Geometría analítica en el espacio. Lugares geométricos.

ENUNCIADO. Determinese la ecuación reducida de la superficie del hiperboloide $\mathcal{H}$ cuyos focos son $F(1,0,0)$ y $F'(-1,0,0)$, sabiendo que la diferencia de distancia de un punto genérico de la superficie a los dos focos es igual a $1$ unidad de longitud arbitraria.

NOTA. Este ejercicio puede considerarse de ampliación ( en 2.º de Bachillerato ).

SOLUCIÓN. Por la condición de lugar geométrico, $$\mathcal{H}=\{X(x,y,z):\text{dist}(X,F)-\text{dist}(X,F')=1\}$$ Así pues $$|\sqrt{(x-(-1))^2+(y-0)^2+(z-0)^2}\,|-|\sqrt{(x-1)^2+(y-0)^2+(z-0)^2}\,|=1$$ (1). Así pues $$|\sqrt{(x-(-1))^2+(y-0)^2+(z-0)^2}\,|-|\sqrt{(x-1)^2+(y-0)^2+(z-0)^2}\,|=1$$ y por tanto $$|\sqrt{(x-(-1))^2+(y-0)^2+(z-0)^2}\,|=1+|\sqrt{(x-1)^2+(y-0)^2+(z-0)^2}\,|$$ Elevando al cuadrado sendos miembros de la igualdad $$(x+1)^2+y^2+z^2=1+2\,|\sqrt{(x-1)^2+(y-0)^2+(z-0)^2}\,|+(x-1)^2+y^2+z^2$$ Simplificando, $$4x-1=2\,|\sqrt{(x-1)^2+(y-0)^2+(z-0)^2}\,|$$ Y volviendo a elevar al cuadrado los dos miembros $$(4x-1)^2=4\,((x-1)^2+y^2+z^2)$$ Simplificando, $$12x^2-4y^2-4z^2=3$$ esto es $$4x^2-\dfrac{4}{3}y^2-\dfrac{4}{3}z^2=1$$ que podemos escribir de la forma $$\dfrac{x^2}{(1/2\,)^2}-\dfrac{y^2}{(\sqrt{3/4}\,)^2}-\dfrac{z^2}{(\sqrt{3/4}\,)^2}=1$$ que corresponde a la ecuación reducida de un hipérboloide de dos hojas, pues es del tipo $$\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}-\dfrac{z^2}{c^2}=1$$. Los semiejes tienen los siguientes: $a=\dfrac{1}{2}$ y $b=c=\sqrt{\dfrac{3}{4}}$

Con la ayuda de GeoGebra, se obtiene la siguiente representación de dicha superficie:

-oOo-
OBSERVACIONES:
(1) Este tipo de condiciones de lugar geométrico en el espacio -- que son generalizaciones de las que se dan en el plano para describir las cónicas -- dan lugar a una ecuación cuadrática $$Ax^2+By^2+Cz^2+Dxy+Eyz+Fxz+Gx+Hy+Iz+J=0$$ que describe un cierto tipo de superficies en el espacio, llamadas cuádricas ( elipsoides, paraboloides, hiperboloides, cilindros, conos, ... ). En el caso de este ejercicio en concreto, la cuádrica que se ha obtenido corresponde a un hiperboloide de dos hojas.

(2) Una cónica ( ya sea una elipse, una hipérbola, o una parábola ) es la intersección de un plano con una cuádrica, por lo que las cónicas se denominan secciones cónicas.

Un ejercicio de optimización. Aplicaciones de la derivada.

Proyecciones ortogonales de rectas sobre planos

ENUNCIADO. Sea el plano $\pi\equiv x+y+2z-1=0$ y la recta $r\equiv x=y=-z$, se pide:
a) La ecuación de la recta $r'$ que resulta de la proyección ortogonal de $r$ sobre $\pi$
b) El ángulo formado entre un vector director de $r$ y un vector característico del plano $\pi$

SOLUCIÓN. Como vamos a ver enseguida, el caso de éste problema en concreto muy particular, pues la recta y el plano dados son paralelos.

a) Un vector en la dirección de $r$ es $\vec{u}_r=(1,1,-1)$ y un vector perpendicular a $\pi$ es $\vec{n}=(1,1,2)$. Observemos que $\langle \vec{u}_r,\vec{n}_\pi \rangle = 1\cdot 1+1\cdot 1+(-1)\cdot 2=0$ de lo cual se deduce que dichos vectores son perpendiculares, luego $r$ es paralela a $\pi$.

