Cálculo de probabilidades

ENUNCIADO. Dados dos sucesos, $A$ y $B$, de un experimento aleatorio, con probabilidades $P(A)=\dfrac{4}{9}$, $P(B)=\dfrac{1}{2}$ y $P(A \cup B)=\dfrac{2}{3}$, se pide:
a) Averiguar si los suscesos $A$ y $B$ son independientes
b) Calcular $P(\bar{A}|B)$

SOLUCIÓN.
a)
Sabemos que debe cumplirse $P(A \cup B) = P(A)+P(B) - P(A \cap B)$, que, con los datos nos lleva a escribir $$\dfrac{2}{3}=\dfrac{4}{9}+\dfrac{1}{2}-P(A \cap B)$$ con lo cual $P(A \cap B)=\dfrac{4}{9}+\dfrac{1}{2}-\dfrac{2}{3}$ y por tanto $P(A \cap B)=\dfrac{5}{18}$. Ahora bien, si $A$ y $B$ son independientes ha de cumplirse que $P(A \cap B)=P(A)\,P(B)$, pero $P(A)\,P(B)=\dfrac{4}{9}\cdot \dfrac{1}{2}=\dfrac{2}{9} \neq \dfrac {5}{18}$, luego concluimos que $A$ y $B$ no son independientes.

b)
De las propiedades básicas, sabemos que $P(\bar{A}|B)=1-P(A|B)$ y, también, que $P(A|B)P(B)=P(A\cap B)$, luego $$P(\bar{A}|B)= 1- \dfrac{P(A \cap B}{P(B)}$$ y poniendo los datos, llegamos al siguiente resultado $$P(\bar{A}|B)=1-\dfrac{5/18}{1/2}=\dfrac{4}{9}$$
$\square$