Determinante de una matriz cuadrada

La primera noción de determinante aparece ya en el siglo XVI, en relación con el estudio de los sistemas de ecuaciones lineales; sin embargo la noción de matriz no empieza a manejarse hasta el siglo XIX, cuyo nombre viene inspirado por la idea de "madre del determinante" ( Sylvester ).

Consideremos el siguiente sistema ecuaciones lineales $$\left\{\begin{matrix}a_{11}\,x_1&+&a_{12}\,x_2&=&b_1 \\ a_{21}\,x_1&+&a_{22}\,x_2&=&b_2\end{matrix}\right.$$ Resolviéndolo por el método de sustitución llegamos a la solución $$\begin{matrix}x_1=\dfrac{ b_1\,a_{22}-b_2\,a_{12}}{a_{11}\,a_{22}-a_{12}\,a_{21}} \\ \\ x_2=\dfrac{ b_2\,a_{11}-b_1\,a_{21}}{a_{11}\,a_{22}-a_{12}\,a_{21}} \end{matrix}$$
donde observamos que los denominadores de los resultados de ambas incógnitas son iguales, y, además los numeradores presenta una cierta 'regularidad', lo cual sugiere entender los términos de dichas fracciones algo así como determinantes de la solución.

Definición ( Determinante de una matriz cuadrada de orden $n$ ):
A cada matriz cuadrada $A_{n \times n}$ podemos asociarle un único número, al que llamaremos determinante $\text{det(A)}$, que viene dado por $$\text{det}(A)=\displaystyle \sum _{\sigma \in P_n}\,\text{sign}(\sigma)\;a_{1\sigma_1}\,a_{2\sigma_2}\,a_{3\sigma_3} \cdot \ldots \cdot \,a_{n\sigma_n}$$ que podemos abreviar de la forma $$\text{det}(A)=\displaystyle \sum _{\sigma \in P_n}\,\text{sign}(\sigma)\,\prod_{i=1}^{n}\,a_{i\sigma_i}$$ donde $\text{sign}(\sigma)$ representa el signo de la permutación $\sigma$, como elemento del conjunto de $n!$ permutaciones $P_n$. Si el número de transposiciones de índices $\leftrightarrow j$ es par, la signatura es positiva; y, si el número de transposiciones en los que se descompone la permutación es impar, la signatura es negativa.


Determinantes de orden $2$:
Así, por ejemplo, si $n=2$, decimos que el determinante a calcular es de orden $2$, y es el siguiente $$\begin{vmatrix}a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{vmatrix}$$ En los índices, Ssólo tenemos $2!=2\cdot 1=2$ permutaciones, que son $\bigl(\begin{smallmatrix}
1 &2 \\
1 &2 \\
\end{smallmatrix}\bigr)$
de donde aparece el factor $a_{11}\,a_{22}$, con signatura positiva, pues el número de transposiciones es cero ( par ); y, $\bigl(\begin{smallmatrix}
1 &2 \\
2 &1 \\
\end{smallmatrix}\bigr)$, que nos da el factor $a_{12}\,a_{21}$ con signatura negativa, al haber sólo una transposición de índices ( el uno por el dos y el dos por el uno ). Así pues $$\begin{vmatrix}a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{vmatrix}=a_{11}\,a_{22}-a_{21}\,a_{12}$$

Notemos ahora que la solución del sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas que hemos expuesto al introducir la noción de determinante, bien podemos escribirla así:

$$x_1=\dfrac{ \begin{vmatrix} b_1 & a_{12} \\ b_2 & a_{22} \end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{vmatrix}}$$

$$x_2=\dfrac{\begin{vmatrix}a_{11} & b_1 \\ a_{21} & b_2 \end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{vmatrix}}$$ Lo cual, dicho sea de paso, nos lleva al método de resolución de sistemas compatibles determinados conocido como método de Cramer

