ENUNCIADO. Dada la función $$f(x)=\left\{\begin{matrix}a+x\,\ln\,x & \text{si}& x > 0 \\ x^2\,e^x & \text{si}& x \le 0 \end{matrix}\right.$$
( donde $\ln$ denota logaritmo neperiano y $a \in \mathbb{R}$ ), se pide:
a) El valor de $a$ para que $f(x)$ sea continua en todo $\mathbb{R}$
b) Calcúlese $f'(x)$ donde sea posible
c) Calcúlese $\displaystyle \int_{-1}^{0}\,f(x)\,dx$
SOLUCIÓN.
a) Para que $f(x)$ sea continua en $x=0$ ( que es el único problemas que puede presentar problemas en ese sentido ) debe cumplirse que $$\displaystyle \lim_{x\rightarrow\, 0^-}\,(a+x\,\ln\,x)=\lim_{x\rightarrow\, 0^+}\,x^2\,e^x \quad \quad (1)$$
Es evidente que $\displaystyle \lim_{x\rightarrow\, 0^+}\,x^2\,e^x=0$ y $\displaystyle \lim_{x\rightarrow\, 0^-}\,(a+x\,\ln\,x)=a+\lim_{x\rightarrow\, 0^-}\,x\,\ln\,x$
Por otra parte,
$\displaystyle \lim_{x\rightarrow\, 0^-}\,x\,\ln\,x \overset{0\cdot \infty}{=}\lim_{x\rightarrow\, 0^-}\,\dfrac{\ln\,x}{1/x}\overset{\infty/\infty \rightarrow \text{l'Hôpital}}{=}\lim_{x\rightarrow\, 0^-}\,\dfrac{(\ln\,x)'}{(1/x)'}=$
$\displaystyle=\lim_{x\rightarrow\, 0^-}\,\dfrac{1/x}{-1/x^2}=-\lim_{x\rightarrow\, 0^-}\,x=0$
Así pues, de (1), podemos escribir $a+0=0$ luego $a=0$
b) Al no ser continua la función en $x=0$ no es derivable en dicho punto. Por otra parte, la derivada por la izquierda de la función $f(x)$ es $(x^2\,e^x)'=x\,e^x\,(2+x)$; y, la derivada por la derecha de dicha función es $(0+x\,\ln\,x)'=\ln\,x+1$. En resumen, $$f'(x)=\left\{\begin{matrix}\ln\,x+1&\text{si}&x \succ 0 \\ \\ x\,e^x\,(2+x) &\text{si}&x \prec 0 \end{matrix}\right.$$
c) $\displaystyle \int_{-1}^{0}\,f(x)\,dx=\int_{-1}^{0}\,x^2\,e^x\,dx \overset{(1),(2)}{=}F(0)-F(-1)=$
$=\left(e^0\,(0-0+2)\right)-\left(e^{-1}\,((-1)^2-2\cdot(-1)+2)\right)=$
$=2-\dfrac{5}{e}$
Aclaraciones:
(1) Procedemos a calcular una primitiva de la función integrando $x^2\,e^x$, empleando el método de integración por partes ( $\displaystyle \int\,u\,dv=u\,v-\int\,v\,du$ ): $\displaystyle \int\,x^2\,e^x\,dx=x^2\,e^x-2\,\int\,x\,e^x\,dx$, donde $u:=x^2$ ( y por tanto $du=2\,x\,dx$ ) y $dv:=e^x\,dx$ ( con lo cual $v=e^x$). A su vez, $\displaystyle \int\,x\,e^x\,dx = x\,e^x-\int e^x\,dx = x\,e^x -e^x = e^x\,(x-1)$; en consecuencia, $\displaystyle \int\,x^2\,e^x\,dx =x^2\,e^x-2\,e^x\,(x-1)=e^x\,(x^2-2x+2)+C$ y por tanto una función primitiva es $F(x)=e^x\,(x^2-2x+2)$
(2) En este último paso, aplicamos la regla de Barrow
$\square$
martes, 15 de mayo de 2018
Un ejercicio sobre el espacio vectorial euclídeo tridimensional
ENUNCIADO. Dado el punto $P(0,1,1)$ y la recta $$r\equiv \dfrac{x-1}{2}=\dfrac{y+1}{1}=\dfrac{z}{-1} $$
a) Determínense las coordenadas del punto simétrico de $P$ con respecto a $r$
b) Calcúlese la distancia euclídea entre $P$ y $r$
SOLUCIÓN.
a) Sea el plano $\pi$ perpendicular a $r$ tal que $P \in \pi$. Entonces, si $I = r \cap \pi$ y $P'$ es el punto simétrico de $P$ con respecto de $r$ se cumplirá la siguiente igualdad vectorial $$2\,\overset{\rightarrow}{PI}=\overset{\rightarrow}{PP'}$$ esto es $$P' \equiv \left\{\begin{matrix}x_{P'}=2\cdot (x_I-x_P)+x_P \\ y_{P'}=2\cdot (y_I-y_P)+y_P \\ z_{P'}=2\cdot (z_I-z_P)+z_P\end{matrix}\right.\quad \quad (1)$$ Necesitamos, por tanto, calcular las coordenadas de $I$, que es lo que haremos a continuación.
Al ser $\pi \perp r$, el vector director $\vec{u}=(2,1,-1)$ de $r$ se puede tomar como vector característico del plano $\pi$, con lo cual la ecuación general de dicho plano se escribe $2x+y-z+D=0$, y, para determinar $D$, tendremos en cuenta que $P \in \pi$, con lo cual se cumplirá que $2\cdot 0+1-1+D=0$, luego $D=0$ y, por consiguiente, la ecuación del plano es $\pi \equiv 2x+y-z=0$
De la ecuación de la recta $r$ en forma continua, escribimos las ecuaciones implícitas de la misma $$r\equiv \left\{\begin{matrix}\dfrac{x-1}{2}=y+1 \\ \\ \dfrac{x-1}{2}=\dfrac{z}{-1}\end{matrix}\right.\sim \left\{\begin{matrix} x-2y=3\\x+2z=1 \end{matrix}\right. $$
Por tanto las coordenadas del punto $I=\pi\cap r$ vienen dadas por la solución del sistema de ecuaciones $$I\equiv \left\{\begin{matrix}2x&+&y&-&z&=0\\x&-&2y&&&=3\\ x&&&+&2z&=1\end{matrix}\right.\overset{\text{Gauss}}{\sim} \left\{\begin{matrix}x&&&&&=2/3\\&&y&&&=-7/6\\ &&&+&z&=1/6\end{matrix}\right.$$
Y, de (1), $$P' \equiv \left\{\begin{matrix}x_{P'}=2\cdot (2/3-0)+0=4/3 \\ y_{P'}=2\cdot (-7/6-1)+1=-10/3 \\ z_{P'}=2\cdot (1/6-1)+1=-2/3\end{matrix}\right.$$
b) Como la recta que contiene a $P$, $I$ y $P'$ es perpendicular a $r$ se tiene que $d(P,r)=\left\|\overset{\rightarrow}{PI}\right\|=\left|\sqrt{(x_I-x_P)^2+(y_I-y_P)^2+(z_I-z_P)^2}\right|$, luego $d(P,r)=\left|\sqrt{(2/3-0)^2+(-7/6-1)^2+(1/6-1)^2}\right|$
$=\dfrac{\left|\sqrt{210}\right|}{6}\,\text{unidades de longitud}$
Nota. De no haber calculado previamente las coordenadas del punto $I=\pi \cap r$, también puede obtenerse la distancia pedida $d(P,r)$ mediante este otro procedimiento que hemos empleado ya muchas veces:
Sea $A$ un punto de $r$, pongamos que $A(1,-1,0)$ ( démonos cuenta de que sus coordenadas satisfacen la ecuación en forma continua de $r$ ), y situemos un vector de la recta $r$ con origen en $A$, por ejemplo $\vec{u}=(2,1,-1)$. Entonces el área del triángulo de vértices: $A$,$P$ y el extremo de $\vec{u}$ es igual a $\dfrac{1}{2}\,\left\|\vec{u}\times \overset{\rightarrow}{AP}\right\|$, que, por otra parte, también es iguala $\dfrac{1}{2}\,\left|\vec{u}\right\|\cdot d(P,r)$, con lo cual $$d(P,r)=\dfrac{\left\|\vec{u}\times \overset{\rightarrow}{AP}\right\|}{\left|\vec{u}\right\|}$$
Teniendo en cuenta que $\overset{\rightarrow}{AP}=(0-1,1-(-1),1-0)=(-1,2,1)$, vemos que $$\vec{u}\times \overset{\rightarrow}{AP}=\begin{vmatrix}\vec{i}&\vec{j}&\vec{k}\\2&1&-1\\-1&2&1\end{vmatrix}=3\,\vec{i}-\vec{j}+5\,\vec{k}=(3,-1,5) \rightarrow $$\left|\vec{u}\times \overset{\rightarrow}{AP}\right\|=\left|\sqrt{35}\right|. Por otra parte, el módulo de $\vec{u}$ es $\left\|\vec{u}\right\|=\left|\sqrt{2^2+1^2+(-1)^2}\right|=\left|\sqrt{6}\right|$, luego $$d(P,r)=\left|\dfrac{35}{6}\right|=\dfrac{\left|\sqrt{210}\right|}{6}\, \text{unidades de longitud}$$
$\square$
a) Determínense las coordenadas del punto simétrico de $P$ con respecto a $r$
b) Calcúlese la distancia euclídea entre $P$ y $r$
SOLUCIÓN.
