Rango de una matriz n x p

Rango de una matriz $n \times p$
Podemos contemplar una matriz de $n$ filas y $p$ columnas como un objeto formado por $n$ vectores fila ( cuyas coordenadas están dispuestas en filas, en cada una de las respectivas filas de la matriz ) o bien por $p$ vectores columna ( disponiendo las coordenadas de cada uno en las respectivas columnas ). Así pues, en cuanto al llamado rango de la matriz, y de manera análoga a lo dicho para los sistemas de ecuaciones lineales, diremos que es igual al número de filas ( vectores fila ) independientes, que lógicamente ha de coincidir con el número de vectores columna independientes.
De ellos se desprende que el rango, $r$, de una matriz $n \times p$ ha de ser tal que $r \le \text{mín}(\{n,p\})$

Determinación del rango por reducción de Gauss:
Para determinar el número de filas independientes -- y por tanto el rango de la matriz --, podemos reducir el sistema por Gauss, obteniendo ( por combinación de filas ) el mayor triángulo (isósceles) de ceros partiendo del vértice en el elemento $a_{n1}$; el número de filas no identicamente nulas que quedan al término de dicho proceso es precisamente el valor del rango.

Determinación del rango a partir del estudio de los menores complementarios de la matriz:
También es posible calcular el rango de la matriz mediante el estudio de los menores complementarios de la misma. Dada una matriz $A$ de dimensiones $n \times p$, llamamos menores complementarios a los determinantes de las submatrices cuadradas que contiene la matriz $A$.

Apuntemos que el rango de la matriz $A$ es igual al orden del mayor menor complementario no nulo que podamos encontrar en la matriz

Ésto podemos justificarlo por el hecho de que, dado un sistema de $n$ ecuaciones lineales del mismo número de ecuaciones que de incógnitas, éste es compatible determinado si el rango del sistema es $n$, esto es, si el determinante de la matriz de coeficientes del sistema es distinto de cero; y, en el caso que fuese compatible indeterminado, de rango $r \prec n$ ( el número de ecuaciones independientes es $r$ ), el número de variables secundarias es $n-r$, y puede comprobarse que el mayor menor complementario no nulo es de orden $r$

Pongamos por ejemplo la matriz $4 \times 4$ $$A=\begin{pmatrix}a&b&c&d\\e&f&g&h\\i&j&k&l \\ m&n&o&p \end{pmatrix}$$
Llamamos menores principales de la misma a $a$, $\begin{vmatrix}a&b\\e&f \end{vmatrix}$, $\begin{vmatrix}a&b&c\\e&f&g\\i&j&k \end{vmatrix}$ y $\begin{vmatrix}a&b&c&d\\e&f&g&h\\i&j&k&l \\ m&n&o&p \end{vmatrix}$
Sólo hay un menor de orden $4$, y hay $4^2=16$ menores de orden $1$ ( que son los elementos de la matriz), pero es evidente que hay muchos más menores de orden $2$ que el principal de ese orden, y más menores de orden $3$ que el menor principal de dicho orden. Esta reflexión nos lleva a darnos cuenta de lo arduo que puede llegar a ser examinar todos los posibles menores de un mismo orden.

Algoritmo del orlado de un menor complementario no nulo:
Sin embargo, para realizar el estudio del rango de la matriz $A$, existe un algoritmo que permite economizar el número de menores a examinar; este algoritmo toma como menor de partida a cualquiera que sea no nulo, y se orla la submatriz correspondiente a las submatrices de un orden superior hasta encontrar ( si lo hubiese ) alguno de sus determinantes ( menores complementarios de un orden superior al de partida ) distinto de cero, tras lo cual hay que volver a repetir al paso precedente hasta examinar los menores de orden máximo que salen de los orlados sucesivos. Este algoritmo se conoce con el nombre de algoritmo del orlado.

Vamos a ilustrarlo con el siguiente ejemplo, que parte de la matriz cuadrada $4 \times 4$ que hemos puesto como ejemplo en el párrafo anterior: $$A=\begin{pmatrix}a&b&c&d\\e&f&g&h\\i&j&k&l \\ m&n&o&p \end{pmatrix}$$

Nota: En general, el algoritmo puede aplicarse a cualquier matriz rectangular ( no hace falta que sea cuadrada ).

En este ejemplo, partiremos del supuesto que hemos encontrado un menor complementario de orden $2$ distinto de cero, pongamos que $\begin{vmatrix}i&j\\m&n \end{vmatrix} \neq 0$, con lo cual podemos afirmar que el rango de $A$ es, por lo menos, igual a $2$; ahora bien, puede ser mayor ( $3$ o bien $4$ ). Para dilucidar ésto, procedemos al orlado de dicho menor de orden $2$ no nulo con los $4$ menores de un orden mayor, esto es, de orden $3$:
$\begin{vmatrix}e&f&g\\i&j&k\\m&n&o\end{vmatrix}$,$\begin{vmatrix}a&b&c\\i&j&k\\m&n&o\end{vmatrix}$,$\begin{vmatrix}e&f&h\\i&j&l\\m&n&o\end{vmatrix}$ y $\begin{vmatrix}a&b&d\\i&j&l\\m&n&p\end{vmatrix}$
Si por lo menos uno de ellos es distinto de cero, podremos afirmar que el rango es mayor o igual que $3$, y, finalmente, sólo nos quedará orlar dicho menor de orden $3$ no nulo, que, obviamente nos llevará al único menor de orden $4$ ( que es el determinante de $A$ ); si dicho éste fuese distinto de cero, el rango de $A$ seria $4$ y, en caso contrario, seria $3$.

Otro ejemplo:
Consideremos ahora la matriz $3 \times 4$ $$B=\begin{pmatrix}a&b&c&d\\e&f&g&h\\i&j&k&l \end{pmatrix}$$ Partamos del supuesto ( para simplificar un poco el proceso ) que hemos encontrado un menor complementario de orden $2$ no nulo, pongamos que $\begin{vmatrix}e&f\\i&j\end{vmatrix} \neq 0$, con lo cual $2 \le r \le 3$. Para averiguar si $r=3$, orlemos la submatriz $\begin{pmatrix}e&f\\i&j\end{pmatrix}$ cuyo determinante es no nulo ( esto es, partimos del menor de orden $2$ no nulo que hemos localizado ), obteniendo en este caso sólo dos menores de un orden superior ( esto es, de orden $3$ ):
$\begin{vmatrix}a&b&c\\e&f&g\\i&j&k\end{vmatrix}$ y $\begin{vmatrix}a&b&d\\e&f&h\\i&j&l\end{vmatrix}$. Si alguno de los dos fuese no nulo, diríamos que el rango de $B$ es $3$ y si ninguno de los dos fuese no nulo, concluiríamos que el rango de $B$ seria $2$.
$\square$