Es evidente que el punto $A_{r}(0,0,0)$ de la recta $r$ no pertenece a $\pi$, puesto que sus coordenadas no satisfacen la ecuación general de dicho plano; de ésto se deduce que la recta $r$ no está en el plano $\pi$.

Para encontrar la ecuación de su proyección sobre $\pi$ -- ya conocemos un vector director, que es el mismo que el de $r$, por ser $r$ paralela a $\pi$ --, necesitamos conocer un punto de $r'$, como es por ejemplo el punto que resulta de la proyección ortogonal de $A_r(0,0,0)$ sobre $\pi$, punto que, claramente, estará también en $r$ y que denotaremos por $A_{r'}$. Procedemos pues a calcularlo.

La intersección del plano $\pi$ con la recta perpendicular a $\pi$ que pasa por $A_r(0,0,0)$ nos dará el punto de $r'$, que estamos buscando. La recta perpendicular a $\pi$ que pasa por $A_r(0,0,0)$, a la que denotaremos por $s$, tiene por vector director el vector característico de $\pi$, esto es $\vec{u}_s:=\vec{n}_{\pi}=(1,1,2)$, luego la ecuación de dicha recta es $$s\equiv (x,y,z)=(0,0,0)+\alpha\,(1,1,2)$$ cuyas ecuaciones cartesianas son $$\left\{\begin{matrix}x=y\\z=2x\end{matrix}\right.$$ Así que las coordenads del punto $A_{r'}$ son solución del sistema de ecuaciones formado por la ecuación del plano $\pi$ y las ecuaciones cartesianas de $s$: $$A_{r'}\equiv \left\{\begin{matrix}x+y+2z=1\\y=x\\z=2x\end{matrix}\right.$$ Fácilmente resolvemos este sistema, obteniendo las coordenadas del punto $$P_{r'}=(1/6,1/6,1/3)$$ Con lo cual la recta proyección de $r$ sobre $\pi$ pedida tiene por ecuación $$r'\equiv (x,y,z)=(1/6,1/6,1/3)+\mu\,(1,1,-1)$$

b) Como el plano $\pi$ y la recta $r$ son paralelos, es obvio que el ángulo formado entre $r$ y $\pi$ es de $0^{\circ}$, o lo que es lo mismo: $\measuredangle (\vec{u}_r,\vec{n}_\pi)=90^{\circ}$
$\square$

ENUNCIADO. Se consideran las rectas $$r\equiv (x,y,z)=(1,1,-1+\lambda\,(-1,-1,0)$$ y $$s\equiv \left\{\begin{matrix}x++z+1=0\\y=0\end{matrix}\right.$$ Se pide:
a) Demuéstrese que $r$ y $s$ son secantes
b) Calcúlese el ángulo entre $r$ y $s$

SOLUCIÓN.

Recta perpendicular a dos rectas dadas

ENUNCIADO. Se consideran las rectas $r\equiv (x,y,z)=(0,1,0)+\lambda\,(1,1,0)$ y $s\equiv (x,y,z)=(2,0,1)+\mu\,(-1,0,1)$. Se pide:
a) Determínese la recta $t$ perpendicular a las rectas $r$ y $s$
b) Calcúlense las coordenadas de los puntos de intersección de $r$ con $t$, y de $s$ con $t$

SOLUCIÓN. Sea $\pi_{rt}$ el plano que contiene a $r$ y a $t$, y $\pi_{st}$ el plano que contiene a las rectas $s$ y $t$. Así, $t$ vendrá dada por la intersección de estos dos planos. Vamos a hallar, por tanto, las ecuaciones generales de sendos planos; éstas constituirán las ecuaciones cartesianas de la recta $t$.

