dt=$
$\displaystyle=2\,\left[\dfrac{1}{2}\,t^2\right]_{0}^{3}=3^2-0^2=9\,\text{m}$
$\square$
Longitud de un arco de curva
Si bien el contenido de este artículo ( así como otros que estoy escribiendo en estas fechas cercanas al final de curso ) es de ampliación en 2.º de Bachillerato, me ha parecido interesante exponerlo, pensando en los alumnos que tengáis interés en ahondar en los contenidos sobre cálculo que se han dado, especialmente, en las aplicaciones de los mismos.
-oOo-
Consideremos la gráfica de una función $y=f(x)$. Nos proponemos calcular la longitud del arco de curva, $s$, entre dos valores de la variable de integración: $x_i$ y $x_f$.
Un elemento diferencial de arco viene dado por $ds^2 = dx^2+dy^2 \Rightarrow ds=\left|\sqrt{dx^2+dy^2}\right|$, luego haciendo un poco de álgebra con los diferenciales llegamos a $\dfrac{ds}{dx} = \left|\sqrt{1+\left(\dfrac{dy}{dx}\right)^2}\right|\,dx=\left|\sqrt{1+(f'(x))^2}\right|\,dx$; en consecuencia, $\displaystyle s|_{x_i \rightarrow x_f } = \int_{x_i}^{x_f}\,\left|\sqrt{1+\left(\dfrac{dy}{dx}\right)^2}\right|\,dx=\int_{x_i}^{x_f}\,\left|\sqrt{1+(f'(x))^2}\right|\,dx$
EJEMPLO. Calcúlese la longitud de la parábola $f(x)=x^2$ entre $x_i=0$ y $x_f=1$
SOLUCIÓN. La longitud pedida viene dada por $$\int_{0}^{1}\,\left|\sqrt{1+(f'(x))^2}\right|\,dx$$ y teniendo en cuenta que $f'(x)=2x$, la integral a resolver se concreta en $$\int_{0}^{1}\,\left|\sqrt{1+(2x)^2}\right|\,dx \quad \quad (I)$$ Procedamos primero a calcular la integral indefinida ( omitiremos en ellos, por comodidad, los signos de valor absoluto ) $$\int\,\sqrt{1+(2x)^2}\,dx$$
$\displaystyle \int\,\left|\sqrt{1+(2x)^2}\right|\,dx=$
$\displaystyle \overset{(1)}{=}\dfrac{1}{2}\,\int\,\sqrt{1+\tan^2\,u}\cdot \dfrac{1}{\cos^2\,u}du$
$\displaystyle = \dfrac{1}{2}\,\int\,\sqrt{\dfrac{1}{\cos^2\,u}}\cdot \dfrac{1}{\cos^2\,u}du$
$\displaystyle = \dfrac{1}{2}\,\int\,\dfrac{1}{\cos^3\,u}du$
$\displaystyle \overset{(2)}{=} \dfrac{1}{2}\,\left( \dfrac{1}{2} \left( \dfrac{\tan\,u}{\cos\,u}+ \ln\,\left| \dfrac{1}{\cos\,u}+\tan\,u \right| \right) \right)+C$
$\displaystyle = \dfrac{1}{4}\,\left( \dfrac{\tan\,u}{\cos\,u}+ \ln\,\left| \dfrac{1}{\cos\,u}+\tan\,u \right| \right)+C$
$\displaystyle \overset{(3)}{=} \dfrac{1}{4}\,\left( \dfrac{2x}{\sqrt{\dfrac{1}{1+(2x)^2}}}+ \ln\,\left| \dfrac{1}{\dfrac{1}{\sqrt{1+(2x)^2}}}+2x \right| \right)+C$
$\displaystyle = \dfrac{1}{4}\,\left( 2x\,\sqrt{1+(2x)^2}+ \ln\,\left| \sqrt{1+(2x)^2}+2x \right| \right)+C$
Así pues, una primitiva de la función del integrando es $$F(x)=\dfrac{1}{4}\,\left( 2x\,\sqrt{1+(2x)^2}+ \ln\,\left| \sqrt{1+(2x)^2}+2x \right| \right)$$
Finalmente, aplicaremos la regla de Barrow para calcular la integral definida (I), y, por tanto, la longitud de arco, $s$, pedida:
$\displaystyle s=\int_{0}^{1}\,\left|\sqrt{1+(2x)^2}\right|\,dx=$
