Matriz asociada a una aplicación lineal

Sean los espacios vectoriales $V\equiv \mathbb{R}^m$ y $V'\equiv \mathbb{R}^n$ y sea la aplicación lineal $f:V \rightarrow V'\,; \vec{x} \mapsto \vec{y}$ (esto es $\vec{y}=f(\vec{x})$ ), donde las coordenadas de $\vec{x}$ en una base de $V$, $\mathcal{B}=\{\vec{u}_1,\ldots,\vec{u}_m\}$, son $(x_1,\ldots,x_m)$ y las coordenadas de $\vec{y}$ en una base de $V'$, $\mathcal{B'}=\{\vec{u'}_1,\ldots,\vec{u'}_n\}$, son $(y_1,\ldots,y_n)$

Entonces podemos escribir también que $$f(\vec{x})=f(x_1\,\vec{u}_1+\ldots+x_1\,\vec{u}_m)\overset{\text{ap. lin.}}{=}x_1\,f(\vec{u}_1)+\ldots+x_m\,f(\vec{u}_m) \quad \quad (1)$$ Ahora bien, como cada $i=1\,\ldots,m$, $f(u_i) \in V'$ podemos escribir $$\begin{matrix}f(\vec{u}_1)=a_{11}\,\vec{u'}_1+\ldots+a_{1n}\,\vec{u'}_n \\ f(\vec{u}_2)=a_{21}\,\vec{u'}_1+\ldots+a_{2n}\,\vec{u'}_n\\ \ldots \\ f(\vec{u}_m)=a_{m1}\,\vec{u'}_1+\ldots+a_{mn}\,\vec{u'}_n\end{matrix}$$
con lo cual
$$f(\vec{x})=(y_1,\ldots\,y_n)=x_1\,(a_{11}\,\vec{u'}_1+\ldots+a_{1n}\,\vec{u'}_n)+\ldots+x_m\,(a_{m1}\,\vec{u'}_1+\ldots+a_{mn}\,\vec{u'}_n)$$ que podemos escribir de la forma
$$(y_1,\ldots\,y_n)=(x_1\,a_{11}+\ldots+x_m\,a_{m1})\,\vec{u'}_1+\ldots+(x_1\,a_{1n}+\ldots+x_m\,a_{mn})\,\vec{u'}_n \Leftrightarrow$$ $$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}y_1=x_1\,a_{11}+\ldots+x_m\,a_{m1} \\ y_2=x_1\,a_{12}+\ldots+x_m\,a_{m2} \\ \ldots \\ y_n=x_1\,a_{1n}+\ldots+x_m\,a_{mn} \end{matrix}\right.$$ lo cual podemos expresar en forma de producto de matrices $$\begin{pmatrix}x_1 & x_2 &\ldots & x_m \end{pmatrix}\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \ldots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \ldots & a_{2n} \\ \ldots & \ldots & \ldots &\ldots \\ a_{m1} & a_{m2} & \ldots & a_{mn} \\ \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}y_1 & y_2 & \ldots & y_n \end{pmatrix}$$ Trasponiendo en cada miembro, también podemos escribir $$\begin{pmatrix} a_{11} & a_{21} & \ldots & a_{m1} \\ a_{12} & a_{22} & \ldots & a_{m2} \\ \ldots & \ldots & \ldots &\ldots \\ a_{1n} & a_{2n} & \ldots & a_{mn} \\ \end{pmatrix}_{n\times m}\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\\ldots\\x_m\end{pmatrix}_{m \times 1}=\begin{pmatrix}y_1\\y_2\\\ldots\\y_n\end{pmatrix}_{n \times 1}$$ y llamamos matriz asociada a la aplicación lineal $f$ del espacio vectorial $V$ ( de dimensión $m$ ) en el espacio vectorial $V'$ ( de dimensión $n$ ), con respecto de las bases $\mathcal{B}$ de $V$ y $\mathcal{B'}$ de $V'$ a la matriz $$A_{n \times m}=\begin{pmatrix} a_{11} & a_{21} & \ldots & a_{m1} \\ a_{12} & a_{22} & \ldots & a_{m2} \\ \ldots & \ldots & \ldots &\ldots \\ a_{1n} & a_{2n} & \ldots & a_{mn} \\ \end{pmatrix}$$ Subrayemos que los vectores columna de esta matriz asociada a la aplicación lineal corresponden a ordenar en columnas las coordenadas de los vectores
$$f(\vec{u_1})=(a_{11},a_{12},\ldots,a_{1n})^{\top}$$
$$f(\vec{u_2})=(a_{21},a_{22},\ldots,a_{2n})^{\top}$$
$$\vdots$$
$$f(\vec{u_m})=(a_{m1},a_{m2},\ldots,a_{mn})^{\top}$$
-oOo-Ejemplos: [1|]

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