Rango de un sistema de ecuaciones lineales

Consideremos un sistema de $m$ ecuaciones lineales con $n$ incógnitas $$\left\{\begin{matrix}a_{11}x_1&+&a_{12}x_2&+&\ldots&+&a_{1n}x_n=&b_1 \\ a_{21}x_1&+&a_{22}x_2&+&\ldots&+&a_{2p}x_n=&b_2 \\ \ldots \\ a_{m1}x_1&+&a_{m2}x_2&+&\ldots&+&a_{mn}x_n=&b_m\end{matrix}\right.$$ donde $a_{ij}$ ( $i \neq j$, $i=1,\ldots,m$ y $j=1,\ldots,n$ ) son los coeficientes del sistema, y $x_1,\ldots,x_n$ las incógnitas.

El rango de un sistema de ecuaciones lineales se define como el número de las mismas que son independientes. Obtenemos un sistema equivalente al dado si realizamos combinaciones lineales entre las mismas, de la forma $e_i \leftarrow \lambda \,e_i+\delta \, e_j$ ( $i \neq j$, $i=1,\ldots,m$ y $j=1,\ldots,m$ ). Mediante las apropiadas combinaciones podemos obtener un sistema reducido de tal forma que los nuevos coeficientes sean tales que formen un triángulo de ceros, partiendo del coeficiente $a_{m1}$ y ganando ceros hacia las arriba y hacia la derecha; denominaremos a este sistema, sistema reducido por Gauss.

Una vez reducido (por Gauss) el sistema original, es fácil detectar si alguna de las ecuaciones reducidas presenta alguna contradicción aritmética, del tipo $0 = 1$; si es así, el sistema es incompatible; en cualquier otro caso, el sistema es compatible.

En el caso de que el sistema sea compatible, las ecuaciones que resultan de combinaciones lineales entre otras ecuaciones dan lugar a ecuaciones idénticamente nulas ( $0=0$ ), por lo que el número de ecuaciones no identicamente nulas restantes, $r$ ( $r \le m$), nos da el número de ecuaciones independientes del sistema original. Por consiguiente, si $r=n$ ( recordemos que $n$ es el número de incógnitas ), el sistema es compatible determinado ( la solución consta de un único valor para cada incógnita ) y si $r \prec m$, entonces el sistema es compatible indeterminado con $r$ variables principales y $n-r$ variables secundarias a las cuales podemos atribuir valores arbitrarios, estando formada la solución por infinitas $n$-tuplas de números reales, que constituyen un subespacio afín de $\mathbb{R}^n$.

Ejemplo 1.
ENUNCIADO. Clasificar el siguiente sistema de ecuaciones lineales y resolverlo ( si tiene solución ). Hacer una interpretación geométrica de la situación de incidencia de planos que plantea este sistema de ecuaciones.
$$\left\{\begin{matrix}
x&+&y&+&z&=&1\\
x&-&y&+&z&=&-1\\
x&+&y&+&z&=&0\\
\end{matrix}\right.$$
SOLUCIÓN. Observemos que de la primera ecuación y de la tercera ecuación se deduce que $0=1$, lo cual es absurdo, luego debemos concluir que el sistema es incompatible ( no tiene solución ), y hemos terminado.

Nota: Como cada una de las ecuaciones representa un plano en el espacio tridimensional, interpretamos esta situación ( de incidencia de tres planos), dos de los cuales son paralelos no-coincidentes en el espacio tridimensional.

Ejemplo 2.
ENUNCIADO. Clasificar según la solución y resolver, si procede, el siguiente sistema de ecuaciones lineales, interpretando la ( posible ) solución desde el punto de vista geométrico:
$$\left.\begin{matrix}
3\,x &-&3\,y&+&z=&11 \\
2x &-&3\,y&+&2\,z=&9 \\
x &-&2\,y&+&4\,z=&3 \\
\end{matrix}\right\}$$