$\displaystyle=F(1)-F(0)$
$\displaystyle=\dfrac{1}{4}\,\left((2\,\sqrt{1+(2\cdot 1)^2}+\ln\,|1+2\cdot 1|)-(0+\ln\,|1+0|)\right)$
$\displaystyle=\dfrac{1}{4}\,\left( 2\,\sqrt{5}+\sqrt{3} \right)\;\text{unidades de longitud}$
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(1) Cambio de variable:
$2x=\tan\,u \Rightarrow 2\,dx=\dfrac{1}{\cos^2\,u}\,du \Rightarrow dx = \dfrac{du}{2\,\cos^2\,u}$
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(2) Resuelto en otro ejercicio de este mismo blog
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(3) Dividiendo ambos miembros de la identidad fundamental $\sin^2\,u+\cos^2\,u=1$ por $\cos^2\,u$, obtenemos $\tan^2\,u+1=\dfrac{1}{\cos^2\,u}$ luego $\cos^2\,u=\dfrac{1}{1+\tan^2\,u}$ y por tanto $\cos\,u=\sqrt{\dfrac{1}{1+\tan^2\,u}}$. Teniendo en cuenta ahora el c.v. realizado $\tan\,u=2x$ vemos que $\cos\,u=\sqrt{\dfrac{1}{1+(2x)^2}}$, que utilizaremos para deshacer el cambio de variable.
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$\square$
Consideremos la gráfica de una función $y=f(x)$. Nos proponemos calcular la longitud del arco de curva, $s$, entre dos valores de la variable de integración: $x_i$ y $x_f$.
Un elemento diferencial de arco viene dado por $ds^2 = dx^2+dy^2 \Rightarrow ds=\left|\sqrt{dx^2+dy^2}\right|$, luego haciendo un poco de álgebra con los diferenciales llegamos a $\dfrac{ds}{dx} = \left|\sqrt{1+\left(\dfrac{dy}{dx}\right)^2}\right|\,dx=\left|\sqrt{1+(f'(x))^2}\right|\,dx$; en consecuencia, $\displaystyle s|_{x_i \rightarrow x_f } = \int_{x_i}^{x_f}\,\left|\sqrt{1+\left(\dfrac{dy}{dx}\right)^2}\right|\,dx=\int_{x_i}^{x_f}\,\left|\sqrt{1+(f'(x))^2}\right|\,dx$
EJEMPLO. Calcúlese la longitud de la parábola $f(x)=x^2$ entre $x_i=0$ y $x_f=1$
SOLUCIÓN. La longitud pedida viene dada por $$\int_{0}^{1}\,\left|\sqrt{1+(f'(x))^2}\right|\,dx$$ y teniendo en cuenta que $f'(x)=2x$, la integral a resolver se concreta en $$\int_{0}^{1}\,\left|\sqrt{1+(2x)^2}\right|\,dx \quad \quad (I)$$ Procedamos primero a calcular la integral indefinida ( omitiremos en ellos, por comodidad, los signos de valor absoluto ) $$\int\,\sqrt{1+(2x)^2}\,dx$$
$\displaystyle \int\,\left|\sqrt{1+(2x)^2}\right|\,dx=$
$\displaystyle \overset{(1)}{=}\dfrac{1}{2}\,\int\,\sqrt{1+\tan^2\,u}\cdot \dfrac{1}{\cos^2\,u}du$
$\displaystyle = \dfrac{1}{2}\,\int\,\sqrt{\dfrac{1}{\cos^2\,u}}\cdot \dfrac{1}{\cos^2\,u}du$
$\displaystyle = \dfrac{1}{2}\,\int\,\dfrac{1}{\cos^3\,u}du$
$\displaystyle \overset{(2)}{=} \dfrac{1}{2}\,\left( \dfrac{1}{2} \left( \dfrac{\tan\,u}{\cos\,u}+ \ln\,\left| \dfrac{1}{\cos\,u}+\tan\,u \right| \right) \right)+C$
$\displaystyle = \dfrac{1}{4}\,\left( \dfrac{\tan\,u}{\cos\,u}+ \ln\,\left| \dfrac{1}{\cos\,u}+\tan\,u \right| \right)+C$
