Lugares geométricos en R^3. Plano mediador de un segmento dado

ENUNCIADO. Determínese la ecuación del plano mediador del segmento cuyos extremos son los puntos $A(1,-1,4)$ y $B(3,0,2)$

SOLUCIÓN. El plano mediador es el lugar geométrico de los puntos del espacio que equidistan de $A$ y $B$, esto es $$\pi_{\text{mediador}}=\{X(x,y,z): \text{dist}(X,A)=\text{dist}(X,B)\}$$
Así pues, de la condición de igual distancia euclídea podemos escribir,
$$|\sqrt{(x-1)^2+(y-(-1))^2+(z-4)^2}|=|\sqrt{(x-3)^2+(y-0)^2+(z-2)^2}|$$ Elevando al cuadrado ambos miembros llegamos a
$$(x-1)^2+(y-(-1))^2+(z-4)^2=(x-3)^2+(y-0)^2+(z-2)^2$$ y desarrollando los binomios al cuadrado,
$$x^2-2x+1+y^2+2y+1+z^2-8z+16=x^2-6x+9+y^2+z^2-4z+4$$ Simplificando ( se anulan los términos de segundo grado ) y agrupando los términos semejantes de primer grado y los términos de grado cero, obtenemos la ecuación del plano pedida: $$\pi_{\text{mediador}} \equiv 4x + 2y -4z+5=0$$
$\square$