Recta perpendicular a dos rectas dadas

ENUNCIADO. Se consideran las rectas $r\equiv (x,y,z)=(0,1,0)+\lambda\,(1,1,0)$ y $s\equiv (x,y,z)=(2,0,1)+\mu\,(-1,0,1)$. Se pide:
a) Determínese la recta $t$ perpendicular a las rectas $r$ y $s$
b) Calcúlense las coordenadas de los puntos de intersección de $r$ con $t$, y de $s$ con $t$

SOLUCIÓN. Sea $\pi_{rt}$ el plano que contiene a $r$ y a $t$, y $\pi_{st}$ el plano que contiene a las rectas $s$ y $t$. Así, $t$ vendrá dada por la intersección de estos dos planos. Vamos a hallar, por tanto, las ecuaciones generales de sendos planos; éstas constituirán las ecuaciones cartesianas de la recta $t$.

Recordemos que un plano viene determinado por un vector perpendicular al mismo y un punto de dicho plano.

Consideremos un vector en la dirección de $t$, $\vec{u}_t$, tal como $\vec{u}_r \times \vec{u}_s$ (por ser $t$ perpendicular a $r$ y a $s$), siendo $\vec{u}_r$ un vector en la dirección de $r$ y $\vec{u}_s$ un vector en la dirección de $s$. Una vez conocido $\vec{u}_t$, y dadas las condiciones de perpendicularidad, un vector característico de $\pi_{rt}$ es $\vec{n}_{\pi_{rt}}:=\vec{u}_t \times \vec{u}_r$,y un vector característico de $\pi_{st}$ es $\vec{n}_{\pi_{st}}:=\vec{u}_t \times \vec{u}_s$

Así $\vec{u}_t:=\vec{u}_r \times \vec{u}_s=\begin{vmatrix}\vec{i}&\vec{j}&\vec{k}\\1&1&0\\-1&0&1\end{vmatrix}=(1,-1,1)$

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Nota: Recordemos que $\vec{i}=(1,0,0)$, $\vec{j}=(0,1,0)$ y $\vec{k}=(0,0,1)$ son los vectores de la base canónica.
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con lo cual,
$\vec{n}_{\pi_{rt}}:=\vec{u}_t \times \vec{u}_r=\begin{vmatrix}\vec{i}&\vec{j}&\vec{k}\\1&-1&1\\1&1&0\end{vmatrix}=(-1,1,2)$, luego $\pi_{rt}\equiv -x+y+2z+D_{rt}=0 \quad \quad (1)$
y
$\vec{n}_{\pi_{st}}:=\vec{u}_t \times \vec{u}_s=\begin{vmatrix}\vec{i}&\vec{j}&\vec{k}\\1&-1&1\\-1&0&1\end{vmatrix}=(-1,-2,-1)$, luego $\pi_{st}\equiv -x-2y-z+D_{st}= \quad \quad (2)$

Entonces, teniendo en cuenta que $A_{r}(0,1,0)$ es un punto de $r$ y por tanto de $\pi_{rt}$, determinamos el valor de $D_{rt}$ sustituyendo las coordenas del punto en (1); despejando de $0+1+0+D_{rt}=0$, obteniendo $D_{rt}=-1$, y, por tanto, la ecuación general del plano $pi_{rt}$ es $\pi_{rt}\equiv -x+y+2z-1=0$.

De manera análoga, teniendo en cuenta que $A_{s}(2,0,1)$ es un punto de $s$ y por tanto de $\pi_{st}$, determinamos el valor de $D_{st}$ sustituyendo las coordenas del punto en (2); despejando de $-2+0-1+D_{st}=0$, obteniendo $D_{st}=3$, y, por tanto, la ecuación general del plano $pi_{st}$ es $\pi_{st}\equiv x+2y+z-3=0$

En consecuencia, las ecuaciones cartesianas de la recta $t$ pedida son: $$t\equiv \left\{\begin{matrix}-x+y+2z-1=0 \\ x+2y+z-3=0\end{matrix}\right.$$

b)
Las ecuaciones cartesianas de $r$ las obtenemos despejando el parámetros de las ecuaciones paramétricas que pueden escribirse fácilmente a partir de la ecuación vectorial dada en el enunciado: $\lambda=x=y-1$ y $z=0$, luego $$r\equiv \left\{\begin{matrix}x-y=-1\\z=0\end{matrix}\right.$$

De manera análoga, obtenemos las ecuaciones cartesianas de $s$: $\mu=2-x=z-1$ y $y=0$, luego $$s\equiv \left\{\begin{matrix}x+z=3\\y=0\end{matrix}\right.$$

Las coordenadas del punto de intersección de $t$ y $r$ corresponden a la solución del siguiente sistema compatible determinado, formado por las ecuaciones cartesians de $t$ y por las ecuaciones cartesians de $r$: $$\left\{\begin{matrix}-x&+&y&2z&=&1 \\ x&+&2y&z&=&3 \\ x&-&y&&=&-1 \\ &&&z&=&0 \end{matrix}\right.$$ y puede comprobarse que su solución es el punto $P_{r \cap t}=(1/3,4/3,0)$

Las coordenadas del punto de intersección de $t$ y $s$ corresponden a la solución del siguiente sistema compatible determinado, formado por las ecuaciones cartesians de $t$ y por las ecuaciones cartesians de $s$: $$\left\{\begin{matrix}-x&+&y&2z&=&1 \\ x&+&2y&z&=&3 \\ x&&&z&=&3 \\ &&y&&=&0 \end{matrix}\right.$$ obteniéndose que su solución es el punto $P_{s \cap t}=(4/3,0,5/3)$

$\square$