a) Sea el plano $\pi$ perpendicular a $r$ tal que $P \in \pi$. Entonces, si $I = r \cap \pi$ y $P'$ es el punto simétrico de $P$ con respecto de $r$ se cumplirá la siguiente igualdad vectorial $$2\,\overset{\rightarrow}{PI}=\overset{\rightarrow}{PP'}$$ esto es $$P' \equiv \left\{\begin{matrix}x_{P'}=2\cdot (x_I-x_P)+x_P \\ y_{P'}=2\cdot (y_I-y_P)+y_P \\ z_{P'}=2\cdot (z_I-z_P)+z_P\end{matrix}\right.\quad \quad (1)$$ Necesitamos, por tanto, calcular las coordenadas de $I$, que es lo que haremos a continuación.
Al ser $\pi \perp r$, el vector director $\vec{u}=(2,1,-1)$ de $r$ se puede tomar como vector característico del plano $\pi$, con lo cual la ecuación general de dicho plano se escribe $2x+y-z+D=0$, y, para determinar $D$, tendremos en cuenta que $P \in \pi$, con lo cual se cumplirá que $2\cdot 0+1-1+D=0$, luego $D=0$ y, por consiguiente, la ecuación del plano es $\pi \equiv 2x+y-z=0$
De la ecuación de la recta $r$ en forma continua, escribimos las ecuaciones implícitas de la misma $$r\equiv \left\{\begin{matrix}\dfrac{x-1}{2}=y+1 \\ \\ \dfrac{x-1}{2}=\dfrac{z}{-1}\end{matrix}\right.\sim \left\{\begin{matrix} x-2y=3\\x+2z=1 \end{matrix}\right. $$
Por tanto las coordenadas del punto $I=\pi\cap r$ vienen dadas por la solución del sistema de ecuaciones $$I\equiv \left\{\begin{matrix}2x&+&y&-&z&=0\\x&-&2y&&&=3\\ x&&&+&2z&=1\end{matrix}\right.\overset{\text{Gauss}}{\sim} \left\{\begin{matrix}x&&&&&=2/3\\&&y&&&=-7/6\\ &&&+&z&=1/6\end{matrix}\right.$$
Y, de (1), $$P' \equiv \left\{\begin{matrix}x_{P'}=2\cdot (2/3-0)+0=4/3 \\ y_{P'}=2\cdot (-7/6-1)+1=-10/3 \\ z_{P'}=2\cdot (1/6-1)+1=-2/3\end{matrix}\right.$$
b) Como la recta que contiene a $P$, $I$ y $P'$ es perpendicular a $r$ se tiene que $d(P,r)=\left\|\overset{\rightarrow}{PI}\right\|=\left|\sqrt{(x_I-x_P)^2+(y_I-y_P)^2+(z_I-z_P)^2}\right|$, luego $d(P,r)=\left|\sqrt{(2/3-0)^2+(-7/6-1)^2+(1/6-1)^2}\right|$
$=\dfrac{\left|\sqrt{210}\right|}{6}\,\text{unidades de longitud}$
Nota. De no haber calculado previamente las coordenadas del punto $I=\pi \cap r$, también puede obtenerse la distancia pedida $d(P,r)$ mediante este otro procedimiento que hemos empleado ya muchas veces:
Sea $A$ un punto de $r$, pongamos que $A(1,-1,0)$ ( démonos cuenta de que sus coordenadas satisfacen la ecuación en forma continua de $r$ ), y situemos un vector de la recta $r$ con origen en $A$, por ejemplo $\vec{u}=(2,1,-1)$. Entonces el área del triángulo de vértices: $A$,$P$ y el extremo de $\vec{u}$ es igual a $\dfrac{1}{2}\,\left\|\vec{u}\times \overset{\rightarrow}{AP}\right\|$, que, por otra parte, también es iguala $\dfrac{1}{2}\,\left|\vec{u}\right\|\cdot d(P,r)$, con lo cual $$d(P,r)=\dfrac{\left\|\vec{u}\times \overset{\rightarrow}{AP}\right\|}{\left|\vec{u}\right\|}$$
Teniendo en cuenta que $\overset{\rightarrow}{AP}=(0-1,1-(-1),1-0)=(-1,2,1)$, vemos que $$\vec{u}\times \overset{\rightarrow}{AP}=\begin{vmatrix}\vec{i}&\vec{j}&\vec{k}\\2&1&-1\\-1&2&1\end{vmatrix}=3\,\vec{i}-\vec{j}+5\,\vec{k}=(3,-1,5) \rightarrow $$\left|\vec{u}\times \overset{\rightarrow}{AP}\right\|=\left|\sqrt{35}\right|. Por otra parte, el módulo de $\vec{u}$ es $\left\|\vec{u}\right\|=\left|\sqrt{2^2+1^2+(-1)^2}\right|=\left|\sqrt{6}\right|$, luego $$d(P,r)=\left|\dfrac{35}{6}\right|=\dfrac{\left|\sqrt{210}\right|}{6}\, \text{unidades de longitud}$$
$\square$
Un ejercicio sobre sistemas lineales homogéneos
ENUNCIADO. Considérese el sistema de ecuaciones lineales, con un parámetro $a\in \mathbb{R}$ $$\left\{\begin{matrix}a\,x&+&y&+&z&=&0 \\ x&+&a\,y&+&z&=&0 \\ x&+&y&+&a\,z&=&0\end{matrix}\right.$$ Se pide:
a) ¿ Hay algún valor de para el cual el sistema sea incompatible ? ¿ Para qué valores de $a$ la única solución del sistema es la trivial ? ( Razónense todas las respuestas )
b) Resuélvase el sistema para $a=-1$
SOLUCIÓN.
a)
Tratándose de un sistema homogéneo, por lo menos tiene la solución trivial ( $x=y=z=0$ ), luego no puede ser incompatible, sea cual sea el valor de $a$.
