El problema de los tres discos

ENUNCIADO. Una bolsa contiene tres discos: uno de ellos tiene ambas caras blancas; el segundo tiene una de las dos caras pintadas de blanco y en la otra hay un círculo rojo concéntrico pintado sobre fondo blanco, y, el tercer disco tiene ambas caras con un círculo rojo concéntrico pintando sobre fondo blanco. Extraemos uno de los discos al azar, y, depositándolo encima de la mesa ( sin examinar el disco ), observamos que la cara que mira hacia arriba tiene un círculo rojo pintado sobre fondo blanco. En relación a la cara inferior, calcúlese la probabilidad de que tenga también un círculo rojo concéntrico pintado sobre fondo blanco y de que no tenga dicho círculo rojo.


SOLUCIÓN.

Denotemos por $\mathcal{R}$ al suceso tener el círculo rojo en la cara inferior; por $R_2$, que dicho disco tenga el círculo rojo en las dos caras; por $R_1$, tenerlo en una sola cara, y, por $R_0$ no tenerlo en ninguna cara.

Consideramos la extracción al azar de uno de los discos. Es claro que $\{R_2,R_1,R_3\}$ es un conjunto completo de sucesos, esto es, constituye una partición del espacio muestral $\Omega$, ya que: i) $\Omega = R_2 \cup R_1 \cup R_3$ y, ii), $R_2 \cap R_1 = \emptyset$, $R_2 \cap R_0 = \emptyset$, $R_1 \cap R_0 = \emptyset$. Denotando por $\mathcal{R}$ al suceso extraer un disco que, al depositarlo sobre la mesa ( sin examinarlo ) tenga el círculo rojo concéntrico en la cara que mira hacia arriba, podemos escribir ( Teorema de la Probabilidad Total ): $$P(\mathcal{R})=P(\mathcal{R}|R_2)\,P(R_2)+P(\mathcal{R}|R_1)\,P(R_1)+P(\mathcal{R}|R_0)\,P(R_0)$$ que, con lo dicho en el enunciado es igual a $$P(\mathcal{R})=1\cdot \dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{2}\cdot \dfrac{1}{3}+0\cdot \dfrac{1}{3}=\dfrac{1}{2}$$

Según la pregunta formulada, deberemos calcular $P(R_2|\mathcal{R})$ y $P(R_1|\mathcal{R})$. Para ello, recurriremos al Teorema de Bayes:

$$P(R_2|\mathcal{R})=\dfrac{P(\mathcal{R}|R_2)\,P(R_2)}{P(\mathcal{R}}=\dfrac{1\cdot (1/3)}{1/2}=\dfrac{2}{3}$$

$$P(R_1|\mathcal{R})=\dfrac{P(\mathcal{R}|R_1)\,P(R_2)}{P(\mathcal{R}}=\dfrac{1\cdot (1/3)\cdot (1/2)}{1/2}=\dfrac{1}{3}$$

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Nota: Desde luego, no hace falta decir que $$P(R_0|\mathcal{R})=0$$
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Concluimos que, si bien podría parecer -- sin hacer ningún cálculo -- que la probabilidad de que en la cara inferior es la misma de tener o no el círculo rojo, vemos ahora que, de tener que apostar por qué hay en la cara inferior, deberíamos hacerlo por "tener otro círculo rojo" ya que es más probable que no tenerlo, pues $\dfrac{2}{3} \succ \dfrac{1}{3}$; en concreto, hay el doble de probabilidad de que en la cara inferior tenga el círculo rojo que de que no lo tenga.

$\square$