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viernes, 27 de octubre de 2017

Espacio afín tridimensional

Un espacio afín es una terna \mathcal{A}=(\mathcal{P},V,\Phi), donde \mathcal{P} es el conjunto de puntos del espacio ordinario, V es un espacio vectorial y \Phi una aplicación de \mathcal{P} \times \mathcal{P} en V \Phi:\mathcal{P} \times \mathcal{P} \rightarrow V\,;\, (A,B) \mapsto \overset{\rightarrow}{AB} tal que:
i) \Phi(A,B)+\Phi(B,C)+\Phi(C,A)=\vec{0}
ii) Fijado un punto O \in \mathcal{A}, entonces \Phi_o:\mathcal{A}\rightarrow V\,;\,A \mapsto \Phi_{o}(A)=\overset{\rightarrow}{OA} es una biyección

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Si se toma un punto fijo O de \mathcal{A}, y \mathcal{B}=\{\vec{e_1},\vec{e_2},\vec{e_3}\} es una base de V, entonces \{O\,;\,\mathcal{B}\} constituye un sistema de referencia afín, por medio del cual todo punto P \in E queda unívocamente determinado por una terna ordenada (x,y,z), que corresponde a las coordenadas del vector \overset{\rightarrow}{OP} con respecto de la base \mathcal{B}, y nos referimos a ellas como coordenadas cartesianas del punto P, anotándolas de la forma P(x,y,z) ( o, también, de la forma P=(x,y,z)); pudiendo por tanto escribir \overset{\rightarrow}{OP}=x\,\vec{e_1}+y\,\vec{e_2}+z\,\vec{e_3}. De manera parecida, si (u_1,u_2,u_3) son las coordenadas de un vector \vec{u} con respecto a la base \mathcal{B}, escribiremos \vec{u}=(u_1,u_2,u_3)

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