Análisis de funciones

ENUNCIADO. Dada la función real de variable real $$f(x)=\left\{\begin{matrix}x\,e^{2x}&\text{si}&x \prec 0 \\ \\\dfrac{\ln(x+1)}{x+1}&\text{si}&x\ge 0 \end{matrix}\right.$$ donde $\ln$ significa logaritmo neperiano, se pide:
a) Estudiar la continuidad y derivabilidad de $f(x)$ en $x=0$
b) Calcular $\displaystyle \lim_{x \rightarrow \,-\infty}\,f(x)$ y $\displaystyle \lim_{x \rightarrow \, +\infty}\,f(x)$
c) Calcular $\displaystyle \int_{-1}^{0}\,f(x)\,dx$

SOLUCIÓN.