Determinación de una recta que pasa por un punto dado y que es perpendicular a una cierta recta

ENUNCIADO. Se considera la recta $r\equiv (x,y,z)=(0,1,0)+\lambda\,(1,2,1)$. Determínese la ecuación de la recta $s$ que pasa por el punto $P(1,-1,1)$ y es perpendicular a $r$.

SOLUCIÓN. Sea $X(x,y,z)$ un punto genérico del plano $\pi$ que contiene a $s$ y que, por las condiciones del enunciado, ha de ser perpendicular a $r$. Entonces, siendo $\vec{u}_r:=(1,2,1)$ un vector director de $r$, ha de cumplirse como condición necesaria que $\langle \overset{\rightarrow}{PX},\vec{u}_r\rangle =0$, con lo cual $\langle (x-1,y-(-1),z-1),(1,2,1)\rangle =0$ de donde se desprende que $x+2y+z=0$, que es la ecuación de dicho plano $\pi$.

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Observación: También podemos obtener la ecuación del plano $\pi$ montando directamente la ecuación general del mismo $Ax+By+Cz+D=0$, ya que los valores de los coeficientes $A,B$ y $C$ se corresponden con las coordenadas de un vector perpendicular al mismo, como puede ser un vector en la dirección de $r$ ( ya que $r$ es perpendicular a $\pi$ ); en nuestro caso, $A=1$, $B=2$ y $C=1$. El valor del coeficiente $D$ lo calculamos a partir del punto $P(1,-1,1)$ que forma parte del plano, y, por tanto sus coordenadas tienen que satisfacer la ecuación general de dicho plano: $1.1+2\cdot (-1)+1\cdot 1+D=0$, por lo que $D=0$; en consecuencia, la ecuación general del plano queda $x+2y+z=0$
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La determinación de la recta pedida $s$ requiere conocer un punto de la misma -- ya lo tenemos: $P(1,-1,1)$ -- y un vector que tenga su misma dirección, llamémosle $\vec{u}_s$, para el cual podemos tomar $\overset{\rightarrow}{PI}$ o bien un vector linealmente dependiente con éste, siendo $I$ el punto de intersección del plano $\pi$ ( que contiene a $s$ ) y de la recta $r$.

Procedemos pues a calcular las coordenadas de dicho punto $I$. Para ello, tenemos que escribir las ecuaciones cartesianas de $r$. De la ecuación vectorial de $r$, y despejando el parámetro, obtenemos $\left\{\begin{matrix}\lambda=x \\ \lambda = \dfrac{y-1}{2} \\ \lambda =z \end{matrix}\right.$, y, de éstas igualdades llegamos a
$$r\equiv \left\{\begin{matrix}x=z \\ y-2z=1 \end{matrix}\right.$$

Las coordenadas de $I$ han de ser la solución del sistema de ecuaciones formado por las dos ecuaciones cartesianas de la recta $r$ ( que acabamos de hallar ) y la ecuación general del plano $\pi$, esto es $$I \equiv \left\{\begin{matrix}x+2y+z=0 \\ x=z \\ y-2z =1\end{matrix}\right.$$ sistema que resolvemos sin dificultad, obteniendo $I(-1/3,1/3,-1/3)$

Entonces $\overset{\rightarrow}{PI}=\overset{\rightarrow}{OI}-\overset{\rightarrow}{OP}=(-1/3-1,1/3-(-1),-1/3-1)=(-4/3,4/3,-4/3)$ que es linealmente dependiente con $(-1,1,-1)$, luego podemos escribir $\vec{u}_s:=(-1,1,-1)$

Finalmente, ya podemos expresar la ecuación de la recta pedida $s$ en forma vectorial: $\overset{\rightarrow}{OX}=\overset{\rightarrow}{OP}+\mu\,\vec{u}_3$, siendo ahora $X$ un punto genérico de dicha recta. Así, $$s\equiv (x,y,z)=(1,-1,1)+\mu\,(-1,1,1)$$
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