Producto de matrices. Matrices divisoras de 'cero'

ENUNCIADO. Considérense las matrices no nulas $A=\begin{pmatrix}2&3\\4&6\end{pmatrix}$ y $B=\begin{pmatrix}9&-12\\-6&8\end{pmatrix}$. En relación al producto de matrices, compruébese que $A$ es un divisor de cero por la izquierda ( por 'cero', entiéndase la matriz nula $O_{2 \times 2}$ ); y que $B$ es un divisor de cero por la derecha.

SOLUCIÓN. Siendo $A \neq O$, decimos que $A$ es un divisor de cero por la izquierda, si se cumple que $A\,B=O$, siendo $O=\begin{pmatrix}0&0\\0&0\end{pmatrix}$. De forma similar, siendo $B \neq O$, decimos que $B$ es un divisor de cero por la derecha, si se cumple que $A\,B=O$, siendo $O=\begin{pmatrix}0&0\\0&0\end{pmatrix}$

Nota: Se habla de divisores de cero en el contexto del anillo de las matrices cuadradas $(\mathcal{M}_{n \times n}(\mathbb{R}),+,.)$, siendo $+$ la operación suma de matrices y $.$ la operación producto de matrices

Haciendo el cálculo con ayuda de las herramientas CAS ( cálculo simbólico ) de GeoGebra obtenemos que, efectivamente, se cumple lo propuesto en el enunciado:

Observación: Démonos cuenta de que, además, con la última línea de cálculo, vemos que $A$ no es divisor de cero por la derecha y que $B$ no es divisor de cero por la izquierda.

$\square$