miércoles, 28 de febrero de 2018
Integral indefinida. Cálculo de primitivas de funciones trigonométricas.
ENUNCIADO. Calcular la integral indefinida $$\displaystyle \int\,\dfrac{dx}{\sin\,x}$$
SOLUCIÓN. Efectuemos el cambio de variable $t=\tan\,\dfrac{x}{2}$, con lo cual $x=2\,\arctan\,t$ y por tanto $$dx=\,2\,\arctan\,\dfrac{1}{1+t^2}\,dt$$ Por otra parte, por la identidad trigonométrica $$\sin\,x=2\,\sin\,\dfrac{x}{2}\cos\,\dfrac{x}{2}$$ y teniendo en cuenta también la identidad fundamental de la trigonometría, $\sin^2\,\dfrac{x}{2}+\cos^2\,\dfrac{x}{2}=1$, podemos escribir $$\sin\,x=2\,\dfrac{\sin\,\dfrac{x}{2}\cos\,\dfrac{x}{2}}{\sin^2\,\dfrac{x}{2}+\cos^2\,\dfrac{x}{2}}$$ y dividiendo numerador y denominador por $\cos^2\,\dfrac{x}{2}$ y teniendo en cuenta que $\tan\,\dfrac{x}{2}\overset{\text{def}}{=}\dfrac{\sin\,(x/2)}{\cos\,(x/2)}$, nos queda que $$\sin\,x=2\,\dfrac{\tan\,\dfrac{x}{2}}{1+\tan^2}$$ esto es $$\sin\,x=2\,\dfrac{t}{1+t^2}$$ Así pues, la integral pedida puede escribirse de la forma $$\displaystyle \int\,\frac{\frac{2}{1+t^2}}{\frac{2\,t}{1+t^2}}\,dt=\int\,\dfrac{dt}{t}=\ln\,t+C_1$$ y deshaciendo el cambio de variable, llegamos a $$\displaystyle \int\,\dfrac{dx}{\sin\,x} = \ln\,\left(\left|\tan\,\dfrac{x}{2}\right|\right)+C$$
$\square$
SOLUCIÓN. Efectuemos el cambio de variable $t=\tan\,\dfrac{x}{2}$, con lo cual $x=2\,\arctan\,t$ y por tanto $$dx=\,2\,\arctan\,\dfrac{1}{1+t^2}\,dt$$ Por otra parte, por la identidad trigonométrica $$\sin\,x=2\,\sin\,\dfrac{x}{2}\cos\,\dfrac{x}{2}$$ y teniendo en cuenta también la identidad fundamental de la trigonometría, $\sin^2\,\dfrac{x}{2}+\cos^2\,\dfrac{x}{2}=1$, podemos escribir $$\sin\,x=2\,\dfrac{\sin\,\dfrac{x}{2}\cos\,\dfrac{x}{2}}{\sin^2\,\dfrac{x}{2}+\cos^2\,\dfrac{x}{2}}$$ y dividiendo numerador y denominador por $\cos^2\,\dfrac{x}{2}$ y teniendo en cuenta que $\tan\,\dfrac{x}{2}\overset{\text{def}}{=}\dfrac{\sin\,(x/2)}{\cos\,(x/2)}$, nos queda que $$\sin\,x=2\,\dfrac{\tan\,\dfrac{x}{2}}{1+\tan^2}$$ esto es $$\sin\,x=2\,\dfrac{t}{1+t^2}$$ Así pues, la integral pedida puede escribirse de la forma $$\displaystyle \int\,\frac{\frac{2}{1+t^2}}{\frac{2\,t}{1+t^2}}\,dt=\int\,\dfrac{dt}{t}=\ln\,t+C_1$$ y deshaciendo el cambio de variable, llegamos a $$\displaystyle \int\,\dfrac{dx}{\sin\,x} = \ln\,\left(\left|\tan\,\dfrac{x}{2}\right|\right)+C$$
$\square$
martes, 27 de febrero de 2018
miércoles, 21 de febrero de 2018
Diferenciación bajo el signo integral
ENUNCIADO. Calcular la integral indefinida $$\displaystyle \int \,x\,e^{x^2}\,dx$$
SOLUCIÓN. Diferenciando bajo el signo integral:
