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miércoles, 28 de junio de 2017

Aplicación del teorema de la probabilidad total y del teorema de Bayes

ENUNCIADO. eL 40\,\% de los sábados Marta va al cine, el 30\,\% va de compras y el 30\,\% restante juega a videojuegos. Cuando va al cine, el 60\,\% de las veces lo hace con sus compañeros de baloncesto. Lo mismo ocurre el 20\,\% de las veces que va de compras, y el 80\,\% de las veces que juega a videojuegos. Se pide:
a) Hallar la probabilidad de que el próximo sábado Marta no quede con sus compañeros de baloncesto
b) Si se sabe que Marta ha quedado con sus compañeros de baloncesto, ¿ cuál es la probabilidad de que vayan al cine ?

SOLUCIÓN.
a)
Denotemos por: C el suceso 'ir al cine'; R, 'ir de compras'; V, 'jugar a videojuegos'; y B, 'ir con los compañeros de baloncesto'. Según el enunciado, P(C)=\dfrac{40}{100}=\dfrac{2}{5}, P(R)=\dfrac{30}{100}=\dfrac{3}{10}, P(V)=\dfrac{30}{100}=\dfrac{3}{10}; P(B|C)=\dfrac{60}{100}=\dfrac{3}{5} ; P(B|R)=\dfrac{20}{100}=\dfrac{1}{5} y P(B|V)=\dfrac{80}{100}=\dfrac{4}{5}

Entonces, B=(B\cap C) \cup (B\cap R) \cup (B\cap V) y como (B\cap C) \cap (B\cap R) \cap (B\cap V) = \emptyset ( son incompatibles ), podemos escribir P(B)=P(B\cap C)+P(B\cap R)+P(B\cap V) que, por la definición de probabilidad condicionada, puede ponerse de la forma ( teorema de la probabilidad total ) P(B)=P(B|C)P(C)+P(B|R)P(R)+P(B|V)P(V) y con los datos obtenemos P(B)=\dfrac{3}{5}\cdot \dfrac{2}{5}+\dfrac{1}{5}\cdot \dfrac{3}{2}+\dfrac{4}{5}\cdot \dfrac{3}{10}=\dfrac{27}{50} luego la probabilidad pedida de \bar{B} ( 'no quedar con los compañeros de baloncesto' ) es igual a P(\bar{B})=1-P(B)=1-\dfrac{27}{50}=\dfrac{23}{50}

b)
P(C|B)\overset{\text{teorema de Bayes}}{=}\dfrac{P(B|C)P(C)}{P(B)}=\dfrac{\dfrac{3}{5}\cdot \dfrac{2}{5}}{\dfrac{27}{50}}=\dfrac{4}{9}
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