Longitud de un arco de curva

Si bien el contenido de este artículo ( así como otros que estoy escribiendo en estas fechas cercanas al final de curso ) es de ampliación en 2.º de Bachillerato, me ha parecido interesante exponerlo, pensando en los alumnos que tengáis interés en ahondar en los contenidos sobre cálculo que se han dado, especialmente, en las aplicaciones de los mismos.

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Consideremos la gráfica de una función $y=f(x)$. Nos proponemos calcular la longitud del arco de curva, $s$, entre dos valores de la variable de integración: $x_i$ y $x_f$.

Un elemento diferencial de arco viene dado por $ds^2 = dx^2+dy^2 \Rightarrow ds=\left|\sqrt{dx^2+dy^2}\right|$, luego haciendo un poco de álgebra con los diferenciales llegamos a $\dfrac{ds}{dx} = \left|\sqrt{1+\left(\dfrac{dy}{dx}\right)^2}\right|\,dx=\left|\sqrt{1+(f'(x))^2}\right|\,dx$; en consecuencia, $\displaystyle s|_{x_i \rightarrow x_f } = \int_{x_i}^{x_f}\,\left|\sqrt{1+\left(\dfrac{dy}{dx}\right)^2}\right|\,dx=\int_{x_i}^{x_f}\,\left|\sqrt{1+(f'(x))^2}\right|\,dx$

EJEMPLO. Calcúlese la longitud de la parábola $f(x)=x^2$ entre $x_i=0$ y $x_f=1$
SOLUCIÓN. La longitud pedida viene dada por $$\int_{0}^{1}\,\left|\sqrt{1+(f'(x))^2}\right|\,dx$$ y teniendo en cuenta que $f'(x)=2x$, la integral a resolver se concreta en $$\int_{0}^{1}\,\left|\sqrt{1+(2x)^2}\right|\,dx \quad \quad (I)$$ Procedamos primero a calcular la integral indefinida ( omitiremos en ellos, por comodidad, los signos de valor absoluto ) $$\int\,\sqrt{1+(2x)^2}\,dx$$

$\displaystyle \int\,\left|\sqrt{1+(2x)^2}\right|\,dx=$
  $\displaystyle \overset{(1)}{=}\dfrac{1}{2}\,\int\,\sqrt{1+\tan^2\,u}\cdot \dfrac{1}{\cos^2\,u}du$
    $\displaystyle = \dfrac{1}{2}\,\int\,\sqrt{\dfrac{1}{\cos^2\,u}}\cdot \dfrac{1}{\cos^2\,u}du$
      $\displaystyle = \dfrac{1}{2}\,\int\,\dfrac{1}{\cos^3\,u}du$
        $\displaystyle \overset{(2)}{=} \dfrac{1}{2}\,\left( \dfrac{1}{2} \left( \dfrac{\tan\,u}{\cos\,u}+ \ln\,\left| \dfrac{1}{\cos\,u}+\tan\,u \right| \right) \right)+C$
          $\displaystyle = \dfrac{1}{4}\,\left( \dfrac{\tan\,u}{\cos\,u}+ \ln\,\left| \dfrac{1}{\cos\,u}+\tan\,u \right| \right)+C$
            $\displaystyle \overset{(3)}{=} \dfrac{1}{4}\,\left( \dfrac{2x}{\sqrt{\dfrac{1}{1+(2x)^2}}}+ \ln\,\left| \dfrac{1}{\dfrac{1}{\sqrt{1+(2x)^2}}}+2x \right| \right)+C$
              $\displaystyle = \dfrac{1}{4}\,\left( 2x\,\sqrt{1+(2x)^2}+ \ln\,\left| \sqrt{1+(2x)^2}+2x \right| \right)+C$

Así pues, una primitiva de la función del integrando es $$F(x)=\dfrac{1}{4}\,\left( 2x\,\sqrt{1+(2x)^2}+ \ln\,\left| \sqrt{1+(2x)^2}+2x \right| \right)$$

Finalmente, aplicaremos la regla de Barrow para calcular la integral definida (I), y, por tanto, la longitud de arco, $s$, pedida:
$\displaystyle s=\int_{0}^{1}\,\left|\sqrt{1+(2x)^2}\right|\,dx=$
  $\displaystyle=F(1)-F(0)$
    $\displaystyle=\dfrac{1}{4}\,\left((2\,\sqrt{1+(2\cdot 1)^2}+\ln\,|1+2\cdot 1|)-(0+\ln\,|1+0|)\right)$
      $\displaystyle=\dfrac{1}{4}\,\left( 2\,\sqrt{5}+\sqrt{3} \right)\;\text{unidades de longitud}$

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(1) Cambio de variable:
$2x=\tan\,u \Rightarrow 2\,dx=\dfrac{1}{\cos^2\,u}\,du \Rightarrow dx = \dfrac{du}{2\,\cos^2\,u}$
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(2) Resuelto en otro ejercicio de este mismo blog
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(3) Dividiendo ambos miembros de la identidad fundamental $\sin^2\,u+\cos^2\,u=1$ por $\cos^2\,u$, obtenemos $\tan^2\,u+1=\dfrac{1}{\cos^2\,u}$ luego $\cos^2\,u=\dfrac{1}{1+\tan^2\,u}$ y por tanto $\cos\,u=\sqrt{\dfrac{1}{1+\tan^2\,u}}$. Teniendo en cuenta ahora el c.v. realizado $\tan\,u=2x$ vemos que $\cos\,u=\sqrt{\dfrac{1}{1+(2x)^2}}$, que utilizaremos para deshacer el cambio de variable.

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$\square$