$$\displaystyle \int \,x\,e^{x^2}\,dx \overset{(1)}{=} \int \,d\left(\dfrac{1}{2}\,e^{x^2}\right)=\dfrac{1}{2}\,e^{x^2}+C$$
(1) $d\left(\dfrac{1}{2}\,e^{x^2}\right)=\left(\dfrac{1}{2}\,e^{x^2}\right)'\,dx = \dfrac{1}{2}\cdot 2\,x\,e^{x^2}\,dx=x\,e^{x^2}\,dx$
$\square$
SOLUCIÓN. Diferenciando bajo el signo integral:
$$\displaystyle \int \,x\,e^{x^2}\,dx \overset{(1)}{=} \int \,d\left(\dfrac{1}{2}\,e^{x^2}\right)=\dfrac{1}{2}\,e^{x^2}+C$$
(1) $d\left(\dfrac{1}{2}\,e^{x^2}\right)=\left(\dfrac{1}{2}\,e^{x^2}\right)'\,dx = \dfrac{1}{2}\cdot 2\,x\,e^{x^2}\,dx=x\,e^{x^2}\,dx$
$\square$
miércoles, 14 de febrero de 2018
Segundo teorema fundamental del cálculo
Segundo teorema fundamental del cálculo ( conocido como regla de Newton-Leibniz y, también, como regla de Barrow )
Sea una función primitiva, $F(x)$, de $f(x)$, y siendo $f(x) \ge 0 \quad \forall x \in \left[a,b \right]$, el valor de la integral definida, entre las abscisas $x=a$ i $x=b$ ( a los que llamamos límites de integración), es igual a $F(b)-F(a)$, es decir $$\displaystyle \int_{a}^{b} \, f(x)\,dx = F(b)-F(a)$$
Demostración:
Supongamos que $F(x)$ és una funció integral ( primitiva ) de $f(x)$ (Primer Teorema Fundamental del Cálculo ). Supongamos ahora que $G(x)$ es otra primitiva de $f(x)$, entonces tendrá que cumplirse que $$F(x)=G(x)+C \quad (1)$$ donde $C$ es una constante.
En consecuencia $$F(a)=G(a)+C \quad (2)$$
Por otra parte, y de acuerdo con la definición de función primitiva de $f$,
$$F(x)=\int_{a}^{x} \, f(t) \, dt$$
es obvio que $F(a)=0$, con lo cual, de (2), deducimos que $C=-G(a)$
Sustituyendo el valor de $C$ en la expresión (1), encontramos $F(x)=G(x)-G(a)$ y, según el significado de función primitiva, vemos que el valor de la integral definida entre los límites de integración $a$ (límite inferior) i $b$ (límite superior) es igual a
$$\displaystyle \int_{a}^{b} \, f(x) \, dx = G(b)-G(a)=F(b)-C - ( F(a) - C ) = F(b) - F(a)$$
valor que, en la literatura, suele expresarse de la forma
$$\displaystyle \int_{a}^{b} \, f(x) \, dx =\left[ F(x) \right]_{a}^{b}$$
$\square$
Sea una función primitiva, $F(x)$, de $f(x)$, y siendo $f(x) \ge 0 \quad \forall x \in \left[a,b \right]$, el valor de la integral definida, entre las abscisas $x=a$ i $x=b$ ( a los que llamamos límites de integración), es igual a $F(b)-F(a)$, es decir $$\displaystyle \int_{a}^{b} \, f(x)\,dx = F(b)-F(a)$$
Demostración:
Supongamos que $F(x)$ és una funció integral ( primitiva ) de $f(x)$ (Primer Teorema Fundamental del Cálculo ). Supongamos ahora que $G(x)$ es otra primitiva de $f(x)$, entonces tendrá que cumplirse que $$F(x)=G(x)+C \quad (1)$$ donde $C$ es una constante.