Determinantes de orden $3$:
Si $n=3$, decimos que el determinante a calcular es de orden $3$, y es el siguiente $$\begin{vmatrix}a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{vmatrix}$$ En los índices, tenemos ahora $3!=6$ permutaciones, que son:

$\bigl(\begin{smallmatrix}
1 &2 & 3\\
1 &2 & 3\\
\end{smallmatrix}\bigr)$
de donde aparece el factor $a_{11}\,a_{22}\,a_{33}$, con signatura positiva, pues el número de transposiciones es cero ( un número par de transposiciones )

$\bigl(\begin{smallmatrix}
1 &2 & 3\\
1 &3 & 2\\
\end{smallmatrix}\bigr)$, que nos da el factor $a_{11}\,a_{23}\, a_{32}$ con signatura negativa, al haber sólo una ( y por tanto un número impar ) transposición de índices ( $2 \leftrightarrow 3$ )

$\bigl(\begin{smallmatrix}
1 &2 & 3\\
2 &1 & 3\\
\end{smallmatrix}\bigr)$, que nos da el factor $a_{12}\,a_{21}\, a_{33}$ con signatura negativa, al haber sólo una ( y por tanto un número impar ) transposición de índices ( $1 \leftrightarrow 2$ )

$\bigl(\begin{smallmatrix}
1 &2 & 3\\
2 &3 & 1\\
\end{smallmatrix}\bigr)$, que nos da el factor $a_{12}\,a_{23}\, a_{31}$ con signatura positiva, al constar de un número par de transposiciones ( $1 \leftrightarrow 2$ y $3 \leftrightarrow 2$ )

$\bigl(\begin{smallmatrix}
1 &2 & 3\\
3 &2 & 1\\
\end{smallmatrix}\bigr)$, que nos da el factor $a_{13}\,a_{22}\, a_{31}$ con signatura positiva, al constar de una transposición ( $1 \leftrightarrow 3$ )

$\bigl(\begin{smallmatrix}
1 &2 & 3\\
3 &1 & 2\\
\end{smallmatrix}\bigr)$, que nos da el factor $a_{13}\,a_{21}\, a_{32}$ con signatura negativa, al constar de un número par de transposiciones ( $1 \leftrightarrow 3$ y $3 \leftrightarrow 2$ )

Así pues
$\begin{vmatrix}a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{vmatrix}=a_{11}\,a_{22}\,a_{33}+a_{12}\,a_{23}\,a_{31}+a_{21}\,a_{32}\,a_{13}-a_{31}\,a_{22}\,a_{13}-$
                              $-a_{32}\,a_{23}\,a_{11}-a_{21}\,a_{12}\,a_{33}$ ( a lo que solemos llamar regla de Sarrus )

Podemos relacionar fácilmente ésto con la resolución de un sistema de tres ecuaciones lineales con tres incógnitas, compatible determinado. Consideremos el siguiente sistema ecuaciones lineales $$\left\{\begin{matrix}a_{11}\,x_1&+&a_{12}\,x_2&+&a_{13}\,x_3&=&b_1 \\ a_{21}\,x_1&+&a_{22}\,x_2&+&a_{23}\,x_3&=&b_2 \\ a_{31}\,x_1&+&a_{32}\,x_2&+&a_{33}\,x_3&=&b_3 \end{matrix}\right.$$ Entonces la solución vendrá dada por

$$x_1=\dfrac{\begin{vmatrix}b_1 & a_{12} & a_{13} \\ b_2 & a_{22} & a_{23} \\ b_3 & a_{32} & a_{33} \end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{vmatrix}}$$

$$x_2=\dfrac{\begin{vmatrix} a_{11} & b_1 & a_{13} \\ a_{21} & b_2 & a_{23} \\ a_{31} & b_3 & a_{33} \end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{vmatrix}}$$

$$x_3=\dfrac{\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & b_1 \\ a_{21} & a_{22} & b_2 \\ a_{31} & a_{32} & b_3 \end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{vmatrix}}$$