Recordemos que un plano viene determinado por un vector perpendicular al mismo y un punto de dicho plano.

Consideremos un vector en la dirección de $t$, $\vec{u}_t$, tal como $\vec{u}_r \times \vec{u}_s$ (por ser $t$ perpendicular a $r$ y a $s$), siendo $\vec{u}_r$ un vector en la dirección de $r$ y $\vec{u}_s$ un vector en la dirección de $s$. Una vez conocido $\vec{u}_t$, y dadas las condiciones de perpendicularidad, un vector característico de $\pi_{rt}$ es $\vec{n}_{\pi_{rt}}:=\vec{u}_t \times \vec{u}_r$,y un vector característico de $\pi_{st}$ es $\vec{n}_{\pi_{st}}:=\vec{u}_t \times \vec{u}_s$

Así $\vec{u}_t:=\vec{u}_r \times \vec{u}_s=\begin{vmatrix}\vec{i}&\vec{j}&\vec{k}\\1&1&0\\-1&0&1\end{vmatrix}=(1,-1,1)$

---
Nota: Recordemos que $\vec{i}=(1,0,0)$, $\vec{j}=(0,1,0)$ y $\vec{k}=(0,0,1)$ son los vectores de la base canónica.
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con lo cual,
$\vec{n}_{\pi_{rt}}:=\vec{u}_t \times \vec{u}_r=\begin{vmatrix}\vec{i}&\vec{j}&\vec{k}\\1&-1&1\\1&1&0\end{vmatrix}=(-1,1,2)$, luego $\pi_{rt}\equiv -x+y+2z+D_{rt}=0 \quad \quad (1)$
y
$\vec{n}_{\pi_{st}}:=\vec{u}_t \times \vec{u}_s=\begin{vmatrix}\vec{i}&\vec{j}&\vec{k}\\1&-1&1\\-1&0&1\end{vmatrix}=(-1,-2,-1)$, luego $\pi_{st}\equiv -x-2y-z+D_{st}= \quad \quad (2)$

Entonces, teniendo en cuenta que $A_{r}(0,1,0)$ es un punto de $r$ y por tanto de $\pi_{rt}$, determinamos el valor de $D_{rt}$ sustituyendo las coordenas del punto en (1); despejando de $0+1+0+D_{rt}=0$, obteniendo $D_{rt}=-1$, y, por tanto, la ecuación general del plano $pi_{rt}$ es $\pi_{rt}\equiv -x+y+2z-1=0$.

De manera análoga, teniendo en cuenta que $A_{s}(2,0,1)$ es un punto de $s$ y por tanto de $\pi_{st}$, determinamos el valor de $D_{st}$ sustituyendo las coordenas del punto en (2); despejando de $-2+0-1+D_{st}=0$, obteniendo $D_{st}=3$, y, por tanto, la ecuación general del plano $pi_{st}$ es $\pi_{st}\equiv x+2y+z-3=0$

En consecuencia, las ecuaciones cartesianas de la recta $t$ pedida son: $$t\equiv \left\{\begin{matrix}-x+y+2z-1=0 \\ x+2y+z-3=0\end{matrix}\right.$$

b)
Las ecuaciones cartesianas de $r$ las obtenemos despejando el parámetros de las ecuaciones paramétricas que pueden escribirse fácilmente a partir de la ecuación vectorial dada en el enunciado: $\lambda=x=y-1$ y $z=0$, luego $$r\equiv \left\{\begin{matrix}x-y=-1\\z=0\end{matrix}\right.$$

De manera análoga, obtenemos las ecuaciones cartesianas de $s$: $\mu=2-x=z-1$ y $y=0$, luego $$s\equiv \left\{\begin{matrix}x+z=3\\y=0\end{matrix}\right.$$

Las coordenadas del punto de intersección de $t$ y $r$ corresponden a la solución del siguiente sistema compatible determinado, formado por las ecuaciones cartesians de $t$ y por las ecuaciones cartesians de $r$: $$\left\{\begin{matrix}-x&+&y&2z&=&1 \\ x&+&2y&z&=&3 \\ x&-&y&&=&-1 \\ &&&z&=&0 \end{matrix}\right.$$ y puede comprobarse que su solución es el punto $P_{r \cap t}=(1/3,4/3,0)$