Veamos ahora para qué valores de $a$ la única solución de este sistema es la trival.
Para el sistema tenga otras soluciones además de la trivial ( $x=y=z=0$ ), esto es, para que el sistema sea compatible indeterminado el rango de la matriz de los coeficientes ha de ser menor que el número de incógnitas $n=3$, con lo cual ha de cumplirse que $$\begin{vmatrix}a&1&1\\1&a&1\\1&1&a \end{vmatrix} = 0 \Leftrightarrow a^3-3a+2=(a-1)\,(a^2+a-2) = 0 \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}a = -2 \\ \text{ó} \\ a = 1 \end{matrix}\right.$$ Así pues, si $a$ toma valores distintos de $-2$ y $1$, el sistema tiene únicamente la solución trivial $x=y=z=0$
b)
Según lo dicho enel apartado anterior, como $a:=-1 \notin \{-2\,,\,1\}$ el sistema es compatible determinado, y su única solución es la trivial: $x=y=z=0$
Nota: Evidentement, podemos comprobar muy fácilmente lo que acabamos de concluir
$\left.\begin{matrix} -x&+&y&+&z&=0 \\ x&-&y&+&z&=0 \\ x&+&y&-&z&=0 \end{matrix}\right\} \sim \left.\begin{matrix} -x&+&y&+&z&=0 \\ &&&&2\,z&=0 \\ &&2\,y&&&=0 \end{matrix}\right\} \sim \left.\begin{matrix} x&&&&&=0 \\ &&y&&&=0 \\ &&&&z&=0 \end{matrix}\right\}$
$\square$
a) ¿ Hay algún valor de para el cual el sistema sea incompatible ? ¿ Para qué valores de $a$ la única solución del sistema es la trivial ? ( Razónense todas las respuestas )
b) Resuélvase el sistema para $a=-1$
SOLUCIÓN.
a)
Tratándose de un sistema homogéneo, por lo menos tiene la solución trivial ( $x=y=z=0$ ), luego no puede ser incompatible, sea cual sea el valor de $a$.
Veamos ahora para qué valores de $a$ la única solución de este sistema es la trival.
Para el sistema tenga otras soluciones además de la trivial ( $x=y=z=0$ ), esto es, para que el sistema sea compatible indeterminado el rango de la matriz de los coeficientes ha de ser menor que el número de incógnitas $n=3$, con lo cual ha de cumplirse que $$\begin{vmatrix}a&1&1\\1&a&1\\1&1&a \end{vmatrix} = 0 \Leftrightarrow a^3-3a+2=(a-1)\,(a^2+a-2) = 0 \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}a = -2 \\ \text{ó} \\ a = 1 \end{matrix}\right.$$ Así pues, si $a$ toma valores distintos de $-2$ y $1$, el sistema tiene únicamente la solución trivial $x=y=z=0$
b)
Según lo dicho enel apartado anterior, como $a:=-1 \notin \{-2\,,\,1\}$ el sistema es compatible determinado, y su única solución es la trivial: $x=y=z=0$
Nota: Evidentement, podemos comprobar muy fácilmente lo que acabamos de concluir
$\left.\begin{matrix} -x&+&y&+&z&=0 \\ x&-&y&+&z&=0 \\ x&+&y&-&z&=0 \end{matrix}\right\} \sim \left.\begin{matrix} -x&+&y&+&z&=0 \\ &&&&2\,z&=0 \\ &&2\,y&&&=0 \end{matrix}\right\} \sim \left.\begin{matrix} x&&&&&=0 \\ &&y&&&=0 \\ &&&&z&=0 \end{matrix}\right\}$
$\square$
Un ejercicio de aplicación de los teoremas de la probabilidad total y de Bayes
ENUNCIADO. A un examen extraordinario se presentan alumnos de los grupos $A$ y $B$, teniendo ambos grupos el mismo número de alumnos. La probabilidad de que apruebe un alumno del grupo $\mathcal{A}$ es de $0,75$ y de que apruebe un alumno del grupo $\mathcal{B}$ es de $0,8$. Una vez realizado el examen, se elige a un alumno al azar. Calcúlese la probabilidad de que:
a) El alumno haya aprobado
b) Sabiendo que éste ha aprobado, ¿ cuál es la probabilidad de que sea del grupo $A$ ?
SOLUCIÓN. Al elegir un alumno al azar, denotemos por $A$ al suceso ser del grup $\mathcal{A}$, por $B$ al suceso ser del grupo $\mathcal{B}$, y por Denominemos $X$ al suceso estar aprobado .
a)
Podemos escribir el suceso $X$ de la forma $X=(X\cap A) \cup (X \cap B)$, y como $(X \cap A) \cap (X\cap B)=\emptyset$, llegamos a $$P(X)=P(X \cap A)+P(X \cap B)$$ y por la fórmula de la probabilidad condicionada $$P(X)=P(X|A)P(A)+P(X|B)P(B)$$ Teniendo en cuenta que hay el mismo número de alumnos en los dos grupos, $P(A)=P(B)=0,5$; por otra parte, de la información del enunciado, $P(X|A)=0,75$ y $P(X|B)=0,8$ luego $$P(X)=0,75\cdot 0,5+0,5\cdot 0,5=0,775$$
b)
Teniendo en cuenta que $P(X \cap A)=P(A \cap X)$ y por tanto $$P(X|A)P(A)=P(A|X)P(X)$$ se deduce de ello que $$P(A|X)=\dfrac{P(X|A)P(A)}{P(X)}$$ por lo que, con los datos, nos queda $$P(A|X)=\dfrac{0,75\cdot 0,5}{0,775}\approx 0,4839$$
$\square$
a) El alumno haya aprobado
b) Sabiendo que éste ha aprobado, ¿ cuál es la probabilidad de que sea del grupo $A$ ?
SOLUCIÓN. Al elegir un alumno al azar, denotemos por $A$ al suceso ser del grup $\mathcal{A}$, por $B$ al suceso ser del grupo $\mathcal{B}$, y por Denominemos $X$ al suceso estar aprobado .
a)
Podemos escribir el suceso $X$ de la forma $X=(X\cap A) \cup (X \cap B)$, y como $(X \cap A) \cap (X\cap B)=\emptyset$, llegamos a $$P(X)=P(X \cap A)+P(X \cap B)$$ y por la fórmula de la probabilidad condicionada $$P(X)=P(X|A)P(A)+P(X|B)P(B)$$ Teniendo en cuenta que hay el mismo número de alumnos en los dos grupos, $P(A)=P(B)=0,5$; por otra parte, de la información del enunciado, $P(X|A)=0,75$ y $P(X|B)=0,8$ luego $$P(X)=0,75\cdot 0,5+0,5\cdot 0,5=0,775$$
b)
Teniendo en cuenta que $P(X \cap A)=P(A \cap X)$ y por tanto $$P(X|A)P(A)=P(A|X)P(X)$$ se deduce de ello que $$P(A|X)=\dfrac{P(X|A)P(A)}{P(X)}$$ por lo que, con los datos, nos queda $$P(A|X)=\dfrac{0,75\cdot 0,5}{0,775}\approx 0,4839$$
$\square$
Cálculo de probabilidades
ENUNCIADO. Una oficina bancaria dispone de dos sistemas de alarma, $\mathcal{A}$ y $\mathcal{B}$, que son independientes. La eficacia del sistema $\mathcal{A}$ es del $85\,\%$ y la del sistema $\mathcal{B}$ del $92\,\%$. Calcular la probabilidad de que, en caso de peligro:
a) Funcione al menos una de los dos sistemas de alarma
b) Funcionen ambos sistemas de alarma
c) Funcione un sólo sistema de alarma
d) No funcione ningún sistema de alarma
SOLUCIONES. Denotemos por $A$ el suceso funciona el sistema de alarma $\mathcal{A}$, y por $B$, funciona el sistema de alarma $\mathcal{B}$. Las probabilidades de los sucesos contrarios son $P(\bar{A})=1-0,85$ y $P(\bar{B})=1-0,92$.