$\displaystyle \overset{(3)}{=} \dfrac{1}{4}\,\left( \dfrac{2x}{\sqrt{\dfrac{1}{1+(2x)^2}}}+ \ln\,\left| \dfrac{1}{\dfrac{1}{\sqrt{1+(2x)^2}}}+2x \right| \right)+C$
$\displaystyle = \dfrac{1}{4}\,\left( 2x\,\sqrt{1+(2x)^2}+ \ln\,\left| \sqrt{1+(2x)^2}+2x \right| \right)+C$
Así pues, una primitiva de la función del integrando es $$F(x)=\dfrac{1}{4}\,\left( 2x\,\sqrt{1+(2x)^2}+ \ln\,\left| \sqrt{1+(2x)^2}+2x \right| \right)$$
Finalmente, aplicaremos la regla de Barrow para calcular la integral definida (I), y, por tanto, la longitud de arco, $s$, pedida:
$\displaystyle s=\int_{0}^{1}\,\left|\sqrt{1+(2x)^2}\right|\,dx=$
$\displaystyle=F(1)-F(0)$
$\displaystyle=\dfrac{1}{4}\,\left((2\,\sqrt{1+(2\cdot 1)^2}+\ln\,|1+2\cdot 1|)-(0+\ln\,|1+0|)\right)$
$\displaystyle=\dfrac{1}{4}\,\left( 2\,\sqrt{5}+\sqrt{3} \right)\;\text{unidades de longitud}$
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(1) Cambio de variable:
$2x=\tan\,u \Rightarrow 2\,dx=\dfrac{1}{\cos^2\,u}\,du \Rightarrow dx = \dfrac{du}{2\,\cos^2\,u}$
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(2) Resuelto en otro ejercicio de este mismo blog
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(3) Dividiendo ambos miembros de la identidad fundamental $\sin^2\,u+\cos^2\,u=1$ por $\cos^2\,u$, obtenemos $\tan^2\,u+1=\dfrac{1}{\cos^2\,u}$ luego $\cos^2\,u=\dfrac{1}{1+\tan^2\,u}$ y por tanto $\cos\,u=\sqrt{\dfrac{1}{1+\tan^2\,u}}$. Teniendo en cuenta ahora el c.v. realizado $\tan\,u=2x$ vemos que $\cos\,u=\sqrt{\dfrac{1}{1+(2x)^2}}$, que utilizaremos para deshacer el cambio de variable.
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$\square$
Ejercicios de cálculo de primitivas de funciones trigonométricas
ENUNCIADO. Calcúlense las siguientes integrales indefinidas:
a) $\displaystyle \int\,\dfrac{1}{\cos\,x}\,dx$
b) $\displaystyle \int\, \dfrac{1}{\cos^3\,x}\,dx$
SOLUCIÓN.
a)
$\displaystyle \int\,\dfrac{1}{\cos\,x}\,dx=$
$\displaystyle =\int\,\sec\,x\,dx$
$\displaystyle =\int\,\sec\,x \cdot \dfrac{\sec\,x+\tan\,x}{\sec\,x+\tan\,x}\,dx$
$\displaystyle =\int\,\dfrac{\sec^2\,x + \sec\,x\cdot \tan\,x}{\sec\,x+\tan\,x}\,dx$
$\displaystyle \overset{(1)}{=}\int\,\dfrac{\sec^2\,x + \sec\,x\cdot \tan\,x}{\sec\,x+\tan\,x}\,dx$
$\displaystyle = \int\,\dfrac{du}{u}$
$\displaystyle = \ln\,|u|+C$
$\displaystyle = \ln\,|\sec\,x+\tan\,x|+C$
$\displaystyle = \ln\,\left|\dfrac{1}{\cos\,x}+\tan\,x\right|+C \quad \quad (I)$
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(1) Cambio de variable: $u=\sec\,x+\tan\,x \Rightarrow du = \dfrac{1}{\cos^2\,x}\, ( 1+\sin\,x)\,dx = (\sec^2\,x + \tan\,x\cdot \sec\,x)\,dx$
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-oOo-
b)
$\displaystyle \int\, \dfrac{1}{\cos^3\,x}\,dx=$
$=\displaystyle \int\, \dfrac{1}{\cos^2\,x}\cdot \dfrac{1}{\cos\,x}\,dx$
$\overset{(2)}{=}\displaystyle \dfrac{\tan\,x}{\cos\,x}-\int\, \dfrac{\tan\,x \cdot \sin\,x}{\cos^2\,x}\,dx$