Las coordenadas del punto de intersección de $t$ y $s$ corresponden a la solución del siguiente sistema compatible determinado, formado por las ecuaciones cartesians de $t$ y por las ecuaciones cartesians de $s$: $$\left\{\begin{matrix}-x&+&y&2z&=&1 \\ x&+&2y&z&=&3 \\ x&&&z&=&3 \\ &&y&&=&0 \end{matrix}\right.$$ obteniéndose que su solución es el punto $P_{s \cap t}=(4/3,0,5/3)$

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Determinación de una recta que pasa por un punto dado y que es perpendicular a una cierta recta

ENUNCIADO. Se considera la recta $r\equiv (x,y,z)=(0,1,0)+\lambda\,(1,2,1)$. Determínese la ecuación de la recta $s$ que pasa por el punto $P(1,-1,1)$ y es perpendicular a $r$.

SOLUCIÓN. Sea $X(x,y,z)$ un punto genérico del plano $\pi$ que contiene a $s$ y que, por las condiciones del enunciado, ha de ser perpendicular a $r$. Entonces, siendo $\vec{u}_r:=(1,2,1)$ un vector director de $r$, ha de cumplirse como condición necesaria que $\langle \overset{\rightarrow}{PX},\vec{u}_r\rangle =0$, con lo cual $\langle (x-1,y-(-1),z-1),(1,2,1)\rangle =0$ de donde se desprende que $x+2y+z=0$, que es la ecuación de dicho plano $\pi$.

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Observación: También podemos obtener la ecuación del plano $\pi$ montando directamente la ecuación general del mismo $Ax+By+Cz+D=0$, ya que los valores de los coeficientes $A,B$ y $C$ se corresponden con las coordenadas de un vector perpendicular al mismo, como puede ser un vector en la dirección de $r$ ( ya que $r$ es perpendicular a $\pi$ ); en nuestro caso, $A=1$, $B=2$ y $C=1$. El valor del coeficiente $D$ lo calculamos a partir del punto $P(1,-1,1)$ que forma parte del plano, y, por tanto sus coordenadas tienen que satisfacer la ecuación general de dicho plano: $1.1+2\cdot (-1)+1\cdot 1+D=0$, por lo que $D=0$; en consecuencia, la ecuación general del plano queda $x+2y+z=0$
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La determinación de la recta pedida $s$ requiere conocer un punto de la misma -- ya lo tenemos: $P(1,-1,1)$ -- y un vector que tenga su misma dirección, llamémosle $\vec{u}_s$, para el cual podemos tomar $\overset{\rightarrow}{PI}$ o bien un vector linealmente dependiente con éste, siendo $I$ el punto de intersección del plano $\pi$ ( que contiene a $s$ ) y de la recta $r$.

Procedemos pues a calcular las coordenadas de dicho punto $I$. Para ello, tenemos que escribir las ecuaciones cartesianas de $r$. De la ecuación vectorial de $r$, y despejando el parámetro, obtenemos $\left\{\begin{matrix}\lambda=x \\ \lambda = \dfrac{y-1}{2} \\ \lambda =z \end{matrix}\right.$, y, de éstas igualdades llegamos a
$$r\equiv \left\{\begin{matrix}x=z \\ y-2z=1 \end{matrix}\right.$$

Las coordenadas de $I$ han de ser la solución del sistema de ecuaciones formado por las dos ecuaciones cartesianas de la recta $r$ ( que acabamos de hallar ) y la ecuación general del plano $\pi$, esto es $$I \equiv \left\{\begin{matrix}x+2y+z=0 \\ x=z \\ y-2z =1\end{matrix}\right.$$ sistema que resolvemos sin dificultad, obteniendo $I(-1/3,1/3,-1/3)$

Entonces $\overset{\rightarrow}{PI}=\overset{\rightarrow}{OI}-\overset{\rightarrow}{OP}=(-1/3-1,1/3-(-1),-1/3-1)=(-4/3,4/3,-4/3)$ que es linealmente dependiente con $(-1,1,-1)$, luego podemos escribir $\vec{u}_s:=(-1,1,-1)$

