Cálculo con matrices

ENUNCIADO. Dada la matriz $A=\begin{pmatrix}2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}$ y la matriz identidad $I=\begin{pmatrix}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$, se pide:
a) Calcular la matriz $B$, dada por $B=(A-I)(2I+2A)$
b) Determinar el rango de las matrices $A-I$, $A^2-I$ y $A^3-I$
c) Calcular la matriz inversa de la matriz $A^6$, en caso de que exista

SOLUCIÓN.
a)
$B=(A-I)(2A+2I)$
  $=2\,(A-I)(A+I)$
    $=2\,((A-I)I+(A-I)A)$
      $=2\,((AI-I^2+A^2-IA)$
        $=2\,(-I+A^2)$ ya que $IA=AI=A$ y $I^2=II=I$
          $=2\,(\begin{pmatrix}-1&0&0\\0&-1&0\\0&0&-1\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}4&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}) \quad \quad (1)$
$$\text{ya que}\;\;A^2=\begin{pmatrix}2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix}2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}4 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$$
con lo cual
            $B=2\,\begin{pmatrix}3&0&0\\0&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}6&0&0\\0&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}$

b)
$A-I=\begin{pmatrix}2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & -1\end{pmatrix}$ y mediante la combinación $f_3 \leftarrow f_3+f_2$ vemos que dicha matriz es equivalente en rango a $\begin{pmatrix}1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 1 \\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix}$, que ya queda reducida por Gauss, y como aparecen sólo dos filas no nulas, su rango es $2$; esto es, $\text{rango}(A-I)=2$

-oOo-

$A^2-I=\begin{pmatrix}4 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix}$, que ya queda reducida por Gauss, y como aparece sólo una fila no nula, su rango es $1$; esto es, $\text{rango}(A^2-I)=1$

-oOo-
$A^3=A^2\,A=\begin{pmatrix}4 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}8 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}$ luego $A^3-I=\begin{pmatrix}8 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}-\begin{pmatrix}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}7 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & -1 \end{pmatrix}$. Con la combinación $f_3 \leftarrow f_3+f_2$ vemos que dicha matriz es equivalente en rango a $\begin{pmatrix}7 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 1 \\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix}$, que ya queda reducida por Gauss, y como aparecen sólo dos filas no nulas, su rango es $2$; esto es, $\text{rango}(A^3-I)=2$

c)
Observemos que:
$A=\begin{pmatrix}2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}$
$A^2=\begin{pmatrix}2^2 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$
y que $A^4=A^{3}A=\begin{pmatrix}2^3 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix}2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2^4 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$
luego, por inducción, podemos escribir:
$A^6=\begin{pmatrix}2^6 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}64 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$
y al tratarse de una matriz diagonal, es evidente que
$(A^6)^{-1}=\begin{pmatrix}1/64 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$
En efecto,
$(A^6)^{-1}A^6=\begin{pmatrix}1/64 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix}64 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$
y
$A^{6}(A^6)^{-1}=\begin{pmatrix}64 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix}1/64 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$

$\square$