Longitud de un arco de curva de una trayectoria ( cinemática )

En cinemática, es frecuente tener que calcular la longitud de arco de la curva que describe una partícula entre dos tiempos dados, $t_i$ y $t_f$. Al hilo de lo que hablaba en el artículo anterior, voy a exponer ahora cómo resolver este problema.

Si disponemos de las ecuaciones paramétricas de la trayectoria -- que, para simplificar, supondremos en el plano -- la cual proporciona la posición $(x(t),y(t))$ de la partícula en cada instante de tiempo $$\vec{r}(t) \equiv \left\{\begin{matrix}x(t) \\ y(t) \end{matrix}\right.$$ bastará con aplicar lo que ya se ha explicado en el artículo anterior: un elemento diferencia de longitud de arco es $$ds=\left| \sqrt{(dx(t))^2+(dy(t))^2} \right|$$ y teniendo en cuenta que $\dfrac{dx(t)}{dt}=x'(t)$ y $\dfrac{dy(t)}{dt}=y'(t)$ con lo cual $dx(t)=x'(t)\,dt$ e $dy(t)=y'(t)\,dt$ y por tanto podemos escribir $$ds= \left|\sqrt{(x'(t))^2\,dt^2+(y'(t))^2\,dt^2}\right| = \left|\sqrt{(x'(t))^2+(y'(t))^2}\right|\,dt$$ Así que $$ds= \left|\sqrt{(x'(t))^2+(y'(t))^2}\right|\,dt$$ Por consiguiente $$s_{t_i \rightarrow t_f} =\int_{t_i}^{t_f}\,\left|\sqrt{(x'(t))^2+(y'(t))^2}\right|\,dt$$

EJEMPLO ( sencillo ). La trayectoria de una partícula en el plano viene dada por $$\vec{r}(t)\equiv \left\{\begin{matrix}x(t)=1 \\ y(t)=-t^2 \end{matrix}\right.$$ Calcúlese la longitud del arco de curva que corresponde a la trayectoria de la partícula entre los instantes de tiempo $t_i=0\,\text{s}$ y $t_f=3\,\text{s}$ ( Las longitudes vienen dadas en metros ).
SOLUCIÓN. Derivando las ecuaciones paramétricas de posición ( donde $t$ es el parámetro ) obtenemos las ecuaciones paramétricas de la velocidad: $$\vec{v}(t)\equiv \left\{\begin{matrix}x'(t)=0\\ y'(t)=-2\,t\end{matrix}\right.$$ Entonces
$\displaystyle s_{t_i:=0 \rightarrow t_f:=3} =\int_{0}^{3}\,\left|\sqrt{(0^2+(-2t)^2}\right|\,dt=\int_{0}^{3}\,\left|\sqrt{4t^2}\right|\,dt=\int_{0}^{3}\,2t\,dt=$
  $\displaystyle=2\,\left[\dfrac{1}{2}\,t^2\right]_{0}^{3}=3^2-0^2=9\,\text{m}$
$\square$