$=\displaystyle \dfrac{\tan\,x}{\cos\,x}-\int\, \dfrac{\sin^2\,x}{\cos^3\,x}\,dx$
$=\displaystyle \dfrac{\tan\,x}{\cos\,x}-\int\, \dfrac{1-\cos^2\,x}{\cos^3\,x}\,dx$
$=\displaystyle \dfrac{\tan\,x}{\cos\,x}-\int\, \dfrac{1}{\cos^3\,x}\,dx+\int\, \dfrac{\cos^2\,x}{\cos^3\,x}\,dx$
$=\displaystyle \dfrac{\tan\,x}{\cos\,x}-\int\, \dfrac{1}{\cos^3\,x}\,dx+\int\, \dfrac{1}{\cos\,x}\,dx$
Con lo cual
$$2\,\displaystyle \int\, \dfrac{1}{\cos^3\,x}\,dx=\displaystyle \dfrac{\tan\,x}{\cos\,x}+\int\, \dfrac{1}{\cos\,x}\,dx$$
luego, teniendo en cuenta (I) el resultado del apartado anterior
$$2\,\displaystyle \int\, \dfrac{1}{\cos^3\,x}\,dx=\displaystyle \dfrac{\tan\,x}{\cos\,x}+\ln\,\left|\dfrac{1}{\cos\,x}+\tan\,x\right|$$ de donde se deduce que
$$\displaystyle \int\, \dfrac{1}{\cos^3\,x}\,dx=\dfrac{1}{2}\left( \dfrac{\tan\,x}{\cos\,x}+\ln\,\left|\dfrac{1}{\cos\,x}+\tan\,x\right| \right)+C$$
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(2) Por partes:
$w=\dfrac{1}{\cos\,x} \Rightarrow dw = -\dfrac{1}{\cos^2\,x}\cdot ( -\sin\,x)\,dx = \dfrac{\sin\,x}{\cos^2\,x}\,dx$
$dt=\dfrac{1}{\cos^2\,x}\,dx \Rightarrow t=\tan\,x+k$
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$\square$
a) $\displaystyle \int\,\dfrac{1}{\cos\,x}\,dx$
b) $\displaystyle \int\, \dfrac{1}{\cos^3\,x}\,dx$
SOLUCIÓN.
a)
$\displaystyle \int\,\dfrac{1}{\cos\,x}\,dx=$
$\displaystyle =\int\,\sec\,x\,dx$
$\displaystyle =\int\,\sec\,x \cdot \dfrac{\sec\,x+\tan\,x}{\sec\,x+\tan\,x}\,dx$
$\displaystyle =\int\,\dfrac{\sec^2\,x + \sec\,x\cdot \tan\,x}{\sec\,x+\tan\,x}\,dx$
$\displaystyle \overset{(1)}{=}\int\,\dfrac{\sec^2\,x + \sec\,x\cdot \tan\,x}{\sec\,x+\tan\,x}\,dx$
$\displaystyle = \int\,\dfrac{du}{u}$
$\displaystyle = \ln\,|u|+C$
$\displaystyle = \ln\,|\sec\,x+\tan\,x|+C$
$\displaystyle = \ln\,\left|\dfrac{1}{\cos\,x}+\tan\,x\right|+C \quad \quad (I)$
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(1) Cambio de variable: $u=\sec\,x+\tan\,x \Rightarrow du = \dfrac{1}{\cos^2\,x}\, ( 1+\sin\,x)\,dx = (\sec^2\,x + \tan\,x\cdot \sec\,x)\,dx$
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b)
$\displaystyle \int\, \dfrac{1}{\cos^3\,x}\,dx=$
$=\displaystyle \int\, \dfrac{1}{\cos^2\,x}\cdot \dfrac{1}{\cos\,x}\,dx$
$\overset{(2)}{=}\displaystyle \dfrac{\tan\,x}{\cos\,x}-\int\, \dfrac{\tan\,x \cdot \sin\,x}{\cos^2\,x}\,dx$
$=\displaystyle \dfrac{\tan\,x}{\cos\,x}-\int\, \dfrac{\sin^2\,x}{\cos^3\,x}\,dx$
$=\displaystyle \dfrac{\tan\,x}{\cos\,x}-\int\, \dfrac{1-\cos^2\,x}{\cos^3\,x}\,dx$
$=\displaystyle \dfrac{\tan\,x}{\cos\,x}-\int\, \dfrac{1}{\cos^3\,x}\,dx+\int\, \dfrac{\cos^2\,x}{\cos^3\,x}\,dx$
$=\displaystyle \dfrac{\tan\,x}{\cos\,x}-\int\, \dfrac{1}{\cos^3\,x}\,dx+\int\, \dfrac{1}{\cos\,x}\,dx$
Con lo cual