En consecuencia $$F(a)=G(a)+C \quad (2)$$
Por otra parte, y de acuerdo con la definición de función primitiva de $f$,
$$F(x)=\int_{a}^{x} \, f(t) \, dt$$
es obvio que $F(a)=0$, con lo cual, de (2), deducimos que $C=-G(a)$
Sustituyendo el valor de $C$ en la expresión (1), encontramos $F(x)=G(x)-G(a)$ y, según el significado de función primitiva, vemos que el valor de la integral definida entre los límites de integración $a$ (límite inferior) i $b$ (límite superior) es igual a
$$\displaystyle \int_{a}^{b} \, f(x) \, dx = G(b)-G(a)=F(b)-C - ( F(a) - C ) = F(b) - F(a)$$
valor que, en la literatura, suele expresarse de la forma
$$\displaystyle \int_{a}^{b} \, f(x) \, dx =\left[ F(x) \right]_{a}^{b}$$
$\square$
Integración. Primer teorema fundamental del cálculo.
Primer teorema fundamental del cálculo
Dada una función $f(x)$ continua -- siendo continua es integrable -- en el intervalo $\left[a,b\right]$, la función integral ( o función primitiva de $f(x)$ )
$\displaystyle F(x)=\int_{a}^{x} \, f(t)\,dt$
cumple que
$F^{'}(x)=f(x)$
Observación:
. No todas las funciones tienen primitiva
. Toda función continua tiene primitiva
Demostración:
Según la definición analítica de derivada de una función, podemos escribir
$$\displaystyle F'(x)=\lim_{\Delta x \rightarrow 0}\Big( \dfrac{F(x+\Delta x) - F(x)}{\Delta x}\Big)$$
Estudiemos el cociente incremental que representa el argumento del límite que define la derivada de $F'(x)$, teniendo en cuenta la hipótesis del teorema:
$$\displaystyle \dfrac{ \int_{a}^{x + \Delta x} \, f(x)dx - \int_{a}^{x}\, f(x)dx }{\Delta x} = \dfrac{\int_{a}^{\Delta x}\,f(x)dx }{\Delta x}$$
Ahora bien, el numerador de esta expresión está acotado entre
$$f(x) \, \Delta x \quad \text{y} \quad f(x + \Delta x) \, \Delta x$$
y estas cotas respresentan las áreas de los rectángulos, que son respectivament, menor y mayor que él área por debajo del trozo de curva que da significado significado geométrico de la integral, es claro que, al pasar al límite cuando $ \Delta x \rightarrow 0$, se obtiene $F'(x) = f(x)$
$\square$
Dada una función $f(x)$ continua -- siendo continua es integrable -- en el intervalo $\left[a,b\right]$, la función integral ( o función primitiva de $f(x)$ )
$\displaystyle F(x)=\int_{a}^{x} \, f(t)\,dt$
cumple que
$F^{'}(x)=f(x)$
Observación:
. No todas las funciones tienen primitiva
. Toda función continua tiene primitiva
Demostración:
Según la definición analítica de derivada de una función, podemos escribir
$$\displaystyle F'(x)=\lim_{\Delta x \rightarrow 0}\Big( \dfrac{F(x+\Delta x) - F(x)}{\Delta x}\Big)$$
Estudiemos el cociente incremental que representa el argumento del límite que define la derivada de $F'(x)$, teniendo en cuenta la hipótesis del teorema:
$$\displaystyle \dfrac{ \int_{a}^{x + \Delta x} \, f(x)dx - \int_{a}^{x}\, f(x)dx }{\Delta x} = \dfrac{\int_{a}^{\Delta x}\,f(x)dx }{\Delta x}$$
Ahora bien, el numerador de esta expresión está acotado entre
$$f(x) \, \Delta x \quad \text{y} \quad f(x + \Delta x) \, \Delta x$$
y estas cotas respresentan las áreas de los rectángulos, que son respectivament, menor y mayor que él área por debajo del trozo de curva que da significado significado geométrico de la integral, es claro que, al pasar al límite cuando $ \Delta x \rightarrow 0$, se obtiene $F'(x) = f(x)$
$\square$
martes, 13 de febrero de 2018
Aplicaciones de la derivada. Ecuación de la recta tangente a la curva de una función dada en un cierto punto.
