Sistemas de ecuaciones lineales

ENUNCIADO. En un taller de joyería se dispone de tres aleaciones $A$, $B$ y $C$ que contienen; entre otros metales, oro y plata, en las proporciones indicadas en siguiente tabla

% de oro    % de plata
   --------   -----------
A     100          0
B      75         15
C      60         22

Se quiere obtener una pieza ( por fundición ) de $25$ gramos, con una proporción del $72\,\%$ de oro y una proporción del $16\,\%$ de plata, tomando $x$ gramos de $A$, $y$ gramos de $B$ y $z$ gramos de $C$. Determínense dichas cantidades.

SOLUCIÓN.
Transcribimos la información literal del enunciado a estas tres ecuaciones:
$$x+y+z=25$$
$$\dfrac{x+0,75y+0,6z}{25}=0,72$$
$$\dfrac{0\,x+0,15y+0,22z}{25}=0,16$$
que constituyen el siguiente sistema de ecuaciones lineales $$\left\{\begin{matrix}x&+&y&+&z&=25 \\ 100\,x&+&75\,y&+&60\,z&=1800 \\ &&15\,y&+&22\,z&=400\end{matrix}\right.$$
Procedemos a resolver el sistema por Gauss

$\left\{\begin{matrix}x&+&y&+&z&=25 \\ 100\,x&+&75\,y&+&60\,z&=1800 \\ &&15\,y&+&22\,z&=400\end{matrix}\right. \overset{-100\,e_1+e_2 \rightarrow e_2}{\sim}$

$ \sim \left\{\begin{matrix}x&+&y&+&z&=25 \\ &&-25\,y&-&40\,z&=-700 \\ &&15\,y&+&22\,z&=400\end{matrix}\right. \overset{3\,e_2+5\,e_3 \rightarrow e_3}{\sim}$

$ \sim \left\{\begin{matrix}x&+&y&+&z&=25 \\ &&-25\,y&-&40\,z&=-700 \\ &&&&-10\,z&=-100\end{matrix}\right.\overset{ (-1/5)\,e_2 \rightarrow e_2 \,;\, (-1/10)\,e_3 \rightarrow e_3}{\sim}$

$ \sim \left\{\begin{matrix}x&+&y&+&z&=25 \\ &&5\,y&+&8\,z&=140 \\ &&&&z&=10\end{matrix}\right.$

Entonces, de la tercera ecuación vemos que $z=10$ gramos; sustituyendo este resultado en la segunda ecuación, y despejando $y$, obtenemos el valor de la segunda incógnita: $y=12$ gramos; y, sustituyendo los valores encontrados para $z$ e $y$ en la primera ecuación, calculamos el valor de la primera incógnita: $x=3$ gramos
$\square$