Ecuación de una recta en el espacio afín

Sea $P$ un punto del espacio afín (e.a.) $\mathcal{A}$ y $\vec{v}$ un vector libre no nulo, entonces la recta $r$ que pasa por el punto $P$ y tiene la dirección de $\vec{v}$ se define como el conjunto de puntos $X$ del e.a. tales que $\overset{\rightarrow}{PX}=\lambda\,\vec{v}$, siendo $\lambda \in \mathbb{R}$. Llamamos al par $(P,\vec{v})$ determinación lineal (d.l.) de $r$.

Sea el espacio afín $\mathcal{A}$ de dimensión $3$, $\{O;\mathcal{B}\}$ ( donde $\mathcal{B}=\{\vec{e_1},\vec{e_2},\vec{e_3}\}$ ) un sistema de referencia del e.a. y consideremos la d.l. de $r$, $(P,\vec{v})$. Entonces, como $\overset{\rightarrow}{OX}=\overset{\rightarrow}{OP}+\overset{\rightarrow}{PX}$ ( triángulo de vectores ), podemos escribir la ecuación vectorial de la recta $$ r \equiv \overset{\rightarrow}{OX}=\overset{\rightarrow}{OP}+\lambda\,\vec{v}$$ esto es $$(x,y,z)=(x_P,y_P,z_P)+\lambda\,(v_1,v_2,v_3)$$ con lo cual han de cumplirse las siguientes igualdades escalares $$r \equiv \left\{\begin{matrix}x=x_P+\lambda\,v_1\\y=y_P+\lambda\,v_2\\z=z_P+\lambda\,v_3\end{matrix}\right.$$ que es un sistema de ecuaciones escalares; dichas ecuaciones constituyen las ecuaciones paramétricas de la recta $r$. Despejando el parámetro $\lambda$ de cada una de dichas ecuaciones encontramos $$\lambda=\dfrac{x-x_P}{v_1}=\dfrac{y-y_P}{v_2}=\dfrac{z-z_P}{v_3}$$ obteniendo la ecuación de la recta en forma continua ( triple igualdad de la que escribimos las ecuaciones continuas de la recta $r$ ) $$r\equiv \dfrac{x-x_P}{v_1}=\dfrac{y-y_P}{v_2}=\dfrac{z-z_P}{v_3} \quad \quad (1)$$

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Nota: También podemos llegar al mismo resultado de una forma un tanto más alambicada, pero que tiene interés por incorporar la noción de rango en el razonamiento que vamos a realizar. Despejando los términos que dependen del parámetro $\lambda$ ( considerado como incógnita ) en cada ecuación llegamos a $$\left\{\begin{matrix}\lambda\,v_1=x-x_P\\\lambda\,v_2=y-y_P\\\lambda\,v_3=z-z_P\end{matrix}\right.$$ y, como $X$ pertenece a $r$, dicho sistema ha de ser compatible determinado, luego habiendo una sóla incógnita ( $\lambda$ ), $n=1$ y por tanto $$n=1=\text{rango}\begin{pmatrix}v_1 \\ v_2 \\ v_3 \end{pmatrix}=\text{rango}\begin{pmatrix}v_1 & x-x_p \\ v_2 & y-y_p \\ v_3 & z-z_p \end{pmatrix}$$ Y si suponemos ( sin pérdida de generalidad ) que $v_1 \neq 0$ entonces por el método del orlado ( de una submatriz cuadrada cuyo determinante sea no nulo ) vemos que, orloando el elemento $v_1$, deberá cumplirse que $$\begin{vmatrix}v_1 & x-x_P \\ v_2 & y-y_P \end{vmatrix} =0 \Leftrightarrow v_1\,(y-y_P)=v_2\,(x-x_P) \Leftrightarrow \dfrac{x-x_P}{v_1}=\dfrac{y-y_P}{v_2}$$ y $$\begin{vmatrix}v_1 & x-x_P \\ v_3 & z-z_P \end{vmatrix} =0\Leftrightarrow v_1\,(z-z_P)=v_3\,(x-x_P) \Leftrightarrow \dfrac{x-x_P}{v_1}=\dfrac{z-z_P}{v_3}$$ Así pues llegamos a la triple igualdad (1) $$\dfrac{x-x_P}{v_1}=\dfrac{y-y_P}{v_2}=\dfrac{z-z_P}{v_3}$$ y las ecuaciones de la recta en forma implícita ( o ecuaciones cartesianas de la recta ): $$r\equiv \left\{\begin{matrix}\dfrac{x-x_P}{v_1}=\dfrac{y-y_P}{v_2} \\\dfrac{x-x_P}{v_1}=\dfrac{z-z_P}{v_2}\end{matrix}\right.$$

Ejemplo 1
ENUNCIADO. Determinar la recta que tiene la dirección del vector $\vec{v}=(1,2,3)$ y que pasa por el punto $P(1,0,-1)$

SOLUCIÓN. Sea $X(x,y,z)$ un punto cualquiera de la recta $r$. Entonces,

Ecuación vectorial:
$\overset{\rightarrow}{OX}=\overset{\rightarrow}{OP}+\lambda\,\vec{v}$ con $\lambda \in \mathbb{R}$ esto es $(x,y,z)=(1,2,3)+\lambda\,(1,0,-1)$ ( ecuación vectorial de la recta ).

Ecuaciones paramétricas:
De la igualdad vectorial podemos escribir tres igualdades escalares, que son las ecuaciones paramétricas, $$\left\{\begin{matrix}x&=&1+\lambda \\ y&=&2+0\cdot \lambda \\ z&=&3-\lambda\end{matrix}\right.$$

Ecuaciones continuas de la recta:
Sabemos que $$\text{rango}\begin{pmatrix}1 \\ 2 \\ 3\end{pmatrix} = \text{rango}\begin{pmatrix}1 & x-1\\ 2 & y-0 \\ 3 & z - (-1)\end{pmatrix}=1$$ luego, orlando el elemento no nulo de la primera fila y primera columna de la matriz $3 \times 2$, deducimos que los siguientes menores complementarios de orden $2$ tienen que ser nulos:
$$\begin{vmatrix}1 & x-1 \\ 2 & y-0\end{vmatrix}=0 \Leftrightarrow \dfrac{x-1}{1}=\dfrac{y-0}{2}$$ y $$\begin{vmatrix}1 & x-1 \\ 3 & z + 1\end{vmatrix}=0 \Leftrightarrow \dfrac{z+1}{3}=\dfrac{x-1}{1}$$ por tanto $$r \equiv \dfrac{x-1}{1}=\dfrac{y-0}{2} = \dfrac{z+1}{3}$$

Ecuaciones cartesianas ( o implícitas ) de la recta:
De dos de las tres igualdades ( basta con dos ) de la forma continua, podemos escribir
$$\left\{\begin{matrix}\dfrac{x-1}{1}=\dfrac{y-0}{2} \\ \\ \dfrac{y-0}{2} = \dfrac{z+1}{3} \end{matrix}\right.$$ o lo que es lo mismo $$r \equiv \left\{\begin{matrix}-2x & + & y &+&0\,z& +&2=0 \\ 0\,x & + & 3\,y &-&2\,z& -&2=0 \end{matrix}\right.$$

Nota: Más adelante, veremos que, así, la recta viene dada por la intersección de dos planos ( cada una de cuyas ecuaciones son de la forma $Ax+By+Cz+D=0$ )
$\square$