Ecuación de un plano en el espacio afín

Sea $P$ un punto del espacio (e.a.) $\mathcal{A}$ y sean $\vec{u}$ y $\vec{v}$ dos vectores libres no nulos linealmente independientes. Entonces el plano $\pi$ que pasa por $P$ y que contiene a dicho par de vectores se define como el conjunto de puntos $X$ tales que $\overset{\rightarrow}{PX}=\lambda\,\vec{u}+\mu\,\vec{v}$, donde $\lambda$ y $\mu$ son escalares ( números reales ). Llamamos determinación lineal de $\pi$ a $(P,\vec{u},\vec{v})$.

Sea el espacio afín $\mathcal{A}$ de dimensión $3$, $\{O;\mathcal{B}\}$ ( donde $\mathcal{B}=\{\vec{e_1},\vec{e_2},\vec{e_3}\}$ ) un sistema de referencia del e.a. y consideremos la d.l. de $\pi$, $(P,\vec{u},\vec{v})$. Entonces, como $\overset{\rightarrow}{OX}=\overset{\rightarrow}{OP}+\overset{\rightarrow}{PX}$ ( triángulo de vectores ), podemos escribir la ecuación vectorial del plano $$\pi \equiv \overset{\rightarrow}{OX}=\overset{\rightarrow}{OP}+\lambda\,\vec{u}+\mu\,\vec{v}$$ esto es $$(x,y,z)=(x_P,y_P,z_P)+\lambda\,(u_1,u_2,u_3)+\mu\,(v_1,v_2,v_3)$$ con lo cual han de cumplirse las siguientes igualdades escalares $$\pi \equiv \left\{\begin{matrix}x=x_P+\lambda\,u_1+\mu\,v_1\\y=y_P+\lambda\,u_2+\mu\,v_2\\z=z_P+\lambda\,u_3+\mu\,v_3\end{matrix}\right.$$ que es un sistema de ecuaciones escalares; dichas ecuaciones constituyen las ecuaciones paramétricas del plano $\pi$

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Despejando los términos que dependen de los parámetros $\lambda$ y $\mu$ ( considerados éstos como incógnitas) en cada una de las ecuaciones llegamos a $$\left\{\begin{matrix}\lambda\,u_1+\mu\,v_1=x-x_P\\\lambda\,u_2+\mu\,v_2=y-y_P\\\lambda\,u_3+\mu\,v_3=z-z_P\end{matrix}\right.$$ y, como $X$ pertenece a $r$, dicho sistema ha de ser compatible determinado, luego siendo el número de incógnitas $n=2$ ( $\lambda$ y $\mu$ ) tenemos que $$n=2=\text{rango}\begin{pmatrix}u_1 & v_1 \\ u_2 & v_2 \\ u_3 & v_3 \end{pmatrix}=\text{rango}\begin{pmatrix}u_1 & v_1 & x-x_p \\ u_2 & v_2 & y-y_p \\ u_3 & v_3 & z-z_p \end{pmatrix}$$ Teniendo en cuenta ahora que $\text{rango}\begin{pmatrix}u_1 & v_1 \\ u_2 & v_2 \\ u_3 & v_3 \end{pmatrix}=2$ por ser $\vec{u}$ y $\vec{v}$ linealmente independientes, deberá cumplirse que $$\begin{vmatrix}u_1 & v_1 & x-x_P \\ u_2 & v_2 & y-y_P \\ u_3 & v_3 & z-z_P \end{vmatrix}=0 \quad \quad (1)$$
esto es
$\Leftrightarrow (x-x_P)\,\begin{vmatrix}u_2 & v_2 \\ u_3 & v_3 \end{vmatrix}-(y-y_P)\,\begin{vmatrix}u_1 & v_1 \\ u_3 & v_3\end{vmatrix}+(z-z_P)\,\begin{vmatrix}u_1 & v_1 \\ u_2 & v_2 \end{vmatrix}=0 \quad \quad (1)$
Denotando por:
$A=\begin{vmatrix}u_2 & v_2 \\ u_3 & v_3 \end{vmatrix}$, $B=-\begin{vmatrix}u_1 & v_1 \\ u_3 & v_3 \end{vmatrix}$, $C=\begin{vmatrix}u_1 & v_1 \\ u_2 & v_2 \end{vmatrix}$ y $D=-A\,x_P-B\,y_P-C\,z_P$,
podemos escribir (1) -- la ecuación del plano $\pi$ -- de la forma $$\pi \equiv Ax+By+Cz+D=0$$ que denominamos ecuación implícita o general del plano.