ENUNCIADO. Determínese la ecuación de la recta tangente a la curva asociada a la función $f(x)=x^3+x+1$ en el punto de abscisa $x=1$
SOLUCIÓN. La ecuación de la recta (tangente) pedida es $\text{r.t.}\equiv y=mx+k$ ( ecuación en forma explícita de una recta en el plano ), donde $m$ es la pendiente de la recta y $k$ es la ordenada en el origen. Sabemos que $m\overset{\text{def}}{=}f'(1)$. Teniendo en cuenta que $f'(x)=3\,x^2+1$, vemos que $f'(1)=3\cdot 1^2+1=4$, luego $m=4$. Por otra parte, el valor de la ordenada de la función del punto con abscisa igual a $1$, $f(1)$, ha de ser igual al valor de la ordenada de la función lineal $y=4x+k$ en $x=1$, por consiguiente, como $f(1)=1^3+1+1=3$, tenemos que $3=4\cdot 1 +k$, de donde despejando $k$, se obtiene $k=3-4=-1$. En consecuencia, la ecuación de la recta tangenete pedida es $$y=4x-1$$
$\square$
SOLUCIÓN. La ecuación de la recta (tangente) pedida es $\text{r.t.}\equiv y=mx+k$ ( ecuación en forma explícita de una recta en el plano ), donde $m$ es la pendiente de la recta y $k$ es la ordenada en el origen. Sabemos que $m\overset{\text{def}}{=}f'(1)$. Teniendo en cuenta que $f'(x)=3\,x^2+1$, vemos que $f'(1)=3\cdot 1^2+1=4$, luego $m=4$. Por otra parte, el valor de la ordenada de la función del punto con abscisa igual a $1$, $f(1)$, ha de ser igual al valor de la ordenada de la función lineal $y=4x+k$ en $x=1$, por consiguiente, como $f(1)=1^3+1+1=3$, tenemos que $3=4\cdot 1 +k$, de donde despejando $k$, se obtiene $k=3-4=-1$. En consecuencia, la ecuación de la recta tangenete pedida es $$y=4x-1$$
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Aplicaciones de la derivada. Extremos relativos. Optimización.
ENUNCIADO. El número de individuos ( expresado en millares ) en función del tiempo ( expresado en horas ) de una población bacteriana se describe mediante la siguiente función $$N(t)=2t\,(t-10)^2+50$$ Se pide:
a) ¿ Cuántas bacterias hay al iniciar el proceso ?
b) Calcúlese cuánto tiempo ha de pasar, inferior a las cuatro primeras horas, para que la población alcance un máximo local.
SOLUCIÓN.
a) $N(0)=2\cdot 0\,((0-10)^2+50=0+50=50$ millares
b) Imponiendo la condición necesaria de existencia de extremos relativos, $N'(t)=0$, y teniendo en cuenta que $N'(t)=2\,\left( 1\cdot (t-10)^2+2\,(t-10)\,t\right)$ obtenemos $$2\,(t-10)\,(3t-10)=0$$ cuyas soluciones son $t^{*}_{1}=10\, \text{horas} \succ 4\, \text{horas}$ ( y por tanto no nos sirve ) y $t^{*}_{2}=\dfrac{10}{3}\, \text{horas} \prec 4\, \text{horas}$, que es la solución buscada. Procedemos ahora a comprobar que se trata de un máximo local. Por el criterio del signo de la segunda derivada en el punto en cuestión, vemos que $N''(t)=2\,(6t-40)$, luego $N''(10/3)=2\,\left(\dfrac{6\cdot 10}{3}-40\right)=-40\prec 0$, luego queda comprobado que se trata de un máximo local. $\square$
a) ¿ Cuántas bacterias hay al iniciar el proceso ?
b) Calcúlese cuánto tiempo ha de pasar, inferior a las cuatro primeras horas, para que la población alcance un máximo local.
