Proyecciones ortogonales de rectas sobre planos

ENUNCIADO. Sea el plano $\pi\equiv x+y+2z-1=0$ y la recta $r\equiv x=y=-z$, se pide:
a) La ecuación de la recta $r'$ que resulta de la proyección ortogonal de $r$ sobre $\pi$
b) El ángulo formado entre un vector director de $r$ y un vector característico del plano $\pi$

SOLUCIÓN. Como vamos a ver enseguida, el caso de éste problema en concreto muy particular, pues la recta y el plano dados son paralelos.

a) Un vector en la dirección de $r$ es $\vec{u}_r=(1,1,-1)$ y un vector perpendicular a $\pi$ es $\vec{n}=(1,1,2)$. Observemos que $\langle \vec{u}_r,\vec{n}_\pi \rangle = 1\cdot 1+1\cdot 1+(-1)\cdot 2=0$ de lo cual se deduce que dichos vectores son perpendiculares, luego $r$ es paralela a $\pi$.

Es evidente que el punto $A_{r}(0,0,0)$ de la recta $r$ no pertenece a $\pi$, puesto que sus coordenadas no satisfacen la ecuación general de dicho plano; de ésto se deduce que la recta $r$ no está en el plano $\pi$.

Para encontrar la ecuación de su proyección sobre $\pi$ -- ya conocemos un vector director, que es el mismo que el de $r$, por ser $r$ paralela a $\pi$ --, necesitamos conocer un punto de $r'$, como es por ejemplo el punto que resulta de la proyección ortogonal de $A_r(0,0,0)$ sobre $\pi$, punto que, claramente, estará también en $r$ y que denotaremos por $A_{r'}$. Procedemos pues a calcularlo.

La intersección del plano $\pi$ con la recta perpendicular a $\pi$ que pasa por $A_r(0,0,0)$ nos dará el punto de $r'$, que estamos buscando. La recta perpendicular a $\pi$ que pasa por $A_r(0,0,0)$, a la que denotaremos por $s$, tiene por vector director el vector característico de $\pi$, esto es $\vec{u}_s:=\vec{n}_{\pi}=(1,1,2)$, luego la ecuación de dicha recta es $$s\equiv (x,y,z)=(0,0,0)+\alpha\,(1,1,2)$$ cuyas ecuaciones cartesianas son $$\left\{\begin{matrix}x=y\\z=2x\end{matrix}\right.$$ Así que las coordenads del punto $A_{r'}$ son solución del sistema de ecuaciones formado por la ecuación del plano $\pi$ y las ecuaciones cartesianas de $s$: $$A_{r'}\equiv \left\{\begin{matrix}x+y+2z=1\\y=x\\z=2x\end{matrix}\right.$$ Fácilmente resolvemos este sistema, obteniendo las coordenadas del punto $$P_{r'}=(1/6,1/6,1/3)$$ Con lo cual la recta proyección de $r$ sobre $\pi$ pedida tiene por ecuación $$r'\equiv (x,y,z)=(1/6,1/6,1/3)+\mu\,(1,1,-1)$$

b) Como el plano $\pi$ y la recta $r$ son paralelos, es obvio que el ángulo formado entre $r$ y $\pi$ es de $0^{\circ}$, o lo que es lo mismo: $\measuredangle (\vec{u}_r,\vec{n}_\pi)=90^{\circ}$
$\square$