$$2\,\displaystyle \int\, \dfrac{1}{\cos^3\,x}\,dx=\displaystyle \dfrac{\tan\,x}{\cos\,x}+\int\, \dfrac{1}{\cos\,x}\,dx$$
luego, teniendo en cuenta (I) el resultado del apartado anterior
$$2\,\displaystyle \int\, \dfrac{1}{\cos^3\,x}\,dx=\displaystyle \dfrac{\tan\,x}{\cos\,x}+\ln\,\left|\dfrac{1}{\cos\,x}+\tan\,x\right|$$ de donde se deduce que
$$\displaystyle \int\, \dfrac{1}{\cos^3\,x}\,dx=\dfrac{1}{2}\left( \dfrac{\tan\,x}{\cos\,x}+\ln\,\left|\dfrac{1}{\cos\,x}+\tan\,x\right| \right)+C$$
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(2) Por partes:
$w=\dfrac{1}{\cos\,x} \Rightarrow dw = -\dfrac{1}{\cos^2\,x}\cdot ( -\sin\,x)\,dx = \dfrac{\sin\,x}{\cos^2\,x}\,dx$
$dt=\dfrac{1}{\cos^2\,x}\,dx \Rightarrow t=\tan\,x+k$
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$\square$
Curvas en coordenadas polares con GeoGebra. Ejemplo: cardiode
Para representar la gráfica de una curva cuya ecuación viene expresada en coordenadas polares $(\rho,\theta)$ con el programa GeoGebra, podemos emplear el comando Curva(x(t),y(t),t,t_inicial,t_final) que nos sirve para representar curvas en coordenadas paramétricas; bastará con hacer un pequeño arreglo: $$\begin{matrix}x(t)=\rho \cdot \sin\,\theta \\ y(t)=\rho \cdot \cos\,\theta \end{matrix}$$ A continuación, y a modo de ejemplo, se muestra la curva cardiode, cuya ecuación en coordenadas polares es $$\rho = a(1+\cos\,\theta)\;\text{donde}\;a\in \mathbb{R}$$
Curvas de Lissajous
Mediante el comando Curva(x(t),y(t),t,t_inicial,t_final) de GeoGebra podemos representar curvas en coordenadas paramétricas. En la figura se muestran algunas curvas de Lissajous:
Integración. Área de una elipse
ENUNCIADO. Calcúlese el área de la elipse $$\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$$
SOLUCIÓN.
En esta figura se ha representado una elipse reducida ( centrada en el origen de coordenadas ) de semiejes $a$ y $b$ ( con GeoGebra ). Despejando $y$ en dicha ecuación se llega a $$y=\pm \sqrt{1-(x/a)^2}$$ La mitad de dicho trazo en el semiplano superior es la función $$f(x)=\left|\sqrt{1-(x/a)^2}\right|$$
El área pedia, dada la simetría con respecto al eje $Ox$, es igual a $$\text{Área}=2\,\int_{-a}^{a}\,\left|\sqrt{1-(x/a)^2}\right|\,dx \quad \quad(1)$$ En otro artículo del blog se resolvió el problema de encontrar la familia de primitivas de dicha función:
$$\int\,\left|\sqrt{1-(x/a)^2}\right|\,dx = \dfrac{a}{2}\,\left( \dfrac{x}{a}\,\left|\sqrt{1-(x/a)^2}\right|+\arcsin\,(x/a)\right)+C$$ Así pues una función primitiva de $f(x)=\left|\sqrt{1-(x/a)^2}\right|$ es $$F(x)=\dfrac{a}{2}\,\left( \dfrac{x}{a}\,\left|\sqrt{1-(x/a)^2}\right|+\arcsin\,(x/a)\right)$$ Aplicando pues la regla de Barrow en (1) llegamos $\text{Área}=2\,b\,\left[ \left|\sqrt{1-(x/a)^2}\right| +\arcsin\,(x/a) \right]_{-a}^{a}=2\,b\left(F(a)-F(-a)\right)=$
$=ab\,(\pi/2-(-\pi/2))=\pi\,ab$
$\square$
SOLUCIÓN.