SOLUCIÓN.
a) $N(0)=2\cdot 0\,((0-10)^2+50=0+50=50$ millares
b) Imponiendo la condición necesaria de existencia de extremos relativos, $N'(t)=0$, y teniendo en cuenta que $N'(t)=2\,\left( 1\cdot (t-10)^2+2\,(t-10)\,t\right)$ obtenemos $$2\,(t-10)\,(3t-10)=0$$ cuyas soluciones son $t^{*}_{1}=10\, \text{horas} \succ 4\, \text{horas}$ ( y por tanto no nos sirve ) y $t^{*}_{2}=\dfrac{10}{3}\, \text{horas} \prec 4\, \text{horas}$, que es la solución buscada. Procedemos ahora a comprobar que se trata de un máximo local. Por el criterio del signo de la segunda derivada en el punto en cuestión, vemos que $N''(t)=2\,(6t-40)$, luego $N''(10/3)=2\,\left(\dfrac{6\cdot 10}{3}-40\right)=-40\prec 0$, luego queda comprobado que se trata de un máximo local. $\square$
Aplicaciones de la derivada. Extremos relativos. Optimización de funciones.
ENUNCIADO. Determínise el punto de la curva asociada a la función $f(x)=\sqrt{x}$ ( se toma el valor positivo de la raíz cuadrada ) más próximo al punto $A(2,0)$
SOLUCIÓN. Sea un punto $P(x,\sqrt{x})$ de la gráfica de la función ( de la curva ), entonces la distancia euclídea entre $P$ y $A$ es $d(A,P)=\sqrt{(x-2)^2+(\sqrt{x}-0)^2}$, que es función de $x$: $$d(x)=\sqrt{(x-2)^2+(\sqrt{x}-0)^2}$$ esto es $$d(x)=\sqrt{(x-2)^2+x}$$
Imponiendo la condición necesaria de existencia de extremos relativos, $d'(x)=0$; y teniendo en cuenta que $$g'(x)=\dfrac{1}{2\,\sqrt{(x-2)^2+(\sqrt{x}-0)^2}}\cdot \left( (x-2)^2+(\sqrt{x}-0)^2 \right)'$$ las abscisas de los extremos relativos son solución de la ecuación $$\dfrac{2\,(x-2)+1}{2\,\sqrt{(x-2)^2+(\sqrt{x}-0)^2}}=0$$ que es cero si y sólo si se anula el numerador ( no anulándose simultáneamente el denominador ) $$2\,(x-2)+1=0 \Leftrightarrow x^{*}=\dfrac{3}{2}$$
Veamos si se trata de un mínimo relativo. Para ello utilizaremos el criterio del signo de la primera derivada a ambos lados del extremos relativo:
Podemos comprobar que $f'((3/2)^-) \overset{1 \prec 3/2}{\rightarrow} f'(1) \prec 0$ y que $f'((3/2)^+) \overset{2 \succ 3/2}{\rightarrow} f'(2) \succ 0$, luego el extremo relativo encontrado corresonde a un mínimo relativo.
Tal como se bosqueja en la gráfica de la función, este mínimo relativo es también el mínimo absoluto.
La ordenada correspondiente a $x^*=3/2$ es $f(3/2)=\sqrt{3/2}$. En consecuencia, el punto de la curva que está a distancia mínima de $A(2,0)$ es el punto de coordenadas $P_{\text{mín}}\left(3/2,\sqrt{3/2}\right)$
$\square$
SOLUCIÓN. Sea un punto $P(x,\sqrt{x})$ de la gráfica de la función ( de la curva ), entonces la distancia euclídea entre $P$ y $A$ es $d(A,P)=\sqrt{(x-2)^2+(\sqrt{x}-0)^2}$, que es función de $x$: $$d(x)=\sqrt{(x-2)^2+(\sqrt{x}-0)^2}$$ esto es $$d(x)=\sqrt{(x-2)^2+x}$$
Imponiendo la condición necesaria de existencia de extremos relativos, $d'(x)=0$; y teniendo en cuenta que $$g'(x)=\dfrac{1}{2\,\sqrt{(x-2)^2+(\sqrt{x}-0)^2}}\cdot \left( (x-2)^2+(\sqrt{x}-0)^2 \right)'$$ las abscisas de los extremos relativos son solución de la ecuación $$\dfrac{2\,(x-2)+1}{2\,\sqrt{(x-2)^2+(\sqrt{x}-0)^2}}=0$$ que es cero si y sólo si se anula el numerador ( no anulándose simultáneamente el denominador ) $$2\,(x-2)+1=0 \Leftrightarrow x^{*}=\dfrac{3}{2}$$
Veamos si se trata de un mínimo relativo. Para ello utilizaremos el criterio del signo de la primera derivada a ambos lados del extremos relativo:
Podemos comprobar que $f'((3/2)^-) \overset{1 \prec 3/2}{\rightarrow} f'(1) \prec 0$ y que $f'((3/2)^+) \overset{2 \succ 3/2}{\rightarrow} f'(2) \succ 0$, luego el extremo relativo encontrado corresonde a un mínimo relativo.
