Análisis y resolución ( en los casos que sea procedente ) de un sistema de ecuaciones lineales en función de los valores de un parámetro

ENUNCIADO. Considérese el sistema de ecuaciones lineales $$\begin{pmatrix}a&1&1 \\ 1 & a&1 \\ 1 & 1 &a\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x \\ y \\ z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0 \\ 0 \\ 1\end{pmatrix}$$ siendo $a$ un parámetro. Se pide:
a) Analizar el sistema de ecuaciones en cuanto a sus soluciones, en función de los valores del parámetro $a \in \mathbb{R}$
b) Resolver el sistema en los casos que exista solución

SOLUCIÓN.
a) Vamos a realizar el análisis de rangos, reduciendo la matriz $\tilde A$ de los coeficientes del sistema (incluyendo el vector columna de los términos independientes) por Gauss. Las siguientes son matrices equivalentes en rango:

$\left(\begin{array}{ccc|c} a&1&1&0 \\ 1 & a&1 &0\\ 1 & 1 &a&1\end{array}\right) \overset{f_3-f_2 \rightarrow f_2\,,\ -a\, f_3+f_1 \rightarrow f_3}{\sim} \left(\begin{array}{ccc|c} a&1&1&0 \\ 0 & 1-a&a-1 &1\\ 0 & 1-a &1-a^2&-a\end{array}\right) \overset{f_3-f_2 \rightarrow f_3}{\sim} $

$\sim \left(\begin{array}{ccc|c} a&1&1&0 \\ 0 & 1-a&a-1 &1\\ 0 & 0 &(1-a)(a+2)&-(a+1)\end{array}\right)$

Nota: Se han omitido los cálculos algebraicos detallados que aparecen al manejar las expresiones dependientes de $a$, pidiendo al lector/a que los reproduzca

Observemos que, por el teorema de Rouché-Fröbenius:
I) Si $a:=1$, $1=\text{rango}(A) \neq \text{rango}(\tilde{A})=3$ luego el sistema es incompatible para este valor de $a$; y, si $a:=-2$, entonces $2=\text{rango}(A) \neq \text{rango}(\tilde{A})=3$ luego el sistema es también incompatible para este otro valor de $a$. En resumen:
  Si $a \in \{-2\,,\,1\}$, entonces el sistema es incompatible.

II)   Si $a \notin \{-2\,,\,1\}$, entonces $\text{rango}(A) = \text{rango}(\tilde{A})=3 = n$ ( donde $n$ es el número de incógnitas ), por lo que el sistema es compatible determinado.

b)
Resolvamos el sistema en las condiciones de (II). Un sistema equivalente en solución al original y reducido por Gauss es:
$$\left\{\begin{matrix}a\,x & + & y &+& z&=&0 \\ & &(1-a)\, y &-& (1-a)\,z&=&1 \\ & &&& (1-a)(a+2)\,z&=&-(a+1) \end{matrix}\right.$$ De la tercera ecuación obtenemos $$z=\dfrac{a+1}{(a-1)(a+2)}$$ sustituyendo en la segunda ecuación y despejando $y$ llegamos a ( omitimos los pasos intermedios, pidiendo al lector/a que los reproduzca ) $$y=\dfrac{1}{(1-a)(a+2)}$$ y sustituyendo los valores encontrados para $x$ e $y$ en la primera ecuación, obtendremos el valor para la primera incógnita ( omitimos los pasos intermedios, pidiendo al lector/a que los reproduzca ) $$x=\dfrac{1}{(1-a)(a+2)}$$

$\square$