Trasposición de un producto de matrices

ENUNCIADO. Demuéstrese que $(AB)^{\top}=B^{\top}A^{\top}$, siendo $A$ una matriz $m \times n$ y $B$ es una matriz $n \times p$

SOLUCIÓN. Notemos que siendo $A_{m \times n}B_{n \times p} \rightarrow \square_{m \times p}$, luego $(A_{m \times n}B_{n \times p})^{\top} \rightarrow \square_{p \times m}$; y, por otra parte, $(B^{\top})_{p \times n}(A^{\top})_{n \times m} \rightarrow \square_{p \times m}$, luego lo propuesto es coherente atendiendo a las dimensiones de la matriz que resulta de la operación de cada miembro. Procedemos a demostrar dicha proposición:

$(AB)_{ij}^{\top}=(AB)_{ji}=\displaystyle \sum_{k=1}^{n}\,(A)_{jk}(B)_{ki}=\sum_{k=1}^{n}\,(B)_{ki}(A)_{jk}=\sum_{k=1}^{n}\,(B)_{ik}^{\top}(A)_{ki}^{\top} \Rightarrow$ $$ \Rightarrow (AB)^{\top}=B^{\top}A^{\top}$$
$\square$