Finalmente, ya podemos expresar la ecuación de la recta pedida $s$ en forma vectorial: $\overset{\rightarrow}{OX}=\overset{\rightarrow}{OP}+\mu\,\vec{u}_3$, siendo ahora $X$ un punto genérico de dicha recta. Así, $$s\equiv (x,y,z)=(1,-1,1)+\mu\,(-1,1,1)$$
$\square$

Recta que pasa por un punto dado y que es perpendicular a dos planos que contienen sendas rectas dadas

ENUNCIADO. Las rectas $r\equiv (x,y,z)=(1,0,0)+\lambda\,(-1,1,0)$ y $s\equiv (x,y,z)=(1,1,0)+\mu\,(-1,-1,2)$ están en planos paralelos. Determínese la recta $t$ que es perpendicular a sendos planos y que contiene al punto $P(3,3,2)$.

SOLUCIÓN. Consideremos un vector en la dirección de $r$, $\vec{u}_r:=(-1,1,0)$, y un vector en la dirección de $s$, $\vec{u}_s:=(-1,-1,2)$. Teniendo en cuenta que $t$ es perpendicular a $r$, entonces un vector en la dirección de $t$, $\vec{u}_t$, ha de ser perpendicular a $\vec{u}_r$; y lo mismo ocurre con los vectores de la recta $s$: $\vec{u}_t$ ha de ser perpendicular a los mismos. Así pues, $\vec{u}_r \times \vec{u}_s$ es un vector en la dirección de $t$

Como $\begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ -1 & 1 & 0 \\ -1 & -1 & 2 \end{vmatrix}=(3,3,3) \propto (1,1,1)$, tomamos $\vec{u}_t:=(1,1,1)$. Y teniendo en cuenta que $P(3,3,2)$ está en $t$, ya podemos escribir la ecuación de la recta pedida $t$ en forma vectorial: $$t\equiv (x,y,z)=(3,3,2)+\alpha\,(1,1,1)$$

$\square$

Lugares geométricos en R^3. Plano mediador de un segmento dado

ENUNCIADO. Determínese la ecuación del plano mediador del segmento cuyos extremos son los puntos $A(1,-1,4)$ y $B(3,0,2)$

SOLUCIÓN. El plano mediador es el lugar geométrico de los puntos del espacio que equidistan de $A$ y $B$, esto es $$\pi_{\text{mediador}}=\{X(x,y,z): \text{dist}(X,A)=\text{dist}(X,B)\}$$
Así pues, de la condición de igual distancia euclídea podemos escribir,
$$|\sqrt{(x-1)^2+(y-(-1))^2+(z-4)^2}|=|\sqrt{(x-3)^2+(y-0)^2+(z-2)^2}|$$ Elevando al cuadrado ambos miembros llegamos a
$$(x-1)^2+(y-(-1))^2+(z-4)^2=(x-3)^2+(y-0)^2+(z-2)^2$$ y desarrollando los binomios al cuadrado,
$$x^2-2x+1+y^2+2y+1+z^2-8z+16=x^2-6x+9+y^2+z^2-4z+4$$ Simplificando ( se anulan los términos de segundo grado ) y agrupando los términos semejantes de primer grado y los términos de grado cero, obtenemos la ecuación del plano pedida:$$ \pi_{\text{mediador}} \equiv 4x + 2y -4z+5=0$$
$\square$

Taller de cálculo simbólico (CAS) con MAXIMA

Hace un par de años organicé un taller de cálculo simbólico con MAXIMA, una herramienta muy útil para calcular y aprender matemáticas, que forma parte del software libre. Praparé la siguiente presentación para un curso de 1.º de Bachillerato, que espero que sea también de vuestro interés:

Lugares geométricos. Elipsoide

Proyección ortogonal de una recta sobre un plano. Espacio euclídeo R^3.

