Sistemas de ecuaciones lineales. Teorema de Rouché-Fröbenius

El teorema de Rouché-Fröbenius [Eugène Rouché (1832-1910), Ferdinand Georg Fröbenius (1849-1917)] permite analizar un sistema de ecuaciones lineales (según el tipo de solución que éste pueda tener) a partir del estudio del rango de la matriz de los coeficientes y de la matriz ampliada.

A menudo, dicho estudio se realiza en función de los valores de uno o de varios parámetros ( que figuran como coeficientes del sistema de ecuaciones ). Dicho análisis permite investigar si existe o no solución, y, de existir ésta, de qué tipo es esa y para qué valores de los parámetros del escenario se puede dar, todo ello, antes de proceder a la resolución del sistema para cada uno de los escenarios posibles.

Consideremos un sistema de $m$ ecuaciones lineales con $n$ incógnitas
$$\left\{\begin{matrix}a_{11}x_1&+&a_{12}x_2&+&\ldots&+&a_{1n}x_n=&b_1 \\ a_{21}x_1&+&a_{22}x_2&+&\ldots&+&a_{2p}x_n=&b_2 \\ \ldots \\ a_{m1}x_1&+&a_{m2}x_2&+&\ldots&+&a_{mn}x_n=&b_m\end{matrix}\right.$$ -- donde $a_{ij}$ ( $i \neq j$, $i=1,\ldots,m$ y $j=1,\ldots,n$ ) son los coeficientes del sistema, y $x_1,\ldots,x_n$ las incógnitas -- podemos expresarlo en forma matricial
$$\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&\ldots&a_{1n} \\ a_{21}&a_{22}&\ldots&a_{2n} \\ \ldots & \ldots &\ldots& \ldots \\ a_{m1}&a_{m2}&\ldots&a_{mn} \end{pmatrix}\begin{pmatrix}x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_n \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}b_1 \\ b_2 \\ \vdots \\ x_m \end{pmatrix}$$ esto es $$A_{m \times n}X_{n \times 1 }= B_{m \times 1}$$
Denominamos $A$ a la matriz incompleta ( pues no incluye los términos independientes ) de los coeficientes del sistema y $\widetilde{A} \equiv (A|B)$ a la matriz ampliada ( con los términos independientes ) de los coeficientes del sistema, esto es $A=\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&\ldots&a_{1n} \\ a_{21}&a_{22}&\ldots&a_{2n} \\ \ldots & \ldots &\ldots& \ldots \\ a_{m1}&a_{m2}&\ldots&a_{mn} \end{pmatrix}$ y $\widetilde{A}=\left(\begin{array}{cccc|c}a_{11}&a_{12}&\ldots&a_{1n} & b_1 \\a_{21}&a_{22}&\ldots&a_{2n} & b_2 \\ \ldots & \ldots &\ldots& \ldots & \ldots \\ a_{m1}&a_{12}&\ldots&a_{mn} & b_m \\ \end{array}\right)$

El teorema de Rouché-Fröbenius dice lo siguiente:
I) Si $\text{rango}(A) \neq \text{rango}(\widetilde{A})$ el sistema es incompatible y si $r:=\text{rango}(A) =\text{rango}(\widetilde{A})$ el sistema es compatible, y el conjunto de $n$-tuplas que forman la solución del sistema constituye un subespacio vectorial de $\mathbb{R}^n$, cuya dimensión es $n-r$

II) Si, siendo el sistema compatible, $r=n$, entonces el sistema es compatible determinado ( la dimensión del subespacio vectorial que representa la solución es $0$, pues está formada por un sólo vector ); y, si $r\prec n$, entonces el sistema es compatible indeterminado ( existen infinitas $n$-tuplas como solución, y la dimensión del subespacio vectorial que forma dicha solución es mayor que $0$ y menor que $n$ )

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Ejemplo 1.
ENUNCIADO. Estudiar y resolver ( cuando proceda ) el sistema de ecuaciones, en función de los valores que tome el parámetro $k$:
$$\left\{\begin{matrix}k\,x&+&3\,y&=&4\\ 3\,x&-&y&=&2\\ 2\,x&-&y&=&k\\ \end{matrix}\right.$$

SOLUCIÓN. La matriz ampliada del sistema es $$\widetilde{A}=\left(\begin{array}{cc|c} k & 3 & 4 \\ 3 & -1 & 2 \\ 2 & -1 & k \\ \end{array}\right)$$

