Determinante de una matriz cuadrada

La primera noción de determinante aparece ya en el siglo XVI, en relación con el estudio de los sistemas de ecuaciones lineales; sin embargo la noción de matriz no empieza a manejarse hasta el siglo XIX, cuyo nombre viene inspirado por la idea de "madre del determinante" ( Sylvester ).

Consideremos el siguiente sistema ecuaciones lineales $$\left\{\begin{matrix}a_{11}\,x_1&+&a_{12}\,x_2&=&b_1 \\ a_{21}\,x_1&+&a_{22}\,x_2&=&b_2\end{matrix}\right.$$ Resolviéndolo por el método de sustitución llegamos a la solución $$\begin{matrix}x_1=\dfrac{ b_1\,a_{22}-b_2\,a_{12}}{a_{11}\,a_{22}-a_{12}\,a_{21}} \\ \\ x_2=\dfrac{ b_2\,a_{11}-b_1\,a_{21}}{a_{11}\,a_{22}-a_{12}\,a_{21}} \end{matrix}$$
donde observamos que los denominadores de los resultados de ambas incógnitas son iguales, y, además los numeradores presenta una cierta 'regularidad', lo cual sugiere entender los términos de dichas fracciones algo así como determinantes de la solución.

Definición ( Determinante de una matriz cuadrada de orden $n$ ):
A cada matriz cuadrada $A_{n \times n}$ podemos asociarle un único número, al que llamaremos determinante $\text{det(A)}$, que viene dado por $$\text{det}(A)=\displaystyle \sum _{\sigma \in P_n}\,\text{sign}(\sigma)\;a_{1\sigma_1}\,a_{2\sigma_2}\,a_{3\sigma_3} \cdot \ldots \cdot \,a_{n\sigma_n}$$ que podemos abreviar de la forma $$\text{det}(A)=\displaystyle \sum _{\sigma \in P_n}\,\text{sign}(\sigma)\,\prod_{i=1}^{n}\,a_{i\sigma_i}$$ donde $\text{sign}(\sigma)$ representa el signo de la permutación $\sigma$, como elemento del conjunto de $n!$ permutaciones $P_n$. Si el número de transposiciones de índices $\leftrightarrow j$ es par, la signatura es positiva; y, si el número de transposiciones en los que se descompone la permutación es impar, la signatura es negativa.


Determinantes de orden $2$:
Así, por ejemplo, si $n=2$, decimos que el determinante a calcular es de orden $2$, y es el siguiente $$\begin{vmatrix}a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{vmatrix}$$ En los índices, Ssólo tenemos $2!=2\cdot 1=2$ permutaciones, que son $\bigl(\begin{smallmatrix}
1 &2 \\
1 &2 \\
\end{smallmatrix}\bigr)$
de donde aparece el factor $a_{11}\,a_{22}$, con signatura positiva, pues el número de transposiciones es cero ( par ); y, $\bigl(\begin{smallmatrix}
1 &2 \\
2 &1 \\
\end{smallmatrix}\bigr)$, que nos da el factor $a_{12}\,a_{21}$ con signatura negativa, al haber sólo una transposición de índices ( el uno por el dos y el dos por el uno ). Así pues $$\begin{vmatrix}a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{vmatrix}=a_{11}\,a_{22}-a_{21}\,a_{12}$$

Notemos ahora que la solución del sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas que hemos expuesto al introducir la noción de determinante, bien podemos escribirla así:

$$x_1=\dfrac{ \begin{vmatrix} b_1 & a_{12} \\ b_2 & a_{22} \end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{vmatrix}}$$

$$x_2=\dfrac{\begin{vmatrix}a_{11} & b_1 \\ a_{21} & b_2 \end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{vmatrix}}$$ Lo cual, dicho sea de paso, nos lleva al método de resolución de sistemas compatibles determinados conocido como método de Cramer

Determinantes de orden $3$:
Si $n=3$, decimos que el determinante a calcular es de orden $3$, y es el siguiente $$\begin{vmatrix}a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{vmatrix}$$ En los índices, tenemos ahora $3!=6$ permutaciones, que son:

$\bigl(\begin{smallmatrix}
1 &2 & 3\\
1 &2 & 3\\
\end{smallmatrix}\bigr)$
de donde aparece el factor $a_{11}\,a_{22}\,a_{33}$, con signatura positiva, pues el número de transposiciones es cero ( un número par de transposiciones )

