Independencia lineal

ENUNCIADO. Probar que los vectores $\vec{u}=(3,1,0)$, $\vec{v}=(4,-1,2)$ y $\vec{w}=(1,0,1)$ son linealmente independientes.

SOLUCIÓN. Lo son si y sólo si la combinación lineal para formar el vector nulo $\vec{0}=(0,0,0)$ tiene coeficientes nulos. Veámoslo: $$\alpha\,(3,1,0)+\beta\,(4,-1,2)+\gamma\,(1,0,1)=(0,0,0) \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}3\,\alpha & + & 4\,\beta & + & \gamma & = & 0 \\ \alpha & - & \beta & & & = & 0 \\ & & 2\,\beta & + & \gamma & = & 0 \end{matrix} \right. \sim $$
$\overset{-3\,e_2+e_1 \rightarrow e_2}{\sim} \left\{\begin{matrix}3\,\alpha & + & 4\,\beta & + & \gamma & = & 0 \\ & & 7\,\beta & + &\gamma & = & 0 \\ & & 2\,\beta & + & \gamma & = & 0 \end{matrix} \right.$

$\overset{-7\,e_3+2\,e_12 \rightarrow e_3}{\sim} \left\{\begin{matrix}3\,\alpha & + & 4\,\beta & + & \gamma & = & 0 \\ & & 7\,\beta & + &\gamma & = & 0 \\ & & & & -5\,\gamma & = & 0 \end{matrix} \right.$ ( sistema reducido por Gauss )

De la última ecuación, $\gamma=0$; sustituyendo en la segunda, $7\,\beta+0=0$ y por tanto $\beta=0$ y sustituyendo estos dos valores en la primera ecuación encontramos $3\,\alpha+0+0=0$ con lo cual $\alpha=0$. Por consiguiente, los tres vectores pedidos son linealmente independientes.

Nota: Decimos, por ello, que el rango del sistema de vectores $\{ \vec{u}, \vec{v}, \vec{w}\}$ es $3$

Observación: Al formar la matriz de los coeficiente con la que nos hemos encontrado ( que se forma con las coordenadas de los vectores, disponiéndolos por filas o bien por columnas ), vemos que los rangos de dicha matriz $$\begin{pmatrix} 3 & 1 & 0 \\ 4 & -1 & 2 \\ 1 & 0 & 1 \end{pmatrix}$$ ( y la de su traspuesta ) han de ser igual a $3$ para que los vectores del conjunto dado sean linealmente independientes $$\text{rg}\,\begin{pmatrix} 3 & 1 & 0 \\ 4 & -1 & 2 \\ 1 & 0 & 1 \end{pmatrix}=\text{rg}\,\begin{pmatrix} 3 & 4 & 1 \\ 1 & -1 & 0 \\ 0 & 2 & 1 \end{pmatrix}=3$$ . Por consiguiente, los determinantes de dichas matrices tienen que ser no nulos: $$\begin{vmatrix} 3 & 1 & 0 \\ 4 & -1 & 2 \\ 1 & 0 & 1 \end{vmatrix} \neq 0$$
$$\begin{vmatrix} 3 & 4 & 1 \\ 1 & -1 & 0 \\ 0 & 2 & 1 \end{vmatrix} \neq 0$$

$\square$