Recta que pasa por un punto dado y que es perpendicular a dos planos que contienen sendas rectas dadas

ENUNCIADO. Las rectas $r\equiv (x,y,z)=(1,0,0)+\lambda\,(-1,1,0)$ y $s\equiv (x,y,z)=(1,1,0)+\mu\,(-1,-1,2)$ están en planos paralelos. Determínese la recta $t$ que es perpendicular a sendos planos y que contiene al punto $P(3,3,2)$.

SOLUCIÓN. Consideremos un vector en la dirección de $r$, $\vec{u}_r:=(-1,1,0)$, y un vector en la dirección de $s$, $\vec{u}_s:=(-1,-1,2)$. Teniendo en cuenta que $t$ es perpendicular a $r$, entonces un vector en la dirección de $t$, $\vec{u}_t$, ha de ser perpendicular a $\vec{u}_r$; y lo mismo ocurre con los vectores de la recta $s$: $\vec{u}_t$ ha de ser perpendicular a los mismos. Así pues, $\vec{u}_r \times \vec{u}_s$ es un vector en la dirección de $t$

Como $\begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ -1 & 1 & 0 \\ -1 & -1 & 2 \end{vmatrix}=(3,3,3) \propto (1,1,1)$, tomamos $\vec{u}_t:=(1,1,1)$. Y teniendo en cuenta que $P(3,3,2)$ está en $t$, ya podemos escribir la ecuación de la recta pedida $t$ en forma vectorial: $$t\equiv (x,y,z)=(3,3,2)+\alpha\,(1,1,1)$$

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