a)
$P\left((\bar{A}\cap B)\cup (A\cap \bar{B}) \cup (A\cap B)\right)\overset{(1)}{=}P(\bar{A}\cap B)+P(A\cap \bar{B})+P(A\cap B)\overset{(2)}{=}$
$=P(\bar{A})\cdot P(B)+P(A)\cdot P(\bar{B})+P(A)\cdot P(B)=$
$=0,92\cdot (1-0,85)+0,85\cdot (1-0,92)+0,92\cdot 0,85$
$=0,988$
Nota: Otra forma de calcularlo es la siguiente
P("funcione algún sistema")=1-P("no funcione ningún sistema")=$1-P(\bar{A} \cap \bar{B})=1-(1-0,85)\cdot (1-0,92)=0,988$
Aclaraciones:
(1) $(A\cap \bar{B}) \cap (\bar{A}\cap B) = \emptyset$, $(A\cap \bar{B}) \cap (A \cap B) = \emptyset$, $(\bar{A}\cap B) \cap (A \cap B) = \emptyset$
(2) $A$ y $B$ son independientes, luego $\bar{A}$ y $B$; $\bar{A}$ y $\bar{B}$; y, $A$ y $\bar{B}$ también lo son
b)
$P(A \cap B)\overset{(2)}{=} P(A)\cdot P(B)=0,85\cdot 0,92=0,782$
c)
$P\left((\bar{A}\cap B)\cup (A \cap \bar{B})\right)\overset{(1)}{=}P(\bar{A}\cap B)+P(A \cap \bar{B})\overset{(2)}{=}P(\bar{A})\cdot P(B)+P(A)\cdot P(\bar{B})=$
$=(1-0,85)\cdot 0,92+(1-0,92)\cdot 0,85$
$=0,206$
d)
P("no funcione ningún sistema")=1-P("funcione algún sistema")$\overset{\text{resultado (a)}}{=}1-0,988=0,012$
Nota:
También se puede calcular así:
P("no funcione ningún sistema")=
$=P(\bar{A}\cap \bar{B})\overset{(2)}{=}P(\bar{A})\cdot P(\bar{B})=(1-0,85)\cdot(1-0,92)=0,012$
$\square$
a) Funcione al menos una de los dos sistemas de alarma
b) Funcionen ambos sistemas de alarma
c) Funcione un sólo sistema de alarma
d) No funcione ningún sistema de alarma
SOLUCIONES. Denotemos por $A$ el suceso funciona el sistema de alarma $\mathcal{A}$, y por $B$, funciona el sistema de alarma $\mathcal{B}$. Las probabilidades de los sucesos contrarios son $P(\bar{A})=1-0,85$ y $P(\bar{B})=1-0,92$.
a)
$P\left((\bar{A}\cap B)\cup (A\cap \bar{B}) \cup (A\cap B)\right)\overset{(1)}{=}P(\bar{A}\cap B)+P(A\cap \bar{B})+P(A\cap B)\overset{(2)}{=}$
$=P(\bar{A})\cdot P(B)+P(A)\cdot P(\bar{B})+P(A)\cdot P(B)=$
$=0,92\cdot (1-0,85)+0,85\cdot (1-0,92)+0,92\cdot 0,85$
$=0,988$
Nota: Otra forma de calcularlo es la siguiente
P("funcione algún sistema")=1-P("no funcione ningún sistema")=$1-P(\bar{A} \cap \bar{B})=1-(1-0,85)\cdot (1-0,92)=0,988$
Aclaraciones:
(1) $(A\cap \bar{B}) \cap (\bar{A}\cap B) = \emptyset$, $(A\cap \bar{B}) \cap (A \cap B) = \emptyset$, $(\bar{A}\cap B) \cap (A \cap B) = \emptyset$
(2) $A$ y $B$ son independientes, luego $\bar{A}$ y $B$; $\bar{A}$ y $\bar{B}$; y, $A$ y $\bar{B}$ también lo son
b)
$P(A \cap B)\overset{(2)}{=} P(A)\cdot P(B)=0,85\cdot 0,92=0,782$
c)
$P\left((\bar{A}\cap B)\cup (A \cap \bar{B})\right)\overset{(1)}{=}P(\bar{A}\cap B)+P(A \cap \bar{B})\overset{(2)}{=}P(\bar{A})\cdot P(B)+P(A)\cdot P(\bar{B})=$
$=(1-0,85)\cdot 0,92+(1-0,92)\cdot 0,85$
$=0,206$
d)
P("no funcione ningún sistema")=1-P("funcione algún sistema")$\overset{\text{resultado (a)}}{=}1-0,988=0,012$
Nota:
También se puede calcular así:
P("no funcione ningún sistema")=
$=P(\bar{A}\cap \bar{B})\overset{(2)}{=}P(\bar{A})\cdot P(\bar{B})=(1-0,85)\cdot(1-0,92)=0,012$
$\square$
Aproximación de una distribución binomial por una distribución normal
ENUNCIA1DO. Una urna contiene $800$ bolas negras y $500$ bolas blancas. Se extraen al azar $200$ bolas, de manera sucesiva y con reemplazamiento. Calcúlese la probabilidad de obtener:
a) Más $150$ bolas blancas
b) Menos de $110$ bolas blancas
c) Un número de bolas blancas comprendido entre $90$ y $170$
SOLUCIÓN.
