Discusión de un límite en cuyo argumento aparece la función valor absoluto

Se pide que calculemos el siguiente límite: $$\displaystyle \lim_{x\rightarrow \,-1}\,\dfrac{|x+1|}{1-|x|}$$

Para que exista el límite, los límites laterales han de existir y, además, han tener el mismo valor. Veamos si es así, teniendo en cuenta la definición de valor absoluto $$|x+1|:=\left\{\begin{matrix}x+1 & \text{si} & x+1\ge 0 \Leftrightarrow x\ge -1 & (1.1) \\ -(x+1) & \text{si} & x+1\lt 0 \Leftrightarrow x\lt -1 & (1.2) \end{matrix}\right.$$ $$|x|:=\left\{\begin{matrix}x & \text{si} & x \ge 0 & (2.1) \\ -x & \text{si} & x\lt 0 & (2.2) \end{matrix}\right.$$

Calculemos los límites laterales.
  Límite lateral por la izquierda:
    $\displaystyle \lim_{x\rightarrow \,-1^-}\,\dfrac{|x+1|}{1-|x|}\overset{(1.2),(2.2)}{=}\lim_{x\rightarrow \,-1^-}\,\dfrac{-(x+1)}{1-(-x)}=\lim_{x\rightarrow \,-1^-}\,\dfrac{-(x+1)}{x+1}= \lim_{x\rightarrow \,-1^-}\,-1=-1$
  Límite lateral por la derecha:
    $\displaystyle \lim_{x\rightarrow \,-1^+}\,\dfrac{|x+1|}{1-|x|}\overset{(1.1),(2.2)}{=}\lim_{x\rightarrow \,-1^+}\,\dfrac{x+1}{1-(-x)}=\lim_{x\rightarrow \,-1^+}\,\dfrac{x+1}{x+1}=\lim_{x\rightarrow \,-1^+}\,1=1$
Así, si bien ambos límites laterales existen, pero sus valores no coinciden, razón por la cual se concluye que el límite global $\displaystyle \lim_{x\rightarrow \,-1}\,\dfrac{|x+1|}{1-|x|}$ no existe.

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Observación 1:
De acuerdo con lo anterior, podemos decir que la función $f(x)=\dfrac{|x+1|}{1-|x|}$ tiene una discontinuidad de salto (finito) en $x=-1$

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Observación 2:
Démonos cuenta, por otra parte, de que el valor de la función $f(x)=\dfrac{|x+1|}{1-|x|}$ en $x=-1$ es $1$; en efecto: $f(-1)\overset{(1.1),(2.2)}{=}\dfrac{1+1}{1-(-1)}=\dfrac{2}{2}=1$.

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