SOLUCIÓN. Mediante combinaciones lineales entre filas procederemos a obtener un sistema equivalente que tenga un escalonamiento de $0$s en los coeficientes de las ecuaciones ( del sistema reducido por Gauss ), que nos permitirá saber cuántas ecuaciones de las dadas son linealmente independientes ( \textit{rango} del sistema ), viendo con ello si el sistema es incompatible ( no tiene solución ) o bien compatible ( tiene solución ), y en cuyo caso, si a cada variable le corresponde un sólo valor como solución ( compatible determinado ) o bien le corresponden infinitos valores, aunque con una cierta estructura que los liga ( sistema compatible indeterminado ). Finalmente, si procede encontraremos la solución.
Empecemos. A partir del sistema original
$$\left.\begin{matrix}
3\,x &-&3\,y&+&z=&11 \\
2x &-&3\,y&+&2\,z=&9 \\
x &-&2\,y&+&4\,z=&3 \\
\end{matrix}\right\}$$
y mediante las siguientes operaciones elementales entre ecuaciones
$$\left.\begin{matrix}
-2\,e_1+3\,e_2 \rightarrow e_2\\
-2\,e_3+3\,e_2 \rightarrow e_3\\
\end{matrix}\right.$$
obtenemos el siguiente sistema equivalente
$$\left.\begin{matrix}
3\,x &-&3\,y&+&z=&11 \\
&&-3\,y&+&4\,z=&5 \\
&&y&-&6\,z=&3 \\
\end{matrix}\right\} $$
que acabamos de escalonar haciendo
$$\left.\begin{matrix}
2\,e_3+e_2 \rightarrow e_3\\
\end{matrix}\right.$$
obteniendo
$$\left.\begin{matrix}
3\,x &-&3\,y&+&z=&11 \\
&&-3\,y&+&4\,z=&5 \\
&&&-&14\,z=&14 \\
\end{matrix}\right\} $$
sistema escalonado por Gauss que tiene $3$ ecuaciones linealmente independientes, luego el rango del sistema de ecuaciones es $3$; y, como el rango coincide con el número de incógnitas, el sistema es compatible determinado, por lo que la solución es única. Veamos cuál es. De la última ecuación, despejamos $z$ sin dificultad, obteniendo $z=-1$; sustituyendo dicho valor en la segunda ecuación del sistema reducido llegamos a $y=-3$. Y, finalmente, sustituyendo $z=-1$ e $y=-3$ en la primera ecuación y despejando la incógnita $x$ resulta $x=1$.
Y se comprueba fácilmente que la solución ( que representa un punto del espacio tridimensional ) satisface las tres igualdades originales.

Ejemplo 3.
ENUNCIADO. Clasificar el siguiente sistema de ecuaciones lineales y resolverlo ( si tiene solución ). Finalmente, interpretar la situación de incidencia de planos que expresa el sistema.
$$\left\{\begin{matrix}
2\,x&+&y&-&z&=&1\\
x&-&y&+&z&=&0\\
x&+&2\,y&-&2\,z&=&1\\
\end{matrix}\right.$$
SOLUCIÓN. Reduciendo el sistema por Gauss podremos saber cuál es el número de ecuaciones linealmente independientes ( es decir, el rango del sistema ). Para ello, realizamos las operaciones elementales ( combinaciones lineales ) entre ecuaciones que sean necesarias para escalonar el sistema.

Primer etapa:
Las siguientes combinaciones lineales
$e_3-e_2 \rightarrow e_3$
$-2\,e_2 + e_1 \rightarrow e_2$
nos llevan a
$$\left\{\begin{matrix}
2\,x&+&y&-&z&=&1\\
{\bf 0}\cdot x&+&3\,y&-&3\,z&=&1\\
{\bf 0}\cdot x&+&3\,y&-&3\,z&=&1\\
\end{matrix}\right.$$

Segunda etapa:
Con la combinación lineal
$e_3-e_2 \rightarrow e_3$
obtenemos el escalonamiento de ceros deseado

$$\left\{\begin{matrix}
2\,x&+&y&-&z&=&1\\
{\bf 0}\cdot x&+&3\,y&-&3\,z&=&1\\
{\bf 0}\cdot x&+&{\bf 0}\cdot y&+&0 \cdot z&=&0\\
\end{matrix}\right.$$


Contabilizando el número de ecuaciones ( de este sistema equivalente ) que son identicamente no-nulas, vemos que sólo son dos ( la primera y la segunda ), esto es, el rango del sistema, $r$, es $2$. Como estas dos ecuaciones son compatibles entre sí, el sistema es compatible ( tiene solución ); y, teniendo en cuenta que el número de incógnitas, $n$, que es $3$, es menor que el rango, concluimos que el sistema es compatible indeterminado ( ha de tener infinitas soluciones ). Veamos a continuación cómo están ligadas estas infinitas soluciones; para ello, debemos entender que de las $3$ incógnitas ( variables ), $n-r$ deben tomar el papel de variables secundarias, por lo que hay $3-2=1$ variable secundaria, cuyos valores en la solución los podremos elegir libremente; y, $r=2$ variables principales. Elijamos ahora una de las tres variables como secundaria ( da lo mismo cuál de ellas escogemos ): pongamos que $z$; y, para remarcar su carácter ( de variable secundaria ), la denotaremos por $\lambda$ ( es decir, designamos $z:=\lambda$ ). Hecho esto, escribamos el sistema de ecuaciones equivalente ( y reducido por Gauss ):