Determinantes de orden mayor que $3$:
Los determinantes de orden mayor que $3$ se calculan aplicando la misma definición. Sin embargo, conviene encontrar técnicas que reduzcan el cuantioso cálculo aritmético que ello supone. En primer lugar, como veremos, las propiedades de los determinantes, permiten reducirlos, obteniendo un buen número de ceros entre sus elementos mediante las operaciones de reducción, lo cual, desde luego, simplifica enormemente el cálculo de los determinantes de orden bajo ( $2$ ó $3$ ); y, por otra parte, expondremos una regla de cálculo, conocida como regla de Laplace ( teorema de Laplace ) que permite desarrollar un determinante por cualquier línea que elijamos ( fila o columna ), la cual se puede aplicar a determinantes de cualquier orden, y que convendrá, claro está, aplicarla en especial a determinantes de orden superior a $3$.

Reducción previa al cálculo de un determinante:

De las propiedades de invriancia del valor del determinante, destacamos la siguiente:

  Si se sustituye una fila, pongamos que la fila $i$-ésima ( que designaremos por $f_i$ ), por la suma $f_i + \lambda\,f_j$ ( siendo $j \neq k$, y $\lambda \in \mathbb{R}$ ), entonces el valor del determinante no varía

  Si se sustituye una columna, pongamos que la fila $j$-ésima ( que designaremos por $c_j$ ), por la suma $c_j + \lambda\,c_j$ ( siendo $j \neq k$ y $\lambda \in \mathbb{R}$), entonces el valor del determinante no varía

Ejemplo:
$\begin{vmatrix}2 & 2 & 3 \\ -1 & 3 & 4 \\ 0 & 1 & 1 \end{vmatrix} \overset{f_2 \leftarrow (1/2)\cdot f_1+f_2}{=} \begin{vmatrix}2 & 2 & 3 \\ 0 & 4 & 11/2 \\ 0 & 1 & 1 \end{vmatrix} \overset{\text{Sarrus}}{=}8-11=-3 $


Regla de Laplace:
Consideremos el determinante de orden $3$ $$\begin{vmatrix}a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{vmatrix}$$ Se demuestra que si elegimos una línea ( pongamos que la fila $i$-ésima ( $i \in \{1,2,3\}$ ), entonces éste es igual a $$a_{i1}\,A_{i1}+a_{i2}\,A_{i2}+a_{i3}\,A_{i3}$$ donde cada $A_{ij}$ ( con $j \in \{1,2,3\}$ ) se denomina adjunto ( o cofactor ) del elemento $a_{ij}$ y viene dado por $(-1)^{i+j}\,\alpha_{ij}$, donde $\alpha_{ij}$ se denomina menor complementario del elemento $a_{ij}$ y se obtiene calculando el determinante de un orden menor ( en este caso concreto va a ser de orden $2$ ) que se obtiene eliminando ( del determinante a calcular ) los elemento pertenecientes a la fila $i$-ésima y los de la columna $j$-ésima.

De igual modo, si se elije una columna ( pongamos que la columna $j$-ésima, $j \in \{1,2,3\}$ ) en lugar de una fila, entonces el valor del determinante ( que obviamente no puede ser otro que el calculado desarrollando por una de las filas ) viene dado por $$a_{j1}\,A_{j1}+a_{j2}\,A_{j2}+a_{j3}\,A_{j3}$$

Ejemplo. Desarrollo de Laplace por la primera fila de un determinante de orden $4$:
$\begin{vmatrix}a&b&c&d \\ f&g&h&i \\ j&k&l&m \\ n&p&q&r \end{vmatrix}=a\,\begin{vmatrix}g&h&i \\ k&l&m \\ p&q&r\end{vmatrix}-b\,\begin{vmatrix}f&h&i \\ j&l&m \\ n&q&r\end{vmatrix}+c\,\begin{vmatrix}f&g&i \\ j&k&m \\ n&p&r\end{vmatrix}-d\,\begin{vmatrix}f&g&h \\ j&k&l \\ n&p&q\end{vmatrix}$ Llegados a este punto, para acabar el cálculo se puede optar por desarrollar por Laplace cada uno de los $4$ determinantes de orden $3$ ( obteniendo determinantes de orden $2$ ), o bien aplicar la regla de Sarrus a cada uno de los determinantes de orden $3$.