La distribución binomial de variable aleatoria se adapta perfectamente a este problema ya que las extracciones son independientes y sólo hay dos posibles resultados "bola blanca" o "bola negra" en cada una de las extracciones. Consderemos la variable aleatoria $X$, número de bolas blancas obtenidas en el conjunto de $200$ bolas extraídas, que toma valores en el conjunto $\{0,1,2,3,4,\ldots,200\}$; $X$ sigue pues una distribución $B(n,p)$, donde $n=200$ y $p=\dfrac{500}{1300}=\dfrac{5}{13}$ ( probabilidad de 'éxito' ), con lo cual la probabilidad de 'fracaso' es $q=1-p=\dfrac{8}{13}$
a)
Se pide que calculemos $P\{X\succ 150\}=\displaystyle \sum_{i=151}^{200}\,\binom{200}{i}\,p^i\,(1-p)^{200-i}$; ahora bien, este cálculo es inviable, así que, como alternativa, intentaremos aproximar la variable aleatoria binomial $X$ por una variable aleatoria normal $Y$. Veamos si se cumplen los requerimientos para que se pueda hacer eso: en efecto $n\,p=200\cdot \dfrac{5}{13}\succ 5$ y $n\,(1-p)=200\cdot \dfrac{8}{13}\succ 5$. Procedamos pues a realizar la aproximación. Sabemos que la variable aleatoria aproximadora $Y$ siguie una distribución $N(\mu\,,\,\sigma)$ con $\mu=n\,p$ y $\sigma=|\sqrt{n\,p\,(1-p)}|$, esot es $Y$ sigue una distribución $N(76'92\,,\,6'88)$
Entonces $P\{X\succ 150\}\overset{(1),(2)}{\approx} P\{Y \succ 150+0'5\}\overset{(3)}{=}P\{Z\succ \dfrac{150'5-76'92}{6'88}\}$
$=P\{Z \ge 10'69\}=1-P\{Z\le 10'69\}=1-F(10'69) \approx 1-1=0$
b)
Seguimos, desde luego, con la aproximación por la normal:
$P\{X\prec 150\}\overset{(1),(2)}{\approx} P\{Y \prec 110+0'5\}\overset{(3)}{=}P\{Z\le \dfrac{110'5-76'92}{6'88}\}$
$P\{Z\le 4'88\}=F(4'88)\approx 1$
c)
$P\{90 \prec X \prec 170\}\overset{(1),(2)}{\approx} P\{ 89'5 \prec Y \prec 170'5\} \overset{(3)}{=}$
$=P\{\dfrac{89'5-76'92}{6'88} \le Z \le \dfrac{170'5-76'92}{6'88}\}=P\{ 1'83 \le Z \le 13'60 \}=$
$=P\{Z\le 13'60\}-P\{Z \le 1'83\}$
$=F(13'60)-F(1'83)$
$=1-0'9664$
$=0'0336$
Aclaraciones:
(1),(2): Aproximación por la normal y corrección de continuidad ( o de Yates )
(3): tipificación de la variable normal $Y \rightarrow Z=\dfrac{Z-\mu}{\sigma}$
$\square$
a) Más $150$ bolas blancas
b) Menos de $110$ bolas blancas
c) Un número de bolas blancas comprendido entre $90$ y $170$
SOLUCIÓN.
La distribución binomial de variable aleatoria se adapta perfectamente a este problema ya que las extracciones son independientes y sólo hay dos posibles resultados "bola blanca" o "bola negra" en cada una de las extracciones. Consderemos la variable aleatoria $X$, número de bolas blancas obtenidas en el conjunto de $200$ bolas extraídas, que toma valores en el conjunto $\{0,1,2,3,4,\ldots,200\}$; $X$ sigue pues una distribución $B(n,p)$, donde $n=200$ y $p=\dfrac{500}{1300}=\dfrac{5}{13}$ ( probabilidad de 'éxito' ), con lo cual la probabilidad de 'fracaso' es $q=1-p=\dfrac{8}{13}$
a)
Se pide que calculemos $P\{X\succ 150\}=\displaystyle \sum_{i=151}^{200}\,\binom{200}{i}\,p^i\,(1-p)^{200-i}$; ahora bien, este cálculo es inviable, así que, como alternativa, intentaremos aproximar la variable aleatoria binomial $X$ por una variable aleatoria normal $Y$. Veamos si se cumplen los requerimientos para que se pueda hacer eso: en efecto $n\,p=200\cdot \dfrac{5}{13}\succ 5$ y $n\,(1-p)=200\cdot \dfrac{8}{13}\succ 5$. Procedamos pues a realizar la aproximación. Sabemos que la variable aleatoria aproximadora $Y$ siguie una distribución $N(\mu\,,\,\sigma)$ con $\mu=n\,p$ y $\sigma=|\sqrt{n\,p\,(1-p)}|$, esot es $Y$ sigue una distribución $N(76'92\,,\,6'88)$
Entonces $P\{X\succ 150\}\overset{(1),(2)}{\approx} P\{Y \succ 150+0'5\}\overset{(3)}{=}P\{Z\succ \dfrac{150'5-76'92}{6'88}\}$
$=P\{Z \ge 10'69\}=1-P\{Z\le 10'69\}=1-F(10'69) \approx 1-1=0$
b)
Seguimos, desde luego, con la aproximación por la normal:
$P\{X\prec 150\}\overset{(1),(2)}{\approx} P\{Y \prec 110+0'5\}\overset{(3)}{=}P\{Z\le \dfrac{110'5-76'92}{6'88}\}$
$P\{Z\le 4'88\}=F(4'88)\approx 1$
c)
$P\{90 \prec X \prec 170\}\overset{(1),(2)}{\approx} P\{ 89'5 \prec Y \prec 170'5\} \overset{(3)}{=}$
$=P\{\dfrac{89'5-76'92}{6'88} \le Z \le \dfrac{170'5-76'92}{6'88}\}=P\{ 1'83 \le Z \le 13'60 \}=$
$=P\{Z\le 13'60\}-P\{Z \le 1'83\}$
$=F(13'60)-F(1'83)$
$=1-0'9664$
$=0'0336$
Aclaraciones:
(1),(2): Aproximación por la normal y corrección de continuidad ( o de Yates )
(3): tipificación de la variable normal $Y \rightarrow Z=\dfrac{Z-\mu}{\sigma}$
$\square$
Cálculo de probabilidades. Coincidencias.
ENUNCIADO. Se han reunido $6$ personas que han nacido en el mes de mayo ( el mes de mayo tiene $30$ días ). Calcular la probabilidad de que:
a) Las seis personas hayan nacido en días distintos
b) Al menos dos hayan nacido el mismo día
b) Las seis personas hayan nacido el mismo día
SOLUCIÓN.
a)
Empleando la probabilidad compuesta, la probabilidad de que las $6$ personas hayan nacido en días distintos es $$\dfrac{30}{30}\cdot \dfrac{30-1}{30} \cdot \dfrac{30-2}{30} \cdot \dfrac{30-3}{30} \cdot \dfrac{30-4}{30} \cdot \dfrac{30-5}{30} = \dfrac{2639}{4500} \approx 0,5864 $$
Nota: Otra forma de calcularlo consiste en emplear la combinatoria y la regla de Laplace $\dfrac{\text{V}_{30,6}}{\text{VR}_{30,6}}= \dfrac{30\cdot 29\cdot 28\cdot 27 \cdot 26 \cdot 25}{30^6}=\dfrac{2639}{4500}$
b)
El suceso contrario de nadie haya nacido el mismo día que los demás ( calculado en el apartado anterior ) es el de que al menos dos personas hayan nacido el mismo día, en consecuencia la probabilidad de que al menos dos personas coincidan en el día es $$1- \dfrac{2639}{4500}=\dfrac{1861}{4500} \approx 0,4136$$
c)
Desde luego, hay $30$ posibilidades ($6$-tuplas) de escoger el día que coincidan en el nacimiento, y $\text{VR}_{30,6}=30^6$ $6$-tuplas que describen todas las posibilidades, luego por la regla de Laplace, la probabilidad pedida es $$\dfrac{30}{30^6}=\dfrac{1}{30^5} \approx 4,1\times 10^{-8}$$
Nota:
El conjunto de 6-tuplas que describen los días en los que nacen las 6 personas tiene $30^6$ elementos
$\square$
a) Las seis personas hayan nacido en días distintos
b) Al menos dos hayan nacido el mismo día
b) Las seis personas hayan nacido el mismo día
SOLUCIÓN.
