Aplicaciones lineales

Definición ( Aplicación lineal ).Sean $V$ y $V'$ dos espacios vectoriales reales. Una aplicación lineal ( o homomorfismo ) de $V$ en $V'$, $f:V\rightarrow V'$ cumple las siguientes condiciones:
i) $f(\vec{u}+\vec{v})=f(\vec{u})+f(\vec{v})$ para cualesquiera $\vec{u}, \vec{v}$ de $V$
ii) $f( \lambda\,\vec{u})=\lambda\,f(\vec{u})$, para todo $\lambda \in \mathbb{R}$ y para todo $\vec{u} \in V$

-oOo-Proposición. La condición necesaria y suficiente para que una aplicación $f:V \rightarrow V'$ sea una aplicación lineal es que para cualesquiera $\lambda$, $\mu$ (escalares) y para cualesquiera $\vec{u}, \vec{v}$ (vectores de $V$) se cumpla que $f(\lambda\,\vec{u}+\mu\,\vec{v})=\lambda\,f(\vec{u}+\mu\,f(\vec{v})$

Nota: se omite la demostración

-oOo-Proposición. Sea $f:V \rightarrow V'$ una aplicación lineal, entonces se cumple:
1) $f(\vec{0})=\vec{0}$
2) $f(-\vec{u})=-f(\vec{u})$
3) $\displaystyle f(\sum_{i=1}^{n}\, f(\lambda_i\,\vec{u_1})=\sum_{i=1}^n \,\lambda_i\,f(\vec{u}_i)$

Nota: se omite la demostración

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