La noción de medida de un conjunto y la teoría axiomática de las probabilidades

Consideremos una familia de conjuntos $\mathcal{F}$. Entendemos por medida elemental sobre dicha familia de conjuntos a una aplicación $\Phi:\mathcal{F} \rightarrow (0,+\infty) \subset \mathbb{R}$ que cumple las siguientes condiciones:

i) Para todo $A \in \mathcal{F}$, $\Phi(A) \ge 0$
ii) Para cualesquiera $A,B$ de $\mathcal{F}$, $\Phi(A \cup B) = \Phi(A)+\Phi(B)$
iii) Dados dos conjuntos $A$ y $B$ de $\mathcal{F}$ tales que $A \cap B = \emptyset$ ( disjuntos ), $Phi(A \cup B)=\Phi(A)+\Phi(B)$

Ejemplos de medidas elementales:

I ) Sea $\Omega$ un conjunto finito y $\mathcal{P}(\Omega)$ el conjunto de las partes de $\Omega$. Entonces la aplicación $\text{Card}: \mathcal{P}\rightarrow \mathbb{N}$ tal que a cada elemento ( conjunto ) de las partes de $\Omega$ ( incluído el conjunto vacío $\emptyset$ ) le hace corresponder el número de los elementos que lo forman ( cardinal del conjunto ) es una medida sobre el conjunto de las partes de $\Omega$, pues se cumplen las tres propiedades referidas.

II) Sea $\mathcal{E}$ una experiencia aleatoria bien definida y $\Omega$ un espacio (conjunto) de suscesos elementales asociado a la misma; sea $\mathcal{A}$ el conjunto de sucesos no necesariamente elementales asociado, que, con las operaciones $\cup$ ( unión de sucesos/conjuntos ) y $\cup$ ( intersección de sucesos/conjuntos ), tiene estructura de álgebra ( de sucesos ) . Entonces la aplicación $P:\mathcal{A} \rightarrow [0,1]\subset \mathbb{R}$ cumple las tres propiedades que definen una medida ( en este caso sobre la referida álgebra de sucesos $\mathcal{A}$ ), y, por tanto, decimos que es una medida sobre el álgebra de sucesos $\mathcal{A}$.


Nota: La teoría axiomática de la probabilidad de A. Kolmogorov se fundamenta en dicha medida y en los siguientes axiomas:

A1. Para todo $A\in \mathcal{A}$, $0 \le P(A)\le 1$
A2. $P(\Omega)=1$
A3. Dados dos sucesos incompatibles cualesquiera $A$ y $B$ de $\mathcal{A}$, entonces $P(A \cup B)=P(A)+P(B)$

Nota: Decimos que la terna $(\Omega, \mathcal{A}, P)$ constituye un espacio de probabilidad.

Observación: En el caso de que $\Omega$ sea finito, con $\text{Card}(\Omega)=n$, entonces $\mathcal{A}=\mathcal{P}(\Omega)$ siendo $\text{Card}(\mathcal{P}(\Omega))=2^n$. En Bachillerato manejamos solamente los espacios de probabilidad finitos; los e. de p. infinitos, que revisten una gran importancia, se reservan para los estudios de grado.

Comentario: La integral de Riemann, que estudiamos en Bachillerato ( noción de "área bajo la curva" ), se fundamenta también en la noción de medida sobre un conjunto. En los estudios de grado, si continuáis vuestra formación en matemáticas, estudiaréis una generalización de la integral de Riemann, la integral de Lebesgue.

Referencias:
(1) J. Caruncho, et. al., "Matemática", COU Santillana, Santillana S.A., Madrid, 1981
(2) T.M. Apostol, "Calculus II", Ed. Reverté S.A., Barcelona, 1984