Consideremos, en general, el determinante de orden $n$ de una matriz $A_{n \times n}$. Entonces, si elegimos una línea ( pongamos que la fila $i$-ésima ( $i \in \{1,2,\ldots,n\}$ ), éste es igual a $$a_{i1}\,A_{i1}+a_{i2}\,A_{i2}+\ldots+a_{in}\,A_{i3n}$$ donde $A_{ij}$ ( con $j \in \{1,2,\ldots,n\}$ ) es el adjunto o cofactor del elemento $a_{ij}$; y, de igual modo, si se elije una columna ( pongamos que la columna $j$-ésima, $j \in \{1,2,\ldots,n\}$ ) en lugar de una fila, entonces el valor del determinante ( que obviamente no puede ser otro que el calculado desarrollando por una de las filas ) viene dado por $$a_{j1}\,A_{j1}+a_{j2}\,A_{j2}+\ldots+a_{jn}\,A_{jn}$$
$\square$

El espacio euclídeo. Geometría analítica.

ENUNCIADO. Se considera el triángulos cuyos vértices son los puntos $A(1,3,-1)$, $B(3,1,0)$ y $C(2,5,1)$ y se pide:
a) Determinar razonadamente si el triángulo es equilátero, isósceles o escaleno
b) Obtener las medidas de sus tres ángulos

SOLUCIÓN.

Espacio euclídeo

Sea $r$ la recta que pasa por los puntos $P_1(3,2,0)$ y $P_2(7,0,2)$. Se pide:
a) Hallar la distancia del punto $Q(3,5,-3)$ a la recta $r$
b) Hallar el punto de corte de la recta $r$ con el plano perpendicular a $r$ que pasa por el punto $Q$

SOLUCIÓN.

Análisis de funciones

ENUNCIADO. Se considera la función $$f(x)=\dfrac{e^{-x}}{x^2+1}$$ y se pide:
a) Obtener la ecuación de la recta tangente a la curva $y=f(x)$ en el punto de abscisa $x=0$
b) Estudiar la existencia de asíntotas horizontales y verticales de la función $f$ y, en su caso, determinanrlas
c) Hallar los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función y sus extremos relativos en el caso de que existan

SOLUCIÓN.

Cálculo con matrices

ENUNCIADO. Dada la matriz $A=\begin{pmatrix}2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}$ y la matriz identidad $I=\begin{pmatrix}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$, se pide:
a) Calcular la matriz $B$, dada por $B=(A-I)(2I+2A)$
b) Determinar el rango de las matrices $A-I$, $A^2-I$ y $A^3-I$
c) Calcular la matriz inversa de la matriz $A^6$, en caso de que exista

SOLUCIÓN.
a)
$B=(A-I)(2A+2I)$
  $=2\,(A-I)(A+I)$
    $=2\,((A-I)I+(A-I)A)$
      $=2\,((AI-I^2+A^2-IA)$
        $=2\,(-I+A^2)$ ya que $IA=AI=A$ y $I^2=II=I$
          $=2\,(\begin{pmatrix}-1&0&0\\0&-1&0\\0&0&-1\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}4&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}) \quad \quad (1)$
$$\text{ya que}\;\;A^2=\begin{pmatrix}2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix}2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}4 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$$
con lo cual
            $B=2\,\begin{pmatrix}3&0&0\\0&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}6&0&0\\0&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}$

b)
$A-I=\begin{pmatrix}2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & -1\end{pmatrix}$ y mediante la combinación $f_3 \leftarrow f_3+f_2$ vemos que dicha matriz es equivalente en rango a $\begin{pmatrix}1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 1 \\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix}$, que ya queda reducida por Gauss, y como aparecen sólo dos filas no nulas, su rango es $2$; esto es, $\text{rango}(A-I)=2$