En esta figura se ha representado una elipse reducida ( centrada en el origen de coordenadas ) de semiejes $a$ y $b$ ( con GeoGebra ). Despejando $y$ en dicha ecuación se llega a $$y=\pm \sqrt{1-(x/a)^2}$$ La mitad de dicho trazo en el semiplano superior es la función $$f(x)=\left|\sqrt{1-(x/a)^2}\right|$$
El área pedia, dada la simetría con respecto al eje $Ox$, es igual a $$\text{Área}=2\,\int_{-a}^{a}\,\left|\sqrt{1-(x/a)^2}\right|\,dx \quad \quad(1)$$ En otro artículo del blog se resolvió el problema de encontrar la familia de primitivas de dicha función:
$$\int\,\left|\sqrt{1-(x/a)^2}\right|\,dx = \dfrac{a}{2}\,\left( \dfrac{x}{a}\,\left|\sqrt{1-(x/a)^2}\right|+\arcsin\,(x/a)\right)+C$$ Así pues una función primitiva de $f(x)=\left|\sqrt{1-(x/a)^2}\right|$ es $$F(x)=\dfrac{a}{2}\,\left( \dfrac{x}{a}\,\left|\sqrt{1-(x/a)^2}\right|+\arcsin\,(x/a)\right)$$ Aplicando pues la regla de Barrow en (1) llegamos $\text{Área}=2\,b\,\left[ \left|\sqrt{1-(x/a)^2}\right| +\arcsin\,(x/a) \right]_{-a}^{a}=2\,b\left(F(a)-F(-a)\right)=$
$=ab\,(\pi/2-(-\pi/2))=\pi\,ab$
$\square$
sábado, 4 de mayo de 2019
La noción de medida de un conjunto y la teoría axiomática de las probabilidades
Consideremos una familia de conjuntos $\mathcal{F}$. Entendemos por medida elemental sobre dicha familia de conjuntos a una aplicación $\Phi:\mathcal{F} \rightarrow (0,+\infty) \subset \mathbb{R}$ que cumple las siguientes condiciones:
i) Para todo $A \in \mathcal{F}$, $\Phi(A) \ge 0$
ii) Para cualesquiera $A,B$ de $\mathcal{F}$, $\Phi(A \cup B) = \Phi(A)+\Phi(B)$
iii) Dados dos conjuntos $A$ y $B$ de $\mathcal{F}$ tales que $A \cap B = \emptyset$ ( disjuntos ), $Phi(A \cup B)=\Phi(A)+\Phi(B)$
Ejemplos de medidas elementales:
I ) Sea $\Omega$ un conjunto finito y $\mathcal{P}(\Omega)$ el conjunto de las partes de $\Omega$. Entonces la aplicación $\text{Card}: \mathcal{P}\rightarrow \mathbb{N}$ tal que a cada elemento ( conjunto ) de las partes de $\Omega$ ( incluído el conjunto vacío $\emptyset$ ) le hace corresponder el número de los elementos que lo forman ( cardinal del conjunto ) es una medida sobre el conjunto de las partes de $\Omega$, pues se cumplen las tres propiedades referidas.
II) Sea $\mathcal{E}$ una experiencia aleatoria bien definida y $\Omega$ un espacio (conjunto) de suscesos elementales asociado a la misma; sea $\mathcal{A}$ el conjunto de sucesos no necesariamente elementales asociado, que, con las operaciones $\cup$ ( unión de sucesos/conjuntos ) y $\cup$ ( intersección de sucesos/conjuntos ), tiene estructura de álgebra ( de sucesos ) . Entonces la aplicación $P:\mathcal{A} \rightarrow [0,1]\subset \mathbb{R}$ cumple las tres propiedades que definen una medida ( en este caso sobre la referida álgebra de sucesos $\mathcal{A}$ ), y, por tanto, decimos que es una medida sobre el álgebra de sucesos $\mathcal{A}$.
Nota: La teoría axiomática de la probabilidad de A. Kolmogorov se fundamenta en dicha medida y en los siguientes axiomas:
A1. Para todo $A\in \mathcal{A}$, $0 \le P(A)\le 1$
A2. $P(\Omega)=1$
A3. Dados dos sucesos incompatibles cualesquiera $A$ y $B$ de $\mathcal{A}$, entonces $P(A \cup B)=P(A)+P(B)$
Nota: Decimos que la terna $(\Omega, \mathcal{A}, P)$ constituye un espacio de probabilidad.