$\bigl(\begin{smallmatrix}
1 &2 & 3\\
1 &3 & 2\\
\end{smallmatrix}\bigr)$, que nos da el factor $a_{11}\,a_{23}\, a_{32}$ con signatura negativa, al haber sólo una ( y por tanto un número impar ) transposición de índices ( $2 \leftrightarrow 3$ )

$\bigl(\begin{smallmatrix}
1 &2 & 3\\
2 &1 & 3\\
\end{smallmatrix}\bigr)$, que nos da el factor $a_{12}\,a_{21}\, a_{33}$ con signatura negativa, al haber sólo una ( y por tanto un número impar ) transposición de índices ( $1 \leftrightarrow 2$ )

$\bigl(\begin{smallmatrix}
1 &2 & 3\\
2 &3 & 1\\
\end{smallmatrix}\bigr)$, que nos da el factor $a_{12}\,a_{23}\, a_{31}$ con signatura positiva, al constar de un número par de transposiciones ( $1 \leftrightarrow 2$ y $3 \leftrightarrow 2$ )

$\bigl(\begin{smallmatrix}
1 &2 & 3\\
3 &2 & 1\\
\end{smallmatrix}\bigr)$, que nos da el factor $a_{13}\,a_{22}\, a_{31}$ con signatura positiva, al constar de una transposición ( $1 \leftrightarrow 3$ )

$\bigl(\begin{smallmatrix}
1 &2 & 3\\
3 &1 & 2\\
\end{smallmatrix}\bigr)$, que nos da el factor $a_{13}\,a_{21}\, a_{32}$ con signatura negativa, al constar de un número par de transposiciones ( $1 \leftrightarrow 3$ y $3 \leftrightarrow 2$ )

Así pues
$\begin{vmatrix}a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{vmatrix}=a_{11}\,a_{22}\,a_{33}+a_{12}\,a_{23}\,a_{31}+a_{21}\,a_{32}\,a_{13}-a_{31}\,a_{22}\,a_{13}-$
                              $-a_{32}\,a_{23}\,a_{11}-a_{21}\,a_{12}\,a_{33}$ ( a lo que solemos llamar regla de Sarrus )

Podemos relacionar fácilmente ésto con la resolución de un sistema de tres ecuaciones lineales con tres incógnitas, compatible determinado. Consideremos el siguiente sistema ecuaciones lineales $$\left\{\begin{matrix}a_{11}\,x_1&+&a_{12}\,x_2&+&a_{13}\,x_3&=&b_1 \\ a_{21}\,x_1&+&a_{22}\,x_2&+&a_{23}\,x_3&=&b_2 \\ a_{31}\,x_1&+&a_{32}\,x_2&+&a_{33}\,x_3&=&b_3 \end{matrix}\right.$$ Entonces la solución vendrá dada por

$$x_1=\dfrac{\begin{vmatrix}b_1 & a_{12} & a_{13} \\ b_2 & a_{22} & a_{23} \\ b_3 & a_{32} & a_{33} \end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{vmatrix}}$$

$$x_2=\dfrac{\begin{vmatrix} a_{11} & b_1 & a_{13} \\ a_{21} & b_2 & a_{23} \\ a_{31} & b_3 & a_{33} \end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{vmatrix}}$$

$$x_3=\dfrac{\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & b_1 \\ a_{21} & a_{22} & b_2 \\ a_{31} & a_{32} & b_3 \end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{vmatrix}}$$

Determinantes de orden mayor que $3$:
Los determinantes de orden mayor que $3$ se calculan aplicando la misma definición. Sin embargo, conviene encontrar técnicas que reduzcan el cuantioso cálculo aritmético que ello supone. En primer lugar, como veremos, las propiedades de los determinantes, permiten reducirlos, obteniendo un buen número de ceros entre sus elementos mediante las operaciones de reducción, lo cual, desde luego, simplifica enormemente el cálculo de los determinantes de orden bajo ( $2$ ó $3$ ); y, por otra parte, expondremos una regla de cálculo, conocida como regla de Laplace ( teorema de Laplace ) que permite desarrollar un determinante por cualquier línea que elijamos ( fila o columna ), la cual se puede aplicar a determinantes de cualquier orden, y que convendrá, claro está, aplicarla en especial a determinantes de orden superior a $3$.