a)
Empleando la probabilidad compuesta, la probabilidad de que las $6$ personas hayan nacido en días distintos es $$\dfrac{30}{30}\cdot \dfrac{30-1}{30} \cdot \dfrac{30-2}{30} \cdot \dfrac{30-3}{30} \cdot \dfrac{30-4}{30} \cdot \dfrac{30-5}{30} = \dfrac{2639}{4500} \approx 0,5864 $$
Nota: Otra forma de calcularlo consiste en emplear la combinatoria y la regla de Laplace $\dfrac{\text{V}_{30,6}}{\text{VR}_{30,6}}= \dfrac{30\cdot 29\cdot 28\cdot 27 \cdot 26 \cdot 25}{30^6}=\dfrac{2639}{4500}$
b)
El suceso contrario de nadie haya nacido el mismo día que los demás ( calculado en el apartado anterior ) es el de que al menos dos personas hayan nacido el mismo día, en consecuencia la probabilidad de que al menos dos personas coincidan en el día es $$1- \dfrac{2639}{4500}=\dfrac{1861}{4500} \approx 0,4136$$
c)
Desde luego, hay $30$ posibilidades ($6$-tuplas) de escoger el día que coincidan en el nacimiento, y $\text{VR}_{30,6}=30^6$ $6$-tuplas que describen todas las posibilidades, luego por la regla de Laplace, la probabilidad pedida es $$\dfrac{30}{30^6}=\dfrac{1}{30^5} \approx 4,1\times 10^{-8}$$
Nota:
El conjunto de 6-tuplas que describen los días en los que nacen las 6 personas tiene $30^6$ elementos
[P1| P2| P3| P4| P5|P6] ----------------------- [1 | 1 | 1 | 1 | 1 |1 ] [1 | 2 | 2 | 1 | 3 |1 ] [10|28 | 1 | 1 |30 |11] ...
$\square$
martes, 8 de mayo de 2018
EvAU 2018, UAM
Os recuerdo que siguiendo este enlace de la UAM podéis informaros sobre las EvAU. Echad un vistazo a la tipología de los exámenes. Os deseo mucha suerte a los que os presentéis.
lunes, 7 de mayo de 2018
Aproximación de una distribución binomial por una distribución normal
ENUNCIADO. Una fábrica produce un cierto tipo de dispositivos electrónicos. Por el control de calidad, se sabe que el $3\,\%$ de los dispositivos producidos son defectuosos. Se eligen al azar $500$ de los dispositivos fabricados. ¿ Cuál es la probabilidad de que a los sumo $20$ sean defectuosos ?.
SOLUCIÓN.
La variable aleatoria "número de piezas defectuosas", $X$, que toma valores en el conjunto $\{0,1,2,3,4,\ldots,20\}$, sigue una distribución binomial $B(n\,,\,p)$, donde $n=500$ y $p=\dfrac{3}{100}$ ( luego $q\equiv 1-p=\dfrac{97}{100}$ )
Entonces, $P\{X\le 20\} \overset{(1)}{\approx} P\{Y\le 20'5\}\overset{(2)}{=}P\{Z\le 1'4419\}=F(1'4419)\overset{(3)}{\approx}0'9472$
Aclaraciones:
(1) El cálculo con la distribución binomial con esos valores es inviable por la magnitud de los datos, así que intentaremos aproximar la variable binomial $X$ por una variable normal $Y$. Como $n\,p=500\cdot \dfrac{3}{100}=15\succ 5$ y $n\,q=500\cdot \dfrac{97}{100}\succ 5$, estamos en condiciones de realizar dicha aproximación. Así pues, tal y como se ha explicado en clase, en lugar de la variable binomial $X$ ( que es $B(n,p)$ ) tomaremos pues una variable normal $Y$ que es $N(np,|\sqrt{npq}|)$, esto es la variable $Y$ que es $N(15\,,\,3'8144)$. Hacer ésto conlleva también tener que hacer la llamada corrección de Yates, que consiste en aumentar en media unidad el valor de la abscisa de $Y$, esto es sumamos a $20$ media unidad, pasando por tanto a $20+0'5 = 20'5$.
(2) Tipificando la variable $Y$, mediante la transformación $Z=\dfrac{Y-15}{3'8144}$, siendo $Z$ una distribución $N(0,1)$, podremos utilizar las tablas de la función de distribución de probabilidad $F(z)$ para calcular el área bajo la curva de la función de densidad $f(z)$ desde $-\infty$ hasta $k$, es decir $P\{Z\le k\}$, que es igual a la función de distribución en $k$, esto es $P\{Z\le k\}=F(k)$. Así pues la abscisa de $Y$, $20'5$, se transforma en $\dfrac{20'5-15}{3'8144}=1'4419$ que es la abscisa correspondiente a $Z$, con cuyo valor entraremos en las tablas.
(3) La abscisa $1'4419$ ( con las cuatro cifras decimales ) no figura exactamente en las tablas, así que deberemos interpolar linealmente entre los valores $1'44$ y $1'45$, que son los más próximos a $1'4419$, por defecto y por exceso:
$$\dfrac{F(1'4419)-0'9265}{1'4419-1'45}=\dfrac{0'9265-0'9521}{1'45-1'44}$$ por tanto $$F(1'4419)=\dfrac{(0'9265-0'9521)\cdot (1'4419-1'45)}{1'45-1'44}+0'9265 \approx 0'9472$$
$\square$
SOLUCIÓN.
La variable aleatoria "número de piezas defectuosas", $X$, que toma valores en el conjunto $\{0,1,2,3,4,\ldots,20\}$, sigue una distribución binomial $B(n\,,\,p)$, donde $n=500$ y $p=\dfrac{3}{100}$ ( luego $q\equiv 1-p=\dfrac{97}{100}$ )
Entonces, $P\{X\le 20\} \overset{(1)}{\approx} P\{Y\le 20'5\}\overset{(2)}{=}P\{Z\le 1'4419\}=F(1'4419)\overset{(3)}{\approx}0'9472$
Aclaraciones:
(1) El cálculo con la distribución binomial con esos valores es inviable por la magnitud de los datos, así que intentaremos aproximar la variable binomial $X$ por una variable normal $Y$. Como $n\,p=500\cdot \dfrac{3}{100}=15\succ 5$ y $n\,q=500\cdot \dfrac{97}{100}\succ 5$, estamos en condiciones de realizar dicha aproximación. Así pues, tal y como se ha explicado en clase, en lugar de la variable binomial $X$ ( que es $B(n,p)$ ) tomaremos pues una variable normal $Y$ que es $N(np,|\sqrt{npq}|)$, esto es la variable $Y$ que es $N(15\,,\,3'8144)$. Hacer ésto conlleva también tener que hacer la llamada corrección de Yates, que consiste en aumentar en media unidad el valor de la abscisa de $Y$, esto es sumamos a $20$ media unidad, pasando por tanto a $20+0'5 = 20'5$.
(2) Tipificando la variable $Y$, mediante la transformación $Z=\dfrac{Y-15}{3'8144}$, siendo $Z$ una distribución $N(0,1)$, podremos utilizar las tablas de la función de distribución de probabilidad $F(z)$ para calcular el área bajo la curva de la función de densidad $f(z)$ desde $-\infty$ hasta $k$, es decir $P\{Z\le k\}$, que es igual a la función de distribución en $k$, esto es $P\{Z\le k\}=F(k)$. Así pues la abscisa de $Y$, $20'5$, se transforma en $\dfrac{20'5-15}{3'8144}=1'4419$ que es la abscisa correspondiente a $Z$, con cuyo valor entraremos en las tablas.