$$\left\{\begin{matrix}
2\,x&+&y&-&\lambda&=&1\\
&&3\,y&-&3\,\lambda&=&1\\
\end{matrix}\right.$$

donde hemos ya prescindido de la última ecuación, que es trivial ( no aporta información alguna ). Trasladando al segundo miembro los términos que dependen de $\lambda$, llegamos a

$$\left\{\begin{matrix}
2\,x&+&y&=&1+\lambda\\
&&3\,y&=&1+3\,\lambda\\
\end{matrix}\right.$$

Despejando ahora $y$ de la segunda ecuación obtenemos $$y=\dfrac{1}{3}+\lambda$$ y sustituyendo este resultado en la primera ecuación encontramos la forma que debe tener $x$ ( en función de $\lambda$ ) $$2\,x+\dfrac{1}{3}+\lambda=1+\lambda$$ es decir $$2\,x=1-\dfrac{1}{3}+\lambda-\lambda$$ simplificando y despejando $x$ del primer miembro $$x=\dfrac{1}{3}$$ con lo cual concluimos que la solución del sistema de ecuaciones son las infinitas ternas ( por ternas de números podemos entender puntos de una recta en el espacio tridimensional ) $$\{(\dfrac{1}{3},\dfrac{1}{3}+\lambda,\lambda): \lambda \in \mathbb{R}\}$$

Nota: Interpretamos $\lambda$ como un parámetro en la estructura general de la solución y, desde el punto de vista geométrico, representa el único grado de libertad que tiene toda recta.

Ejemplo 4.
ENUNCIADO. Resolver el sistema de ecuaciones dado por una única ecuación $$x-y+z=1$$ Decir qué significa desde el punto de vista geométrico.
SOLUCIÓN. Como hay tres variables y el sistema consta de una sola ecuación, el sistema es compatible indeterminado, con $3-1=2$ variables secundarias. Elijamos tres de las variable como variables secundarias, pongamos que $y$ y $z$, denotándolas de la forma $\alpha:=y$ y $\beta:=z$, con lo cual podemos escribir $$x=1+\alpha-\beta$$ Como podemos dar valores arbitrarios ( infinitos valores ) a $\alpha$ y a $\beta$, describimos, pues, la solución como el conjunto de infinitas ternas de números reales dado por $$\{(1+\alpha-\beta,\alpha,\beta): \alpha,\beta \in \mathbb{R}\}$$ que interpretamos como puntos de un plano en el espacio tridimensional.

Nota: $\alpha$ y $\beta$ hacen el papel de parámetros en la estructura general de la solución. El que encontremos dos parámetros se corresponde con la noción ( geométrica ) de que un plano se entienda como un conjunto de puntos con dos grados de libertad, pues al imaginar que recorremos todos estos puntos podemos pensar que lo podemos hacer eligiendo dos direcciones básicas.

OBSERVACIÓN. Si el número de ecuaciones, $m$, fuese mayor que el número de incógnitas $n$, decimos que el sistema está sobredeterminado. Entonces o bien el sistema sería incompatible ( por contener al menos dos ecuaciones contradictorias ) o bien habría por lo menos $m-n$ ecuaciones que serían necesariamente una combinación de algunas de las $r$ ecuaciones
linealmente independientes restantes, siendo $r$ ( rango del sistema ) el número de ecuaciones independientes.

Ejemplo 5.
ENUNCIADO. Estúdiese y resuélvase ( si procede hacerlo ) el siguiente sistema de ecuaciones lineales
$$\left\{\begin{matrix}
x&+&y&=&1\\
x&-&y&=&2\\
-x&+&y&=&-2\\
\end{matrix}\right.$$
Reduciendo el sistema por Gauss ( restando la segunda ecuación de la primera, y sumando la segunda y la tercera ) obtenemos
$$\left\{\begin{matrix}
x&+&y&=&1\\
&&2y&=&-1\\
&&0&=&0\\
\end{matrix}\right.$$
esto es el rango del sistema de ecuaciones es $2$, $r=2$, ( hay $2$ ecuaciones linealmente independientes, la tercera original es combinación de las dos primeras ); y, como éste es igual al número de incógnitas, el sistema es compatible determinado.
$$\left\{\begin{matrix}
x&+&y&=&1\\
&&2y&=&-1\\
\end{matrix}\right.$$
De la última ecuación, obtenemos $y=-1/2$ y sustituyendo en la primera, $x=3/2$
$\square$