Tal como se bosqueja en la gráfica de la función, este mínimo relativo es también el mínimo absoluto.
La ordenada correspondiente a $x^*=3/2$ es $f(3/2)=\sqrt{3/2}$. En consecuencia, el punto de la curva que está a distancia mínima de $A(2,0)$ es el punto de coordenadas $P_{\text{mín}}\left(3/2,\sqrt{3/2}\right)$
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lunes, 12 de febrero de 2018
Aplicaciones de la derivada
ENUNCIADO. Sobre un montón de arena en forma de cono está cayendo arena a razón de $10\,\dfrac{\text{dm}^3}{\text{min}}$. El radio de la base se mantiene siempre igual a la mitad de la altura del montón de arena. ¿ A qué velocidad crece la altura del montón cuando éste tiene $5\,\text{dm}$ de altura ?.
SOLUCIÓN. Denotemos por $h$ la altura del cono; por $r$ el radio de la base, y por $t$ la variable tiempo. Como $r(t)=\dfrac{1}{2}\,h(t)$, el volumen del cono viene dado por la función $$V(t)=\dfrac{1}{3}\,\pi\,\left( \dfrac{1}{2}\,h(t) \right)^2\cdot h(t)$$ esto es $$V(t)=\dfrac{\pi}{12}\,(h(t))^3$$
Sabemos que $\dfrac{dV(t)}{dt}=1\,\dfrac{\text{dm}^3}{\text{min}}$. Por otra parte, derivando la función $V(t)$ vemos que $\dfrac{dV(t)}{dt}=3\cdot \dfrac{\pi}{12}\,(h(t))^2\,\dfrac{dh}{dt}$ y simplificando, $\dfrac{dV(t)}{dt}=\dfrac{\pi}{4}\,(h(t))^2\,\dfrac{dh(t)}{dt}$, con lo cual $$\dfrac{\pi}{4}\,(h(t))^2\,\dfrac{dh(t)}{dt}=1$$ Entonces, denotando por $v(t)\equiv \dfrac{dh(t)}{dt}$ la velocidad de crecimiento de la altura del montón, y despejando, se obtiene, $$v(t)=\dfrac{4}{\pi\,(h(t))^2}$$ En consecuencia, cuando $h:=5\,\text{dm}$ la velocidad de crecimiento de la altura del montón es $$v=\dfrac{4}{\pi\cdot 5^2} \approx 0,05 \,\dfrac{\text{dm}}{\text{min}}$$
$\square$
SOLUCIÓN. Denotemos por $h$ la altura del cono; por $r$ el radio de la base, y por $t$ la variable tiempo. Como $r(t)=\dfrac{1}{2}\,h(t)$, el volumen del cono viene dado por la función $$V(t)=\dfrac{1}{3}\,\pi\,\left( \dfrac{1}{2}\,h(t) \right)^2\cdot h(t)$$ esto es $$V(t)=\dfrac{\pi}{12}\,(h(t))^3$$
Sabemos que $\dfrac{dV(t)}{dt}=1\,\dfrac{\text{dm}^3}{\text{min}}$. Por otra parte, derivando la función $V(t)$ vemos que $\dfrac{dV(t)}{dt}=3\cdot \dfrac{\pi}{12}\,(h(t))^2\,\dfrac{dh}{dt}$ y simplificando, $\dfrac{dV(t)}{dt}=\dfrac{\pi}{4}\,(h(t))^2\,\dfrac{dh(t)}{dt}$, con lo cual $$\dfrac{\pi}{4}\,(h(t))^2\,\dfrac{dh(t)}{dt}=1$$ Entonces, denotando por $v(t)\equiv \dfrac{dh(t)}{dt}$ la velocidad de crecimiento de la altura del montón, y despejando, se obtiene, $$v(t)=\dfrac{4}{\pi\,(h(t))^2}$$ En consecuencia, cuando $h:=5\,\text{dm}$ la velocidad de crecimiento de la altura del montón es $$v=\dfrac{4}{\pi\cdot 5^2} \approx 0,05 \,\dfrac{\text{dm}}{\text{min}}$$