-oOo-

$A^2-I=\begin{pmatrix}4 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix}$, que ya queda reducida por Gauss, y como aparece sólo una fila no nula, su rango es $1$; esto es, $\text{rango}(A^2-I)=1$

-oOo-
$A^3=A^2\,A=\begin{pmatrix}4 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}8 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}$ luego $A^3-I=\begin{pmatrix}8 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}-\begin{pmatrix}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}7 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & -1 \end{pmatrix}$. Con la combinación $f_3 \leftarrow f_3+f_2$ vemos que dicha matriz es equivalente en rango a $\begin{pmatrix}7 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 1 \\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix}$, que ya queda reducida por Gauss, y como aparecen sólo dos filas no nulas, su rango es $2$; esto es, $\text{rango}(A^3-I)=2$

c)
Observemos que:
$A=\begin{pmatrix}2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}$
$A^2=\begin{pmatrix}2^2 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$
y que $A^4=A^{3}A=\begin{pmatrix}2^3 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix}2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2^4 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$
luego, por inducción, podemos escribir:
$A^6=\begin{pmatrix}2^6 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}64 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$
y al tratarse de una matriz diagonal, es evidente que
$(A^6)^{-1}=\begin{pmatrix}1/64 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$
En efecto,
$(A^6)^{-1}A^6=\begin{pmatrix}1/64 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix}64 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$
y
$A^{6}(A^6)^{-1}=\begin{pmatrix}64 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix}1/64 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$

$\square$

Cálculo de probabilidades

ENUNCIADO. Dados dos sucesos, $A$ y $B$, de un experimento aleatorio, con probabilidades $P(A)=\dfrac{4}{9}$, $P(B)=\dfrac{1}{2}$ y $P(A \cup B)=\dfrac{2}{3}$, se pide:
a) Averiguar si los suscesos $A$ y $B$ son independientes
b) Calcular $P(\bar{A}|B)$

SOLUCIÓN.
a)
Sabemos que debe cumplirse $P(A \cup B) = P(A)+P(B) - P(A \cap B)$, que, con los datos nos lleva a escribir $$\dfrac{2}{3}=\dfrac{4}{9}+\dfrac{1}{2}-P(A \cap B)$$ con lo cual $P(A \cap B)=\dfrac{4}{9}+\dfrac{1}{2}-\dfrac{2}{3}$ y por tanto $P(A \cap B)=\dfrac{5}{18}$. Ahora bien, si $A$ y $B$ son independientes ha de cumplirse que $P(A \cap B)=P(A)\,P(B)$, pero $P(A)\,P(B)=\dfrac{4}{9}\cdot \dfrac{1}{2}=\dfrac{2}{9} \neq \dfrac {5}{18}$, luego concluimos que $A$ y $B$ no son independientes.

b)
De las propiedades básicas, sabemos que $P(\bar{A}|B)=1-P(A|B)$ y, también, que $P(A|B)P(B)=P(A\cap B)$, luego $$P(\bar{A}|B)= 1- \dfrac{P(A \cap B}{P(B)}$$ y poniendo los datos, llegamos al siguiente resultado $$P(\bar{A}|B)=1-\dfrac{5/18}{1/2}=\dfrac{4}{9}$$
$\square$

Sistemas de ecuaciones lineales

ENUNCIADO. En un taller de joyería se dispone de tres aleaciones $A$, $B$ y $C$ que contienen; entre otros metales, oro y plata, en las proporciones indicadas en siguiente tabla

% de oro    % de plata
   --------   -----------
A     100          0
B      75         15
C      60         22

Se quiere obtener una pieza ( por fundición ) de $25$ gramos, con una proporción del $72\,\%$ de oro y una proporción del $16\,\%$ de plata, tomando $x$ gramos de $A$, $y$ gramos de $B$ y $z$ gramos de $C$. Determínense dichas cantidades.