Vamos a estudiar su rango ( así como el rango de la matriz $A$ ) por el método de los determinantes ( el rango de una matriz es igual al orden del mayor menor no-nulo ). Observemos que el determinante de la submatriz ( o menor ) formada por los elementos de la segunda y tercera filas y primera y segunda columnas es $$\begin{vmatrix} 3 & -1 \\ 2 & -1 \\ \end{vmatrix} = -1 \neq 0 \Rightarrow \text{rg}(A)=2 \quad \text{y} \quad \text{rg}(\widetilde{A}) \ge 2$$
Orlando, ahora, dicha submatriz nos encontramos con un único determinante de orden tres
$$\begin{vmatrix} k&3 & 4 \\ 3 & -1&2 \\ 2 & -1&k \\ \end{vmatrix} =0 \Leftrightarrow k^2+7k-8=0 \Leftrightarrow k=\left\{\begin{matrix} 1 \\ \\ -8 \end{matrix}\right.$$
Nos encontramos, pues, con dos casos posibles:
I) Si $k \in \{-8\,,\,1\}$, $r:=\text{rg}(A)=\text{rg}(\widetilde{A})=2=n$ ( $n$ denota el número de incógnitas ), por lo que el sistema de compatible determinado
II) Si $k \notin \{-8\,,\,1\}$, $\text{rg}(A)=2 \neq \text{rg}(\widetilde{A})=3$, por lo que el sistema es incompatible

A continuación, procedemos a resolver el sistema para el caso ( compatible determinado ) en que $k \in \{-8\,,\,1\}$. Para ello, tenemos en cuenta que las dos últimas ecuaciones son linealmente independients ( la primera ha de ser combinación lineal de éstas ), ya que la submatriz de los coeficientes del sistema de orden dos que corresponde a estas dos ecuaciones es distinto de cero ( tal como hemos visto al principio ) y ello garantiza la independencia lineal de estas dos últimas ecuaciones ( el rango del sistema es $2$ ).

Ia) Si $k=1$, el sistema equivalente es
$$\left\{\begin{matrix}3\,x&-&y&=&2\\ 2\,x&-&y&=&1\\ \end{matrix}\right. \sim \left\{\begin{matrix}3\,x&-&y&=&2\\ x&&&=&1\\ \end{matrix}\right.$$
$$\sim \left\{\begin{matrix}3&-&y&=&2\\ x&&&=&1\\ \end{matrix}\right. \sim \left\{\begin{matrix}&&y&=&1\\ x&&&=&1\\ \end{matrix}\right.$$

Ib) Si $k=-8$, el sistema equivalente es
$$\left\{\begin{matrix}3\,x&-&y&=&2\\ 2\,x&-&y&=&-8\\ \end{matrix}\right. \sim \left\{\begin{matrix}3\,x&-&y&=&2\\ x&&&=&10\\ \end{matrix}\right.$$
$$\sim \left\{\begin{matrix}30&-&y&=&2\\ x&&&=&10\\ \end{matrix}\right. \sim \left\{\begin{matrix}&&y&=&28\\ x&&&=&10\\ \end{matrix}\right.$$

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Ejemplo 2.
EUNCIADO. Estudiar en función de los valores del parámetro $k$ y resolver ( en los casos que proceda ) el siguiente sistema de ecuaciones $$\left\{\begin{matrix} x & +& y&+&z&=&0\\ -x & +& k\,y&+&z&=&0\\ 2\,x & +& y&+&2\,k\,z&=&0\\ \end{matrix}\right.$$

SOLUCIÓN. El sistema es homogéneo. La matriz ampliada es $$\widetilde{A}=\left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 1 & 0 \\ -1 & k & 1 & 0 \\ 2 & 1 & 2\,k & 0 \\ \end{array}\right)$$
luego ( al ser homogéneo ), para cualquier valor de $k$, tendremos que $r:=\text{rg}(A|B)=\text{rg}(A)$ y, por tanto, el sistema es compatible.

Vamos a analizar ahora los posibles valores de $r$, pues si $r=n=3$ el sistema será compatible determinado y su solución será la trivial $(0,0,0)$; por otro lado, si $r \prec n=3$, el sistema será compatible indeterminado.