$\square$
Aplicaciones de la derivada
ENUNCIADO. Un globo se encuentra a $200$ metros de un prado horizontal y se eleva a razón de $15\, \dfrac{\text{m}}{\text{s}}$. Un automóvil pasa bajo el globo a una velocidad de $162\,\dfrac{\text{m}}{\text{s}}$, siguiendo una trayectoria recta,. ¿ Con qué velocidad se separan el globo del automóvil $1\,\text{s}$ después ?.
SOLUCIÓN. La posición del globo ( en cada instante de tiempo ) con respecto del punto $O$ en el prado, bajo su vertical, es $y(t)=200+15\,t$, y la posición del automóvil ( en cada instante de tiempo ) con respecto del punto $O$ es $x(t)=162\,t$
Calculemos ahora la longitud del segmento rectilíneo que une el centro de la barquilla del globo con el centro del automóvil, cuya longintud es la distancia euclídea entre ambos móviles, la cual depende del tiempo $t$. Aplicando el teorema de Pitágoras, se puede ver que $$\ell(t)=\sqrt{(200+15t)^2+(162\,t)^2}$$
Entonces, la velocidad con la que se separan dichos móviles viene dada por la derivada de $\ell(t)$ con respecto de $t$, esto es $$\dfrac{d\ell(t)}{dt}=\dfrac{3\,(8823\,t+1000)}{\sqrt{(200+15\,t)^2+(162\,t)^2}}$$ luego $$\left(\dfrac{d\ell(t)}{dt}\right)_{t=1\,\text{s}}=\dfrac{3\,(8823\cdot 1+1000)}{\sqrt{(200+15\cdot 1)^2+(162\cdot 1)^2}}\approx 110 \,\dfrac{\text{m}}{\text{s}}$$
$\square$
SOLUCIÓN. La posición del globo ( en cada instante de tiempo ) con respecto del punto $O$ en el prado, bajo su vertical, es $y(t)=200+15\,t$, y la posición del automóvil ( en cada instante de tiempo ) con respecto del punto $O$ es $x(t)=162\,t$
Calculemos ahora la longitud del segmento rectilíneo que une el centro de la barquilla del globo con el centro del automóvil, cuya longintud es la distancia euclídea entre ambos móviles, la cual depende del tiempo $t$. Aplicando el teorema de Pitágoras, se puede ver que $$\ell(t)=\sqrt{(200+15t)^2+(162\,t)^2}$$
Entonces, la velocidad con la que se separan dichos móviles viene dada por la derivada de $\ell(t)$ con respecto de $t$, esto es $$\dfrac{d\ell(t)}{dt}=\dfrac{3\,(8823\,t+1000)}{\sqrt{(200+15\,t)^2+(162\,t)^2}}$$ luego $$\left(\dfrac{d\ell(t)}{dt}\right)_{t=1\,\text{s}}=\dfrac{3\,(8823\cdot 1+1000)}{\sqrt{(200+15\cdot 1)^2+(162\cdot 1)^2}}\approx 110 \,\dfrac{\text{m}}{\text{s}}$$
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