SOLUCIÓN.
Transcribimos la información literal del enunciado a estas tres ecuaciones:
$$x+y+z=25$$
$$\dfrac{x+0,75y+0,6z}{25}=0,72$$
$$\dfrac{0\,x+0,15y+0,22z}{25}=0,16$$
que constituyen el siguiente sistema de ecuaciones lineales $$\left\{\begin{matrix}x&+&y&+&z&=25 \\ 100\,x&+&75\,y&+&60\,z&=1800 \\ &&15\,y&+&22\,z&=400\end{matrix}\right.$$
Procedemos a resolver el sistema por Gauss

$\left\{\begin{matrix}x&+&y&+&z&=25 \\ 100\,x&+&75\,y&+&60\,z&=1800 \\ &&15\,y&+&22\,z&=400\end{matrix}\right. \overset{-100\,e_1+e_2 \rightarrow e_2}{\sim}$

$ \sim \left\{\begin{matrix}x&+&y&+&z&=25 \\ &&-25\,y&-&40\,z&=-700 \\ &&15\,y&+&22\,z&=400\end{matrix}\right. \overset{3\,e_2+5\,e_3 \rightarrow e_3}{\sim}$

$ \sim \left\{\begin{matrix}x&+&y&+&z&=25 \\ &&-25\,y&-&40\,z&=-700 \\ &&&&-10\,z&=-100\end{matrix}\right.\overset{ (-1/5)\,e_2 \rightarrow e_2 \,;\, (-1/10)\,e_3 \rightarrow e_3}{\sim}$

$ \sim \left\{\begin{matrix}x&+&y&+&z&=25 \\ &&5\,y&+&8\,z&=140 \\ &&&&z&=10\end{matrix}\right.$

Entonces, de la tercera ecuación vemos que $z=10$ gramos; sustituyendo este resultado en la segunda ecuación, y despejando $y$, obtenemos el valor de la segunda incógnita: $y=12$ gramos; y, sustituyendo los valores encontrados para $z$ e $y$ en la primera ecuación, calculamos el valor de la primera incógnita: $x=3$ gramos
$\square$

Geometría afín y euclídea

ENUNCIADO. Dadas las rectas $$r_1 \equiv \left\{\begin{matrix}6x & -& y & -& z& = & 1 \\ 2x & -& y & +& z& = & 1 \end{matrix}\right.$$ y $$r_2 \equiv \left\{\begin{matrix}3x & -& 5y & -& 2z& = & 3 \\ 3x & +& y & +& 4z& = & 3 \end{matrix}\right.$$ se pide:
a) Estudiar la posición relativa de $r_1$ y $r_2$
b) Calcular la distancia entre las dos rectas
c) Hallar la ecuación del plano que contiene a $r_1$ y al punto $P(1,2,3)$

SOLUCIÓN.

Análisis de funciones

ENUNCIADO. Dada la función real de variable real $$f(x)=\left\{\begin{matrix}x\,e^{2x}&\text{si}&x \prec 0 \\ \\\dfrac{\ln(x+1)}{x+1}&\text{si}&x\ge 0 \end{matrix}\right.$$ donde $\ln$ significa logaritmo neperiano, se pide:
a) Estudiar la continuidad y derivabilidad de $f(x)$ en $x=0$
b) Calcular $\displaystyle \lim_{x \rightarrow \,-\infty}\,f(x)$ y $\displaystyle \lim_{x \rightarrow \, +\infty}\,f(x)$
c) Calcular $\displaystyle \int_{-1}^{0}\,f(x)\,dx$

SOLUCIÓN.