Reduciendo la matriz $\widetilde{A}$ por Gauss ( obteniendo así matrices equivalentes en rango ) obtenemos
$$\left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 1 & 0 \\ -1 & k & 1 & 0 \\ 2 & 1 & 2\,k & 0 \\ \end{array}\right) \overset{e_1+e_2 \rightarrow e_2\,;\, -2\,e_1+e_3 \rightarrow e_3}{\sim}$$
$$\sim \left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1+k & 2 & 0 \\ 0 & -1 & 2\,(k-1) & 0 \\ \end{array}\right) \overset{(1+a)\,e_e+e_2 \rightarrow e_3}{\sim}$$
$$\sim \left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1+k & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 2\,k & 0 \\ \end{array}\right)$$
Así, podemos distinguir dos casos:
I) Si $k=0$, sólo hay dos ecuaciones linealmente independientes ( dos filas no identicamente nulas en la matriz reducida por Gauss), luego $r=2 \prec n=3$, luego el sistema es compatible indeterminado con $n-r=3-2=1$ variable secundaria.
II) Si $k \neq 0$, las tres ecuaciones son linealmente independientes ( tres filas no identicamente nulas en la matriz reducida por Gauss), luego $r=3=n$, luego el sistema es compatible determinado, y su única solución es la trivial ( como ya hemos avanzado ): $(0,0,0)$

Vamos ahora a resolver el sistema en las condiciones de (I). El sistema equivalente es: $$\left\{\begin{matrix} x & +& y&+&z&=&0\\ & & y&+&2\,z&=&0\\ \end{matrix}\right.$$

Eligiendo $z$ como variable secundaria, hacemos $\lambda:=-z$ y, por tanto, reescribimos el sistema así
$$\left\{\begin{matrix} x & +& y&=&\lambda\\\ & & y&=&2\,\lambda\\ \end{matrix}\right.$$

Sustituyendo $y=2\,\lambda$ en la primera ecuación: $x=-\lambda$. Por consiguiente, la solución del sistema ( para el caso I ) viene dado por infinitas ternas ( puntos ) $$\{(-\lambda\,,\, 2\,\lambda\,,\,-\lambda): \lambda \in \mathbb{R} \}$$
Y, al tener un sólo grado de libertad ( el parámetro $\lambda$ ) podemos interpretar esta solución como los infinitos puntos de una recta en el espacio de dimensión $3$.

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En muchas ocasiones, por simplicidad, no merece la pena trabajar con matrices para analizar el sistema ( empleando el teorema de Rouché-Fröbenius ), tal como se muestra en el siguiente ejemplo.

Ejemplo 2.
ENUNCIADO. Sea el sistema de ecuaciones lineales
$$\left\{\begin{matrix} x &+ &y &+& z& = & 1 \\ x &- &y &-& z& = & 0 \\ x &+ &y &+& m\,z& = & -1 \\ \end{matrix}\right.$$
Se pide:
a) Analizar el sistema en función de los valores que tome el parámetro $m \in \mathbb{R}$
b) Resolver el sistema para $m:=-1$

SOLUCIÓN.
a)
Reduciendo el sistema por Gauss ( $f_1-f_2 \rightarrow f_2$; $f_1-f_3 \rightarrow f_3$ ) obtenemos el siguiente sistema equivalente al original $$\left\{\begin{matrix} x &+ &y &+& z& = & 1 \\ & &2y &+& 2z& = & 1 \\ & & &+& (1-m)\,z& = & -1 \\ \end{matrix}\right.$$
de donde deducimos que en el caso de que $1-m$ sea cero ( y por tanto, $m$ sea igual a $1$ ), el sistema es incompatible ya que se llega así a una contradicción ( $0 = -1$ ); por lo tanto, el sistema es incompatible para $m=1$. Para cualquier otro valor de $m$ las tres ecuaciones son linelamente independientes: el rango del sistema es $3$, valor que es igual al número de incógnitas; así, pues, por el Teorema de Rouché-Fröbenius, el sistema es compatible determinado para todo valor de $m$ distinto de $1$.

b)
Teniendo en cuenta, ahora, el valor de $m$ ha de ser ( condición del enunciado ) igual a $-1$, el sistema de ecuaciones a resolver ( ya reducido ) es $$\left\{\begin{matrix} x &+ &y &+& z& = & 1 \\ & &2y &+& 2z& = & 1 \\ & & &+& 2z& = & -1 \\ \end{matrix}\right.$$
que, como ya se ha demostrado, tiene solución única ( por ser $m \neq 1$ ). Entonces, despejando $z$ de la última ecuación, obtenemos $z=-\dfrac{1}{2}$; sustituyendo este valor en la segunda ecuación y despejando $y$, llegamos a $y=1$; y, finalmente, sustituyendo los valores de $x$ e $y$, que hemos encontrado en los dos pasos anteriores, en la primera ecuación, y despejando $x$, vemos que $x=\dfrac{1}{2}$.
$\square$