Recta perpendicular a dos rectas que se cruzan ( espacio euclídeo R^3 )

Algunos problemas básicos en el espacio euclídeo R^3 que hay que saber resolver

• Determinación de una recta, dado un punto de la misma y un vector en la misma dirección que dicha recta
  
• Determinación de una recta, dados dos puntos de la misma
  
• Saber expresar la ecuación de una recta en todas sus formas: vectorial, continua, paramétrica, y mediante sus ecuaciones cartesianas ( implícitas )
  
• Determinación de un plano, dados tres puntos del mismo
  
• Determinación de un plano, dados un punto del mismo y dos vectores contenidos en dicho plano
  
• Determinación de un plano, conocido un punto de éste y dado un vector perpendicular a dicho plano
  
• Saber expresar la ecuación de un plano en todas formas: vectorial, paremétrica, y general ( implícita )
  
• Determinación de la recta perpendicular a un cierto plano y que ha de pasar por un cierto punto
  
• Determinación de la recta perpendicular a una recta dada y que ha de pasar por un cierto punto
  
• Investigación de la incidencia entre: a) dos rectas, b) dos planos, c) una recta y un plano
  
• Distancia entre dos rectas que se cruzan
  
• Distancia entre una recta y un punto exterior a ella
  
• Distancia entre un plano y un punto exterior a dicho plano
  
• Distancia entre dos planos paralelos no coincidentes
  
• Ángulo entre dos rectas no paralelas
  
• Área de un paralelogramo
  
• Volumen de un paralelepípedo
  
• Ángulo entre dos planos secantes
  
• Punto simétrico de un punto dado con respecto a una cierta recta
  
• Punto simétrico de un punto dado con respecto a un cierto plano
  
• Proyección ortogonal de una recta sobre un plano
  
• Recta perpendicular común a dos rectas que se cruzan
  
• Plano que contiene a un punto dado, perteneciendo dicho plano a un haz de planos que tienen por arista común una recta dada
  
• Plano que contiene a un punto dado, perteneciendo dicho plano a un cierto haz de planos paralelos
  
• Plano mediador de un segmento ( lugar geométrico )
  
• Plano bisector de dos planos que se cortan ( lugar geométrico )
  
• Ecuación de la superficie de una esfera de centro y radio dados ( lugar geométrico )
  
• Saber deducir el radio y el centro de la ecuación de una esfera en su forma desarrollada: $x^2+y^2+z^2+Ax+By+Cz+D=0$, así como expresar a partir de ésta la ecuación en forma centro-radio: $(x-x_C)^2+(y-y_C)^2+(z-z_C)^2=R^2$
  
• Plano tangente a una esfera en un cierto punto de la misma
  
• Investigación de la incidencia entre una esfera y un plano
  
• Radio de la circunferencia que resulta de la intersección de un plano y una esfera ( cuando el plano corta a la esfera )
  
• Saber manejar las ecuaciones de otras superficies ( de revolución ) y entender cómo se deducen: paraboloides, hiperboloides y elipsoides ( lugar geométrico )
  

Determinación de un plano a partir de tres puntos dados del mismo que no estén alineados

Dados tres puntos de un plano $\pi$, $A(x_A,y_A,z_A)$, $B(x_B,y_B,z_B)$ y $C(x_C,y_C,z_C)$ ( cuyas coordenadas vienen referidas a la base canónica del espacio vectorial afín $\mathbb{R}^3$, nos proponemos describir dicho plano de forma algebraica, esto es, deseamos encontrar, de diversas maneras, unas ecuaciones que lo representen.