Matrices y estructuras algebraicas

Lo siguiente es un resumen de lo que he explicado hoy en clase:

Dadas las operaciones internas $+$ ( suma de matrices $n \times p$ ) y $·$ ( producto de matrices cuadradas $n \times n$ ) se forman las siguientes estructuras algebraicas:

$(\mathcal{M}_{n \times p}(\mathbb{R}),+)$ es un grupo abeliano ( conmutativo )

$(\mathcal{M}_{n \times n}(\mathbb{R}),·)$ es un semigrupo no abeliano ( no comutativo ), con elemento neutro ( que es la matriz identidad $I_{n \times n}$ )

$(\mathcal{M}_{n \times n}(\mathbb{R}),+,·)$ es un anillo no abeliano ( con respecto de $·$ ) y con elemento neutro ( con respecto de $·$, que es $I_{n \times n}$ )

Dadas las operaciones internas $+$ ( suma de matrices $n \times p$ ) y con la operación externa $·_{\mathbb{R}}$ ( producto de matrices por escalares ) se forman la siguiente estructura algebraica:

$(\mathcal{M}_{n \times n}(\mathbb{R}),+,·_{\mathbb{R}})$ es un espacio vectorial

$\square$

Producto de matrices. Matrices divisoras de 'cero'

ENUNCIADO. Considérense las matrices no nulas $A=\begin{pmatrix}2&3\\4&6\end{pmatrix}$ y $B=\begin{pmatrix}9&-12\\-6&8\end{pmatrix}$. En relación al producto de matrices, compruébese que $A$ es un divisor de cero por la izquierda ( por 'cero', entiéndase la matriz nula $O_{2 \times 2}$ ); y que $B$ es un divisor de cero por la derecha.

SOLUCIÓN. Siendo $A \neq O$, decimos que $A$ es un divisor de cero por la izquierda, si se cumple que $A\,B=O$, siendo $O=\begin{pmatrix}0&0\\0&0\end{pmatrix}$. De forma similar, siendo $B \neq O$, decimos que $B$ es un divisor de cero por la derecha, si se cumple que $A\,B=O$, siendo $O=\begin{pmatrix}0&0\\0&0\end{pmatrix}$

Nota: Se habla de divisores de cero en el contexto del anillo de las matrices cuadradas $(\mathcal{M}_{n \times n}(\mathbb{R}),+,.)$, siendo $+$ la operación suma de matrices y $.$ la operación producto de matrices

Haciendo el cálculo con ayuda de las herramientas CAS ( cálculo simbólico ) de GeoGebra obtenemos que, efectivamente, se cumple lo propuesto en el enunciado:

Observación: Démonos cuenta de que, además, con la última línea de cálculo, vemos que $A$ no es divisor de cero por la derecha y que $B$ no es divisor de cero por la izquierda.

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Potenciación recurrente de algunas matrices

ENUNCIADO. Considérese la matriz $A=\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}$. Calcúlese $A^{600}$

SOLUCIÓN. Si ensayamos las primeras potencias ( con la ayuda del escenario CAS de GeoGebra es muy rápido, no hace falta hacerlo a mano si no estamos resolviendo un ejercicio de examen ) observamos lo siguiente:

con lo que nos damos cuenta de la siguiente regla de formación de los elementos de la $k$-ésima potencia de la matriz $A$: $$A^k=\begin{pmatrix}1&k\\0&1\end{pmatrix}$$ por consiguiente podemos escribir $$A^{600}=\begin{pmatrix}1&600\\0&1\end{pmatrix}$$ y hemos terminado.
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Potencias de matrices cíclicas

ENUNCIADO. La matriz $B=\begin{pmatrix}4 & 5 & -1\\-3 & -4 & 1 \\ -3 & -4 & 0\end{pmatrix}$ es cíclica. Calcúlese $A^{1280}$

SOLUCIÓN. Observemos que el periodo es $3$; en efecto, empleando el escenario CAS de GeoGebra, vemos que $B^3=I$

Por tanto $B^{1280}=A^r$, siendo $r=2$ el resto de $1280\,\div \, 3$; así pues $B^{1280}=B^2=\begin{pmatrix}4 & 4 & 1\\-3 & -3 & -1 \\ 0 & 1 & -1\end{pmatrix}$
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