Observación: En el caso de que $\Omega$ sea finito, con $\text{Card}(\Omega)=n$, entonces $\mathcal{A}=\mathcal{P}(\Omega)$ siendo $\text{Card}(\mathcal{P}(\Omega))=2^n$. En Bachillerato manejamos solamente los espacios de probabilidad finitos; los e. de p. infinitos, que revisten una gran importancia, se reservan para los estudios de grado.
Comentario: La integral de Riemann, que estudiamos en Bachillerato ( noción de "área bajo la curva" ), se fundamenta también en la noción de medida sobre un conjunto. En los estudios de grado, si continuáis vuestra formación en matemáticas, estudiaréis una generalización de la integral de Riemann, la integral de Lebesgue.
Referencias:
(1) J. Caruncho, et. al., "Matemática", COU Santillana, Santillana S.A., Madrid, 1981
(2) T.M. Apostol, "Calculus II", Ed. Reverté S.A., Barcelona, 1984
i) Para todo $A \in \mathcal{F}$, $\Phi(A) \ge 0$
ii) Para cualesquiera $A,B$ de $\mathcal{F}$, $\Phi(A \cup B) = \Phi(A)+\Phi(B)$
iii) Dados dos conjuntos $A$ y $B$ de $\mathcal{F}$ tales que $A \cap B = \emptyset$ ( disjuntos ), $Phi(A \cup B)=\Phi(A)+\Phi(B)$
Ejemplos de medidas elementales:
I ) Sea $\Omega$ un conjunto finito y $\mathcal{P}(\Omega)$ el conjunto de las partes de $\Omega$. Entonces la aplicación $\text{Card}: \mathcal{P}\rightarrow \mathbb{N}$ tal que a cada elemento ( conjunto ) de las partes de $\Omega$ ( incluído el conjunto vacío $\emptyset$ ) le hace corresponder el número de los elementos que lo forman ( cardinal del conjunto ) es una medida sobre el conjunto de las partes de $\Omega$, pues se cumplen las tres propiedades referidas.
II) Sea $\mathcal{E}$ una experiencia aleatoria bien definida y $\Omega$ un espacio (conjunto) de suscesos elementales asociado a la misma; sea $\mathcal{A}$ el conjunto de sucesos no necesariamente elementales asociado, que, con las operaciones $\cup$ ( unión de sucesos/conjuntos ) y $\cup$ ( intersección de sucesos/conjuntos ), tiene estructura de álgebra ( de sucesos ) . Entonces la aplicación $P:\mathcal{A} \rightarrow [0,1]\subset \mathbb{R}$ cumple las tres propiedades que definen una medida ( en este caso sobre la referida álgebra de sucesos $\mathcal{A}$ ), y, por tanto, decimos que es una medida sobre el álgebra de sucesos $\mathcal{A}$.
Nota: La teoría axiomática de la probabilidad de A. Kolmogorov se fundamenta en dicha medida y en los siguientes axiomas:
A1. Para todo $A\in \mathcal{A}$, $0 \le P(A)\le 1$
A2. $P(\Omega)=1$
A3. Dados dos sucesos incompatibles cualesquiera $A$ y $B$ de $\mathcal{A}$, entonces $P(A \cup B)=P(A)+P(B)$
Nota: Decimos que la terna $(\Omega, \mathcal{A}, P)$ constituye un espacio de probabilidad.
Observación: En el caso de que $\Omega$ sea finito, con $\text{Card}(\Omega)=n$, entonces $\mathcal{A}=\mathcal{P}(\Omega)$ siendo $\text{Card}(\mathcal{P}(\Omega))=2^n$. En Bachillerato manejamos solamente los espacios de probabilidad finitos; los e. de p. infinitos, que revisten una gran importancia, se reservan para los estudios de grado.
Comentario: La integral de Riemann, que estudiamos en Bachillerato ( noción de "área bajo la curva" ), se fundamenta también en la noción de medida sobre un conjunto. En los estudios de grado, si continuáis vuestra formación en matemáticas, estudiaréis una generalización de la integral de Riemann, la integral de Lebesgue.
Referencias:
(1) J. Caruncho, et. al., "Matemática", COU Santillana, Santillana S.A., Madrid, 1981
(2) T.M. Apostol, "Calculus II", Ed. Reverté S.A., Barcelona, 1984
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