(3) La abscisa $1'4419$ ( con las cuatro cifras decimales ) no figura exactamente en las tablas, así que deberemos interpolar linealmente entre los valores $1'44$ y $1'45$, que son los más próximos a $1'4419$, por defecto y por exceso:
------------------- z | F(z) ------------------- 1,44 | 0'9521 1,45 | 0'9265 1,67 | 0'9525 1,4419 | F(1'4419) -------------------
$$\dfrac{F(1'4419)-0'9265}{1'4419-1'45}=\dfrac{0'9265-0'9521}{1'45-1'44}$$ por tanto $$F(1'4419)=\dfrac{(0'9265-0'9521)\cdot (1'4419-1'45)}{1'45-1'44}+0'9265 \approx 0'9472$$
$\square$
Cálculos con la distribución binomial
ENUNCIADO. Un $5\,\%$ de las piezas mecanizadas en una cierta máquina herramienta resultan ser defectuosas. Calcúlese la probabilidad de que eligiendo al azar $20$ de las piezas mecanizadas aparezcan:
a) $3$ piezas defectuosas, exactamente
b) A lo sumo $3$ piezas defectuosas
SOLUCIÓN.
La variable "número de piezas defectuosas", $X$, toma valores en el conjunto $\{0,1,2,3,\ldots,20\}$ y sigue una distribución binomial $B(n,p)$ con $n=20$ y $p=\dfrac{1}{20}$ ( con $q\equiv 1-p=\dfrac{19}{20}$ )
Entonces:
a) $$\displaystyle P\{X=3\}=\binom{20}{3}\cdot\left(\dfrac{1}{20}\right)^{3}\cdot\left(\dfrac{19}{20}\right)^{20-3}\approx 0'0596$$
b)
$$\displaystyle P\{X\le 3\}=\sum_{i=0}^{3}\binom{20}{i}\cdot\left(\dfrac{1}{20}\right)^{i}\cdot\left(\dfrac{19}{20}\right)^{20-i}=$$
$\displaystyle=\binom{20}{0}\cdot\left(\dfrac{1}{20}\right)^{0}\cdot\left(\dfrac{19}{20}\right)^{20-0}+\binom{20}{1}\cdot\left(\dfrac{1}{20}\right)^{1}\cdot\left(\dfrac{19}{20}\right)^{20-1}+$
$\displaystyle+\binom{20}{2}\cdot\left(\dfrac{1}{20}\right)^{2}\cdot\left(\dfrac{19}{20}\right)^{20-2}+\binom{20}{3}\cdot\left(\dfrac{1}{20}\right)^{3}\cdot\left(\dfrac{19}{20}\right)^{20-3}\approx 0'9841$
$\square$
a) $3$ piezas defectuosas, exactamente
b) A lo sumo $3$ piezas defectuosas
SOLUCIÓN.
La variable "número de piezas defectuosas", $X$, toma valores en el conjunto $\{0,1,2,3,\ldots,20\}$ y sigue una distribución binomial $B(n,p)$ con $n=20$ y $p=\dfrac{1}{20}$ ( con $q\equiv 1-p=\dfrac{19}{20}$ )
Entonces:
a) $$\displaystyle P\{X=3\}=\binom{20}{3}\cdot\left(\dfrac{1}{20}\right)^{3}\cdot\left(\dfrac{19}{20}\right)^{20-3}\approx 0'0596$$
b)
$$\displaystyle P\{X\le 3\}=\sum_{i=0}^{3}\binom{20}{i}\cdot\left(\dfrac{1}{20}\right)^{i}\cdot\left(\dfrac{19}{20}\right)^{20-i}=$$
$\displaystyle=\binom{20}{0}\cdot\left(\dfrac{1}{20}\right)^{0}\cdot\left(\dfrac{19}{20}\right)^{20-0}+\binom{20}{1}\cdot\left(\dfrac{1}{20}\right)^{1}\cdot\left(\dfrac{19}{20}\right)^{20-1}+$
$\displaystyle+\binom{20}{2}\cdot\left(\dfrac{1}{20}\right)^{2}\cdot\left(\dfrac{19}{20}\right)^{20-2}+\binom{20}{3}\cdot\left(\dfrac{1}{20}\right)^{3}\cdot\left(\dfrac{19}{20}\right)^{20-3}\approx 0'9841$
$\square$
Cálculos básicos con la distribución normal
ENUNCIADO. Considérese una variable aleatoria $X$ que sigue una distribución normal $N(16\,,\,2)$. Calcúlense las siguientes probabilidades:
a) $P\{X\le 18\}$
b) $P\{X\ge 14\}$
c) $P\{15\le X\le 17\}$
d) $P\{17\le X \le 18\}$
SOLUCIÓN.
a)
$P\{X\le 18\}\overset{(1)}{=}P\{Z\le 1\}=F(1)\overset{\text{tablas}\,N(0,1)}{=}0'8413$
Aclaraciones:
(1) Tipificación de la variable aleatoria $X$ $\rightarrow Z=\dfrac{X-16}{2}$, luego $18 \rightarrow \dfrac{18-16}{2}=1$
-oOo-
b)
$P\{X\ge 14\}\overset{2}{=}1-P\{X \le 14 \} \overset{(3)}{=}1-P\{Z \le -1\}=$
$=1-(1-P\{Z \le 1\})=P\{Z\le 1\} =F(1) \overset{\text{tablas}\,N(0,1)}{=}0'8413$
Aclaraciones:
(2) Al tratar con variables aletorias contínuas, recordemos que $P\{X \prec k\}=P\{X \le k\}$
(3) Tipificación de la variable aleatoria $X$ $\rightarrow Z=\dfrac{X-16}{2}$, donde $Z$ es $N(0,1)$; entonces $14 \rightarrow \dfrac{14-16}{2}=-1$
-oOo-
c)
$P\{15\le X\le 17\}\overset{(2)}{=}P\{X \le 17 \}-P\{X \le 15 \} \overset{(3)}{=}P\{Z \le 0'5\}-P\{Z \le -0'5\}\overset{(4)}{=}$
$=P\{Z \le 0'5\}-(1-P\{Z \le 0'5\}) =2\,P\{Z \le 0'5\}-1=2\,F(0'5)-1 \overset{\text{tablas}\,N(0,1)}{=}$
$=2\cdot 0'6915-1=0,3830$
Aclaraciones:
(2) Al tratar con variables aletorias contínuas, recordemos que $P\{X \prec k\}=P\{X \le k\}$
(3) Tipificación de la variable aleatoria $X$ $\rightarrow Z=\dfrac{X-16}{2}$, donde $Z$ es $N(0,1)$; entonces:
$17 \rightarrow \dfrac{17-16}{2}=0'5$
$15 \rightarrow \dfrac{15-16}{2}=-0'5$
(4) Simetría con respecto del eje $Oz$ de la función de densidad de probabilidad $f(z)$
-oOo-
d)
$P\{17\le X\le 18\}\overset{(5)}{=}P\{X \le 18 \}-P\{X \le 17 \} \overset{(6)}{=}P\{Z \le 1\}-P\{Z \le 0'5\}=$
$=F(1)-F(0'5) \overset{\text{tablas}\,N(0,1)}{=} 0'8413-0'6915$
$=0'1498$
Aclaraciones:
(5) Al tratar con variables aletorias contínuas, recordemos que $P\{X \prec k\}=P\{X \le k\}$
(6) Tipificación de la variable aleatoria $X$ $\rightarrow Z=\dfrac{X-16}{2}$, donde $Z$ es $N(0,1)$; entonces:
$18 \rightarrow \dfrac{18-16}{2}=1$
$17 \rightarrow \dfrac{17-16}{2}=0'5$
$\square$
a) $P\{X\le 18\}$
b) $P\{X\ge 14\}$
c) $P\{15\le X\le 17\}$
d) $P\{17\le X \le 18\}$
SOLUCIÓN.
