Un problema de probabilidades en el tiro al plato. Teorema de Bayes.

ENUNCIADO.
Dos tiradores, Antonio y Berta, practican el tiro al plato. Antonio acierta $1$ de cada $3$ tiros; y Berta, $1$ de cada $2$. Sin ver a los tiradores cómo disparan, un observador oye $2$ disparos, y, al mirar el plato en el aire, se da cuenta de que ninguno disparo ha tenido éxito. Se pide:
a) La probabilidad de que los dos disparos los haya realizado Antonio
b) La probabilidad de que los dos disparos los haya realizado Berta
c) La probabilidad de que cada uno de los dos haya realizado uno de los dos disparos.

SOLUCIÓN.
a) Denotemos por: $A_1$ al suceso "el primer disparo lo ha realizado Antonio"; $A_2$ al suceso "el segundo disparo lo ha realizado Antonio"; $B_1$ al suceso "el primer disparo lo ha realizado Berta"; $B_2$ al suceso "el segundo disparo lo ha realizado Berta", y $F$ al suceso "los dos tiros han resultado fallidos"

Por el Teorema de la Probabilidad Total:
$P(F)=P(F | A_1 \cap A_2)\;P(A_1 \cap A_2)+P(F | B_1 \cap B_2)\;P(B_1 \cap B_2)+$
  $=P(F | A_1 \cap B_2)\;P(A_1 \cap B_2) + P(F | B_1 \cap A_2)\;P(B_1 \cap A_2) \quad \quad (1)$

y por el Teorema de Bayes:
$$P(A_1 \cap A_2 | F ) = \dfrac{P(F | A_1 \cap A_2)\,P(A_1 \cap A_2)}{P(F)} \quad \quad (2)$$

$$P(B_1 \cap B_2 | F ) = \dfrac{P(F | B_1 \cap B_2)\,P(B_1 \cap B_2)}{P(F)} \quad \quad (3)$$

$P(A_1 \cap B_2) = \dfrac{P(F | A_1 \cap B_2)\,P(A_1 \cap B_2)}{P(F)} \quad \quad (4)$

$P(B_1 \cap A_2) = \dfrac{P(F | B_1 \cap A_2)\,P(B_1 \cap A_2)}{P(F)} \quad \quad (5)$


Desde luego, $P(A_1)=P(A_2)=P(B_1)=P(B_2)=\dfrac{1}{2}$. Y, com es de suponer, los dos disparos ( que son seguidos ), son independientes, luego
$P(A_1 \cap A_2)=P(B_1 \cap B_2)=P(A_1 \cap B_2)=P(B_1 \cap A_2)=\left(\dfrac{1}{2}\right)^2=\dfrac{1}{4}$

Por otra parte,
$(P(F | A_1 \cap A_2)=(1-\dfrac{1}{3})\cdot (1-\dfrac{1}{3})=\dfrac{4}{9}$
$(P(F | B_1 \cap B_2)=(1-\dfrac{1}{2})\cdot (1-\dfrac{1}{2})=\dfrac{1}{4}$
$(P(F | A_1 \cap B_2)=(1-\dfrac{1}{3})\cdot (1-\dfrac{1}{2})=\dfrac{1}{3}$
$(P(F | B_1 \cap A_2)=(1-\dfrac{1}{2})\cdot (1-\dfrac{1}{3})=\dfrac{1}{3}$

Sustituyendo estos valores en (1)
$P(F)=\dfrac{4}{9}\cdot \dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{4}\cdot \dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{3}\cdot \dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{3}\cdot \dfrac{1}{4}$
    $=\dfrac{49}{144}$


Con todo ello ya podemos dar respuesta a las preguntas de los tres apartados:
a) Sustituyendo en (2):
$P(A_1 \cap A_2 | F ) = \dfrac{P(F | A_1 \cap A_2)\,P(A_1 \cap A_2)}{P(F)}$
  $=\dfrac{(4/9)\cdot (1/4)}{49/144}=\dfrac{16}{49}$

b) Sustituyendo en (3):
$P(B_1 \cap B_2 | F ) = \dfrac{P(F | B_1 \cap B_2)\,P(B_1 \cap B_2)}{P(F)}$
  $=\dfrac{(1/4)\cdot (1/4)}{49/144}=\dfrac{9}{49}$

c) Sustituyendo en (4) y (5):
$P((A_1 \cap B_2) \cup (B_1 \cap A_2) | F )=P((A_1 \cap B_2) | F )+P((B_1 \cap A_2) | F )$
  $=\dfrac{(1/3)\cdot (1/4)}{49/144}+\dfrac{(1/3)\cdot (1/4)}{49/144}=\dfrac{24}{49}$

Observación:
Comprobemos que $$P(A_1 \cap A_2 | F )+P(B_1 \cap B_2 | F )+P((A_1 \cap B_2)\cup (B_1 \cap B_2))=1$$
En efecto
$$\dfrac{16}{49}+\dfrac{9}{49}+\dfrac{24}{49}=\dfrac{49}{49}=1$$

Nota:
Para facilitar el planteamiento de este tipo de ejercicios suele ser útil el dibujo de un diagramación en árbol, que he omitido.

$\square$