El vuelo del Fénix

ENUNCIADO. Cada uno de los dos motores de un avión bimotor que sigue una ruta por el desierto del Gobi se averia pongamos que el 1% de las veces que el avión se ve afectado por una tormenta de arena. En caso necesario, el avión puede seguir en vuelo con un sólo motor ( los posibles fallos en un motor se suponen independientes de los del otro). Se considera que el avión es alcanzado por una tormenta de arena. Calcúlese la probabilidad de que:
a) El avión tenga que realizar un aterrizaje forzoso, debido al fallo de los dos motores.
b) Uno de los dos motores deje de funcionar ( sólo uno de los dos )
c) Ninguno de los dos motores no se vean afectados por la tormenta
d) La probabilidad de que al menos uno de los dos motores deje de funcionar

Nota: Al redactar este problema me he inspirado en la emotiva película Flight of the Phoenix (2004), la epopeya de un Fairchild C-119, dirigida por John Moore [ un remake de la versión original de 1965, de Robert Aldrich ], en cuya banda musical se puede disfrutar de excelentes canciones, como ésta por ejemplo ( vía YouTube ).

SOLUCIÓN.
Denotemos por $B$ al suceso "fallo del motor de babor" y por $E$, fallor del motor de estribor.

a) La probabilidad de que el piloto tenga que realizar un aterrizaje forzoso ( fallo den los dos motores ) viene dada por $P(E \cap B)$, y, como, según el enunciado, el fallo en uno de los motores es independiente del fallo en el otro, ésta es igual a $P(E) \cdot P(B)= \dfrac{1}{100} \cdot \dfrac{1}{100} = \dfrac{1}{10\,000} = 0,01\,\%$, por lo que, en principio, dada la baja probabilidad de fallo total, no se debería temer un desenlace fatal.

b) $P( (E \cap \bar{B} ) \cup (\bar{E} \cap B ) ) = \dfrac{1}{100}\cdot (1-\dfrac{1}{100}) + (1-\dfrac{1}{100}) \cdot \dfrac{1}{100}$
  $= 2\cdot (1-\dfrac{1}{100})\cdot \dfrac{1}{100} = \dfrac{99}{5000} = 0,0198 =1,98\,\%$. A pesar de que la probabilidad sea pequeña, hay que prever esta posibilidad. De ahí, entre otras razones logísticas, la preferencia por el uso de un avión bimotor.

c) $P(\bar{E} \cap \bar{B})=(1-\dfrac{1}{100})\cdot (1-\dfrac{1}{100}) = \dfrac{9801}{10\,000} = 0,9801 \approx 98\,\%$, así que, según ésto, no deberíamos temer -- razonablemente -- ninguna avería.

d) $P( (E \cap \bar{B} ) \cup (\bar{E} \cap B ) \cup (\bar{E} \cap \bar{B} ) ) = 1-P(\bar{E} \cap \bar{B})=1-0,9801=0,0199 \approx 1,99\,\%$ Bueno ... desde luego, no es cero, así que habría que estar preparados ante posibles sustos; sin embargo, no perdamos la calma antes de decidir no subir a bordo y anular el viaje: pensemos en la baja probabilidad de que fallen los dos motores ( resultado del primer apartado ).

$\square$