a)
$P\{X\le 18\}\overset{(1)}{=}P\{Z\le 1\}=F(1)\overset{\text{tablas}\,N(0,1)}{=}0'8413$
Aclaraciones:
(1) Tipificación de la variable aleatoria $X$ $\rightarrow Z=\dfrac{X-16}{2}$, luego $18 \rightarrow \dfrac{18-16}{2}=1$
b)
$P\{X\ge 14\}\overset{2}{=}1-P\{X \le 14 \} \overset{(3)}{=}1-P\{Z \le -1\}=$
$=1-(1-P\{Z \le 1\})=P\{Z\le 1\} =F(1) \overset{\text{tablas}\,N(0,1)}{=}0'8413$
Aclaraciones:
(2) Al tratar con variables aletorias contínuas, recordemos que $P\{X \prec k\}=P\{X \le k\}$
(3) Tipificación de la variable aleatoria $X$ $\rightarrow Z=\dfrac{X-16}{2}$, donde $Z$ es $N(0,1)$; entonces $14 \rightarrow \dfrac{14-16}{2}=-1$
c)
$P\{15\le X\le 17\}\overset{(2)}{=}P\{X \le 17 \}-P\{X \le 15 \} \overset{(3)}{=}P\{Z \le 0'5\}-P\{Z \le -0'5\}\overset{(4)}{=}$
$=P\{Z \le 0'5\}-(1-P\{Z \le 0'5\}) =2\,P\{Z \le 0'5\}-1=2\,F(0'5)-1 \overset{\text{tablas}\,N(0,1)}{=}$
$=2\cdot 0'6915-1=0,3830$
Aclaraciones:
(2) Al tratar con variables aletorias contínuas, recordemos que $P\{X \prec k\}=P\{X \le k\}$
(3) Tipificación de la variable aleatoria $X$ $\rightarrow Z=\dfrac{X-16}{2}$, donde $Z$ es $N(0,1)$; entonces:
$17 \rightarrow \dfrac{17-16}{2}=0'5$
$15 \rightarrow \dfrac{15-16}{2}=-0'5$
(4) Simetría con respecto del eje $Oz$ de la función de densidad de probabilidad $f(z)$
d)
$P\{17\le X\le 18\}\overset{(5)}{=}P\{X \le 18 \}-P\{X \le 17 \} \overset{(6)}{=}P\{Z \le 1\}-P\{Z \le 0'5\}=$
$=F(1)-F(0'5) \overset{\text{tablas}\,N(0,1)}{=} 0'8413-0'6915$
$=0'1498$
Aclaraciones:
(5) Al tratar con variables aletorias contínuas, recordemos que $P\{X \prec k\}=P\{X \le k\}$
(6) Tipificación de la variable aleatoria $X$ $\rightarrow Z=\dfrac{X-16}{2}$, donde $Z$ es $N(0,1)$; entonces:
$18 \rightarrow \dfrac{18-16}{2}=1$
$17 \rightarrow \dfrac{17-16}{2}=0'5$
$\square$
Cálculos con la distribución normal
ENUNCIADO. La edad de los individuos de una población se ajusta a una distribución de probabilidad normal, de media $27$ años y desviación estándard de $1,8$ años. ¿ Qué tanto por ciento de la población tiene una edad comprendida entre $25$ y $30$ años ?. Si se eligen al azar $230$ individuos de dicha población, ¿ cuántos de ellos se espera que estén en esa franja de edad ?.
SOLUCIÓN.
$P\{25\le X \le 30\}=P\{X \le 30 \}-P\{X \le 25 \}=$
$\overset{(1)}{=}P\{Z \le 1'6667\}-P\{Z \le -1'1111\}=$
$\overset{(2)}{=}P\{Z \le 1'6667\}-(1-P\{Z \le 1'1111\}) =P\{Z \le 1'6667\}+P\{Z\le 1'1111\}-1$
$=F(1'6667)+F(1'1111)-1 =$
$\overset{\text{tablas}\,N(0,1)\,,\,(3)}{=}0'9522+0'8667-1$
$=0'8189$
Aclaraciones:
(1) Tipificación de la variable aleatoria $X$ $\rightarrow Z=\dfrac{X-27}{1'8}$, donde $Z$ es $N(0,1)$; entonces:
$17 \rightarrow \dfrac{30-27}{1'8}=1'6667$
$15 \rightarrow \dfrac{25-27}{1'8}=-1'1111$
(2) Simetría con respecto del eje $Oz$ de la función de densidad de probabilidad $f(z)$
(3) Interpolación lineal entre los valores que figuran en la tabla:
$\dfrac{F(1'6667)-0'9515}{0'9515-0'9525}=\dfrac{1'6667-1'66}{1'66-1'67} \Rightarrow F(1'6667)=$
$=\dfrac{(1'6667-1'66)\cdot (0'9515-0'9525)}{1'66-1'67}+0'9515 \approx 0'9522$
$\dfrac{F(1'1111)-0'8686}{0'8686-0'8665}=\dfrac{1'1111-1'12}{1'12-1'11} \Rightarrow F(1'1111)=$
$=\dfrac{(1'1111-1'12)\cdot (0'8686-0'8665)}{1'12-1'11}+0'8686 \approx 0'8667$
En consecuencia, de los $230$ individuos que se han elegido ( al azar ), $0'8667 \cdot 230 \approx 199$ se espera que se encuentren en la franja de edad pedida.
$\square$
SOLUCIÓN.
$P\{25\le X \le 30\}=P\{X \le 30 \}-P\{X \le 25 \}=$
$\overset{(1)}{=}P\{Z \le 1'6667\}-P\{Z \le -1'1111\}=$
$\overset{(2)}{=}P\{Z \le 1'6667\}-(1-P\{Z \le 1'1111\}) =P\{Z \le 1'6667\}+P\{Z\le 1'1111\}-1$
$=F(1'6667)+F(1'1111)-1 =$
$\overset{\text{tablas}\,N(0,1)\,,\,(3)}{=}0'9522+0'8667-1$
$=0'8189$
Aclaraciones:
(1) Tipificación de la variable aleatoria $X$ $\rightarrow Z=\dfrac{X-27}{1'8}$, donde $Z$ es $N(0,1)$; entonces:
$17 \rightarrow \dfrac{30-27}{1'8}=1'6667$
$15 \rightarrow \dfrac{25-27}{1'8}=-1'1111$
(2) Simetría con respecto del eje $Oz$ de la función de densidad de probabilidad $f(z)$
(3) Interpolación lineal entre los valores que figuran en la tabla:
------------------- z | F(z) ------------------- 1,67 | 0'9525 1,66 | 0'9515 1,67 | 0'9525 1,6667 | F(1'6667) -------------------
$\dfrac{F(1'6667)-0'9515}{0'9515-0'9525}=\dfrac{1'6667-1'66}{1'66-1'67} \Rightarrow F(1'6667)=$
$=\dfrac{(1'6667-1'66)\cdot (0'9515-0'9525)}{1'66-1'67}+0'9515 \approx 0'9522$
------------------- z | F(z) ------------------- 1,11 | 0'8665 1,12 | 0'8686 1,67 | 0'9525 1,1111 | F(1'1111) -------------------
$\dfrac{F(1'1111)-0'8686}{0'8686-0'8665}=\dfrac{1'1111-1'12}{1'12-1'11} \Rightarrow F(1'1111)=$
$=\dfrac{(1'1111-1'12)\cdot (0'8686-0'8665)}{1'12-1'11}+0'8686 \approx 0'8667$
En consecuencia, de los $230$ individuos que se han elegido ( al azar ), $0'8667 \cdot 230 \approx 199$ se espera que se encuentren en la franja de edad pedida.
$\square$
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