Siendo $O(0,0,0)$ el origen de coordenadas, y $P(x,y,z)$ un punto cualquiera de dicho plano $\pi$, se cumple que $\overset{\rightarrow}{OP}=\overset{\rightarrow}{OA}+\overset{\rightarrow}{AP} $     (1), y teniendo en cuenta que $\overset{\rightarrow}{AP}$ se puede expresar como combinación lineal de $\overset{\rightarrow}{AB}$ y $\overset{\rightarrow}{AC}$ ya que estos dos vectores son linealmente independientes al no estar alineados los puntos $A,B$ y $C$; existirán pues dos escalares, $\lambda$ y $\mu$, tales que $\overset{\rightarrow}{AP} = \lambda\,\overset{\rightarrow}{AB}+\mu\,\overset{\rightarrow}{AC}$, y, por consiguiente, podemos escribir (1) de la forma $$\overset{\rightarrow}{OP}=\overset{\rightarrow}{OA}+\lambda\,\overset{\rightarrow}{AB}+\mu\,\overset{\rightarrow}{AC}$$, que es una ecuación vectorial del plano, y también podemos expresar de la forma
$(x,y,z)=(x_A,y_A,z_A)+\lambda\,(x_{B}-x_{A},y_{B}-y_{A},z_{B}-z_{A})+$
      $+\mu\,(x_{C}-x_{A},y_{C}-y_{A},z_{C}-z_{A})$

Esta ecuación vectorial da lugar a tres ecuaciones escalares a las que denominaremos ecuaciones paramétricas de $\pi$, puesto que dependen de los parámetro, $\lambda$ y $\mu$: $$\left.\begin{matrix}x=x_A+\lambda\,(x_{B}-x_{A})+\mu\,(x_{C}-x_{A}) \\ y=y_A+\lambda\,(y_{B}-y_{A})+\mu\,(y_{C}-y_{A})\\ z=z_A+\lambda\,(z_{B}-z_{A})+\mu\,(z_{C}-z_{A})\end{matrix}\right\} \quad \quad (2)$$.

El conjunto de estas tres ecuaciones (2) determinan los parámetros $\lambda$ y $\mu$, una vez fijado el punto $P$, luego bien podemos expresarlo de la forma
$$\left.\begin{matrix}(x_{B}-x_{A})\,\lambda+(x_{C}-x_{A})\,\mu = x-x_A \\ (y_{B}-y_{A})\,\lambda+(y_{C}-y_{A})\,\mu = x-x_A = y-y_A \\ (z_{B}-z_{A})\,\lambda+(z_{C}-z_{A})\,\mu = x-x_A = z-z_A \end{matrix}\right\}$$
el cual ha tener rango igual a $2$, ya que sólo pueden haber dos ecuaciones linealmente independientes; por consiguiente, la matriz ampliada de los coeficientes del sistema $$\left(\begin{array}{cc|c} x_{B}-x_{A} & x_{C}-x_{A} & x-x_A \\ y_{B}-y_{A} & y_{C}-y_{A} & y-y_A \\ z_{B}-z_{A} & z_{C}-z_{A} & z-z_A \end{array}\right)$$ ha de tener rango igual a $2$ ( igual que la matriz de los coeficientes ), luego el único menor complementario de orden $3$ ha de ser nulo, luego podemos escribir que

$$\begin{vmatrix} x_{B}-x_{A} & x_{C}-x_{A} & x-x_A \\ y_{B}-y_{A} & y_{C}-y_{A} & y-y_A \\ z_{B}-z_{A} & z_{C}-z_{A} & z-z_A \end{vmatrix}=0$$

De donde obtenemos una ecuación de tres incógnitas con una variable principal y dos variables secundarias, que también determina el plano $\pi$, y a las que denominamos ecuación cartesiana ( o implícita, o general ) de dicho plano, de la forma $$a\,x+b\,y+c\,z+d=0$$

$\square$

Determinación de una recta en el espacio vectorial afín R^3, dados dos puntos de la misma

Dados dos puntos de una recta $r$, $A(x_A,y_A,z_A)$ y $B(x_B,y_B,z_B)$ ( cuyas coordenadas vienen referidas a la base canónica del espacio vectorial afín $\mathbb{R}^3$, nos proponemos describir dicha recta de forma algebraica, esto es, encontrar de diversas maneras, unas ecuaciones que la representen.