Reducción previa al cálculo de un determinante:

De las propiedades de invriancia del valor del determinante, destacamos la siguiente:

  Si se sustituye una fila, pongamos que la fila $i$-ésima ( que designaremos por $f_i$ ), por la suma $f_i + \lambda\,f_j$ ( siendo $j \neq k$, y $\lambda \in \mathbb{R}$ ), entonces el valor del determinante no varía

  Si se sustituye una columna, pongamos que la fila $j$-ésima ( que designaremos por $c_j$ ), por la suma $c_j + \lambda\,c_j$ ( siendo $j \neq k$ y $\lambda \in \mathbb{R}$), entonces el valor del determinante no varía

Ejemplo:
$\begin{vmatrix}2 & 2 & 3 \\ -1 & 3 & 4 \\ 0 & 1 & 1 \end{vmatrix} \overset{f_2 \leftarrow (1/2)\cdot f_1+f_2}{=} \begin{vmatrix}2 & 2 & 3 \\ 0 & 4 & 11/2 \\ 0 & 1 & 1 \end{vmatrix} \overset{\text{Sarrus}}{=}8-11=-3 $


Regla de Laplace:
Consideremos el determinante de orden $3$ $$\begin{vmatrix}a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{vmatrix}$$ Se demuestra que si elegimos una línea ( pongamos que la fila $i$-ésima ( $i \in \{1,2,3\}$ ), entonces éste es igual a $$a_{i1}\,A_{i1}+a_{i2}\,A_{i2}+a_{i3}\,A_{i3}$$ donde cada $A_{ij}$ ( con $j \in \{1,2,3\}$ ) se denomina adjunto ( o cofactor ) del elemento $a_{ij}$ y viene dado por $(-1)^{i+j}\,\alpha_{ij}$, donde $\alpha_{ij}$ se denomina menor complementario del elemento $a_{ij}$ y se obtiene calculando el determinante de un orden menor ( en este caso concreto va a ser de orden $2$ ) que se obtiene eliminando ( del determinante a calcular ) los elemento pertenecientes a la fila $i$-ésima y los de la columna $j$-ésima.

De igual modo, si se elije una columna ( pongamos que la columna $j$-ésima, $j \in \{1,2,3\}$ ) en lugar de una fila, entonces el valor del determinante ( que obviamente no puede ser otro que el calculado desarrollando por una de las filas ) viene dado por $$a_{j1}\,A_{j1}+a_{j2}\,A_{j2}+a_{j3}\,A_{j3}$$

Ejemplo. Desarrollo de Laplace por la primera fila de un determinante de orden $4$:
$\begin{vmatrix}a&b&c&d \\ f&g&h&i \\ j&k&l&m \\ n&p&q&r \end{vmatrix}=a\,\begin{vmatrix}g&h&i \\ k&l&m \\ p&q&r\end{vmatrix}-b\,\begin{vmatrix}f&h&i \\ j&l&m \\ n&q&r\end{vmatrix}+c\,\begin{vmatrix}f&g&i \\ j&k&m \\ n&p&r\end{vmatrix}-d\,\begin{vmatrix}f&g&h \\ j&k&l \\ n&p&q\end{vmatrix}$ Llegados a este punto, para acabar el cálculo se puede optar por desarrollar por Laplace cada uno de los $4$ determinantes de orden $3$ ( obteniendo determinantes de orden $2$ ), o bien aplicar la regla de Sarrus a cada uno de los determinantes de orden $3$.

Consideremos, en general, el determinante de orden $n$ de una matriz $A_{n \times n}$. Entonces, si elegimos una línea ( pongamos que la fila $i$-ésima ( $i \in \{1,2,\ldots,n\}$ ), éste es igual a $$a_{i1}\,A_{i1}+a_{i2}\,A_{i2}+\ldots+a_{in}\,A_{i3n}$$ donde $A_{ij}$ ( con $j \in \{1,2,\ldots,n\}$ ) es el adjunto o cofactor del elemento $a_{ij}$; y, de igual modo, si se elije una columna ( pongamos que la columna $j$-ésima, $j \in \{1,2,\ldots,n\}$ ) en lugar de una fila, entonces el valor del determinante ( que obviamente no puede ser otro que el calculado desarrollando por una de las filas ) viene dado por $$a_{j1}\,A_{j1}+a_{j2}\,A_{j2}+\ldots+a_{jn}\,A_{jn}$$
$\square$