Plano determinado por tres puntos dados:
Sean tres puntos $A(x_A,y_A,z_A)$, $B(x_B,y_B,z_B)$ y $C(x_C,y_C,z_C)$ de un plano $\pi$. Entonces, dos vectores de $\pi$ son $\vec{u}=\overset{\rightarrow}{AB}=(x_B-x_A,y_B-y_A,z_B-z_A)$ y $\vec{v}=\overset{\rightarrow}{AC}=(x_C-x_A,y_C-y_A,z_C-z_A)$, así que la ecuación del plano, según (1) vendrá dada por
$$\begin{vmatrix}x_B-x_A & x_C -x_A & x-x_A \\ y_B-y_A & y_C -y_A & y-y_A \\ z_B-z_A & z_C -z_A & z-z_A \end{vmatrix}=0 \quad \quad (2)$$ el determinante ( del primer miembro ) es igual a este otro
$$\begin{vmatrix}1&0&0&0\\ x_A & x_B-x_A & x_C -x_A & x-x_A \\ y_A & y_B-y_A & y_C -y_A & y-y_A \\ z_A & z_B-z_A & z_C -z_A & z-z_A \end{vmatrix}$$
y sumando la primera columna a cada una de las otras tres es igual a
$$\begin{vmatrix}1&1&1&1\\ x_A & x_B & x_C & x \\ y_A & y_B & y_C & y \\ z_A & z_B & z_C & z \end{vmatrix}$$ con lo cual, de (2), podemos escribir la ecuación del plano de la forma $$\pi \equiv \begin{vmatrix}1&1&1&1\\ x_A & x_B & x_C & x \\ y_A & y_B & y_C & y \\ z_A & z_B & z_C & z \end{vmatrix}=0 \quad \quad (3)$$

Por consiguiente, la condición para que cuatro puntos $A(x_A,y_A,z_A)$, $B(x_B,y_B,z_B)$, $C(x_C,y_C,z_C)$ y $D(x_D,y_D,z_D)$ sean coplanarios -- haciendo $x:=x_D$, $y:=y_D$ y $z:=z_D$ -- es la siguiente: $$\begin{vmatrix}1&1&1&1\\ x_A & x_B & x_C & x_D \\ y_A & y_B & y_C & y_D \\ z_A & z_B & z_C & z_D \end{vmatrix}=0$$

-oOo-Ejemplo:

ENUNCIADO. Determínese la ecuación general del plano $\pi$ ( $Ax+By+Cz+D=0$ ) que contiene a los puntos $A(1,1,1)$, $B(-2,0,0)$ y $C(0,1,1)$

SOLUCIÓN. El plano pedido es
$$\pi \equiv \begin{vmatrix}1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & -2 & 0 & x \\ 1 & 0 & 1 & y \\ 1 & 1 & 1 & z \end{vmatrix}=0$$ Procedamos a resolver el determinante:
$\begin{vmatrix}1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & -2 & 0 & x \\ 1 & 0 & 1 & y \\ 1 & 1 & 1 & z\end{vmatrix}\overset{c_3-c-1 \,\rightarrow\, c_3}{=}\begin{vmatrix}1 & 1 & 0 & 1 \\ 1 & -2 & -1 & x \\ 1 & 0 & 0 & y \\ 1 & 1 & 0 & z\end{vmatrix}\overset{\text{Laplace 3.ª columna}}{=}(-1)\cdot (-1)^{2+3}\,\begin{vmatrix}1 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & y \\ 1 & 1 & z\end{vmatrix}$
$=\begin{vmatrix}1 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & y \\ 1 & 1 & z\end{vmatrix}\overset{c_1-c_2 \,\rightarrow c_1}{=}\begin{vmatrix}0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & y \\ 0 & 1 & z\end{vmatrix}=1-z$
Así pues $$\pi \equiv z-1=0$$ donde $A=B=0$, $C=1$ y $D=-1$
$\square$