Siendo $O(0,0,0)$ el origen de coordenadas, y $P(x,y,z)$ un punto cualquiera de la recta $r$, se cumple que $\overset{\rightarrow}{OP}=\overset{\rightarrow}{OA}+\overset{\rightarrow}{AP} $     (1), y teniendo en cuenta que $\overset{\rightarrow}{AP} \propto \overset{\rightarrow}{AB}$ -- ambos vectores tienen la misma dirección, luego son dependientes uno del otro --, existirá un escalar $\lambda$ tal que $\overset{\rightarrow}{AP} = \lambda\,\overset{\rightarrow}{AB}$, y, por consiguiente, podemos escribir (1) de la forma $$\overset{\rightarrow}{OP}=\overset{\rightarrow}{OA}+\lambda\,\overset{\rightarrow}{AB}$$ que es una ecuación vectorial de la recta, que, también podemos expresar de la forma $$(x,y,z)=(x_A,y_A,z_A)+\lambda\,(x_{B}-x_{A},y_{B}-y_{A},z_{B}-z_{A})$$ Esta ecuación vectorial da lugar a tres ecuaciones escalares a las que denominaremos ecuaciones paramétricas de $r$, puesto que dependen de un parámetro, $\lambda$: $$\left.\begin{matrix}x=x_A+\lambda\,(x_{B}-x_{A}) \\ y=y_A+\lambda\,(y_{B}-y_{A})\\ z=z_A+\lambda\,(z_{B}-z_{A})\end{matrix}\right\} \quad \quad (2)$$ Despejando el parámetro $\lambda$ de cada una de las tres ecuaciones anteriores, los segundos miembros deberán ser iguales, llegando así a una ecuación de la recta en forma continua $$r\equiv \dfrac{x-x_A}{x_{B}-x_{A}}=\dfrac{y-y_A}{y_{B}-y_{A}}=\dfrac{z-z_A}{z_{B}-z_{A}} \quad \quad(3)$$

El conjunto de estas tres ecuaciones (2) determina el parámetro $\lambda$, una vez fijado el punto $P$, luego bien podemos expresarlo de la forma
$$\left.\begin{matrix}(x_{B}-x_{A})\,\lambda = x-x_A \\ (y_{B}-y_{A})\,\lambda = y-y_A \\ (z_{B}-z_{A})\,\lambda = z-z_A \end{matrix}\right\}$$
el cual ha tener rango igual a $1$, ya que sólo puede haber una ecuación linealmente independiente; por consiguiente, la matriz ampliada de los coeficientes del sistema $$\left(\begin{array}{c|c} x_{B}-x_{A} & x-x_A \\ y_{B}-y_{A} & y-y_A \\ z_{B}-z_{A} & z-z_A \end{array}\right)$$ ha de tener rango igual a $1$ ( igual que la matriz de los coeficientes ), luego los menores complementarios han de ser nulos, así que del orlado de la matriz a partir de algún elemento no nulo de la primera columna, pongamos, sin pérdida de generalidad, que el de la primera fila y primera columna, podemos escribir que

$$\begin{vmatrix} x_{B}-x_{A} & x-x_A \\ y_{B}-y_{A} & y-y_A \end{vmatrix}=\begin{vmatrix} x_{B}-x_{A} & x-x_A \\ z_{B}-z_{A} & z-z_A \end{vmatrix}=0$$

De donde obtenemos un sistema de dos ecuaciones linealmente independientes, que también determinan la recta $r$, y a las que denominamos ecuaciones cartesianas ( o implícitas ) de dicha recta $$r\equiv \left\{\begin{matrix}(x_B-x_A)(y-y_A)-(y_B-y_A)(x-x_A)=0 \\ (x_B-x_A)(z-z_A)-(z_B-z_A)(x-x_A)=0 \end{matrix}\right. \quad \quad (4)$$ Estas dos ecuaciones han de corresponder a las de dos planos cuya intersección es precisamente la recta $r$.

Nota: Démonos cuenta de que estas mismas ecuaciones podemos escribirlas a partir de la doble igualdad de la ecuación de la recta en forma continua (3); y, ciertamente, podríamos escribir una tercera ecuación -- de igual manera que obtendríamos de igualar a cero el tercer menor complementario que se extrae de la matriz ampliada de los coeficientes --, $(y_B-y_A)(y-y_A)-(z_B-z_A)(z-z_A)=0$, pero ésta es una combinación lineal de las otras dos, y, por tanto aporta información redundante, pudiendo prescindir de ella. $\square$