Matriz inversa

ENUNCIADO. Considérese la matriz $A=\begin{pmatrix}a^2&a&1 \\ 2a & a+1 &2 \\ 1 & 1 &1\end{pmatrix}$, donde $a$ es un parámetro. Se pide:
a) ¿ Para qué valores de $a$ la matriz $A$ es invertible ?
b) Para $a=0$, hallar la inversa de $A$

SOLUCIÓN.
a)
La condición para que $A$ no sea invertible es que su determinante sea nulo $$\begin{vmatrix}a^2&a&1 \\ 2a & a+1 &2 \\ 1 & 1 &1\end{vmatrix}=0\Leftrightarrow a^3-3\,a^2-3a-1=0 \Leftrightarrow (a-1)^3=0 \Leftrightarrow a=1$$ luego la matriz es invertible si $a\neq 1$

-oOo-Nota: Esto se ve a simple vista pues si $a=1$ la matriz es $\begin{pmatrix}1&1&1 \\ 2 & 2 &2 \\ 1 & 1 &1\end{pmatrix}$ y como su rango es $1$ ( sólo hay un vector fila independiente ) entonces $\text{det}(A)=\begin{vmatrix}1&1&1 \\ 2 & 2 &2 \\ 1 & 1 &1\end{vmatrix}=0$, luego para $k=1$ $A$ no es invertible. De todas formas, en otros casos podría haber más de un valor que anulase el determinante y no ser tan fácil encontrarlos todos a simple vista, por lo que se aconseja que se imponga la condición para que la matriz no sea invertible para, resolviendo la ecuación resultante, encontrar todos los valores, tal como se ha hecho arriba.
-oOo-
b)
Si $a:=0$, entonces la matriz es $\begin{pmatrix}0&0&1 \\ 0 & 1 &2 \\ 1 & 1 &1\end{pmatrix}$ y su determinante es $\text{det}(A)=-1$ Así pues, teniendo en cuenta que, $$A^{-1}=\dfrac{1}{\text{det}(A)}\,(\text{Adj}(A))^{\top}$$

Es fácil calcular la matriz de los cofactores ( o de los adjuntos de los elementos de la matriz $A$ ), y sale lo siguiente: $$\text{Adj}(A)=\begin{pmatrix}-1&2&-1 \\ 1 & -1 &0 \\ -1 & 0 &0\end{pmatrix}$$ luego $$(\text{Adj}(A))^{\top}=\begin{pmatrix}-1&1&-1 \\ 2 & -1 &0 \\ -1 & 0 &0\end{pmatrix}$$ con lo cual $$A^{-1}=\dfrac{1}{-1}\,\begin{pmatrix}-1&1&-1 \\ 2 & -1 &0 \\ -1 & 0 &0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&-1&1 \\ -2 & 1 &0 \\ 1 & 0 &0\end{pmatrix}$$

$\square$