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viernes, 30 de junio de 2017
Ejercicios resueltos del examen de selectividad de Madrid de Matemáticas II, opciones A y B, curso 2016-2017
Etiquetas:
exámenes resueltos y comentados
miércoles, 28 de junio de 2017
Aplicación del teorema de la probabilidad total y del teorema de Bayes
ENUNCIADO. eL 40\,\% de los sábados Marta va al cine, el 30\,\% va de compras y el 30\,\% restante juega a videojuegos. Cuando va al cine, el 60\,\% de las veces lo hace con sus compañeros de baloncesto. Lo mismo ocurre el 20\,\% de las veces que va de compras, y el 80\,\% de las veces que juega a videojuegos. Se pide:
a) Hallar la probabilidad de que el próximo sábado Marta no quede con sus compañeros de baloncesto
b) Si se sabe que Marta ha quedado con sus compañeros de baloncesto, ¿ cuál es la probabilidad de que vayan al cine ?
SOLUCIÓN.
a)
Denotemos por: C el suceso 'ir al cine'; R, 'ir de compras'; V, 'jugar a videojuegos'; y B, 'ir con los compañeros de baloncesto'. Según el enunciado, P(C)=\dfrac{40}{100}=\dfrac{2}{5}, P(R)=\dfrac{30}{100}=\dfrac{3}{10}, P(V)=\dfrac{30}{100}=\dfrac{3}{10}; P(B|C)=\dfrac{60}{100}=\dfrac{3}{5} ; P(B|R)=\dfrac{20}{100}=\dfrac{1}{5} y P(B|V)=\dfrac{80}{100}=\dfrac{4}{5}
Entonces, B=(B\cap C) \cup (B\cap R) \cup (B\cap V) y como (B\cap C) \cap (B\cap R) \cap (B\cap V) = \emptyset ( son incompatibles ), podemos escribir P(B)=P(B\cap C)+P(B\cap R)+P(B\cap V) que, por la definición de probabilidad condicionada, puede ponerse de la forma ( teorema de la probabilidad total ) P(B)=P(B|C)P(C)+P(B|R)P(R)+P(B|V)P(V)
b)
P(C|B)\overset{\text{teorema de Bayes}}{=}\dfrac{P(B|C)P(C)}{P(B)}=\dfrac{\dfrac{3}{5}\cdot \dfrac{2}{5}}{\dfrac{27}{50}}=\dfrac{4}{9}
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a) Hallar la probabilidad de que el próximo sábado Marta no quede con sus compañeros de baloncesto
b) Si se sabe que Marta ha quedado con sus compañeros de baloncesto, ¿ cuál es la probabilidad de que vayan al cine ?
SOLUCIÓN.
a)
Denotemos por: C el suceso 'ir al cine'; R, 'ir de compras'; V, 'jugar a videojuegos'; y B, 'ir con los compañeros de baloncesto'. Según el enunciado, P(C)=\dfrac{40}{100}=\dfrac{2}{5}, P(R)=\dfrac{30}{100}=\dfrac{3}{10}, P(V)=\dfrac{30}{100}=\dfrac{3}{10}; P(B|C)=\dfrac{60}{100}=\dfrac{3}{5} ; P(B|R)=\dfrac{20}{100}=\dfrac{1}{5} y P(B|V)=\dfrac{80}{100}=\dfrac{4}{5}
Entonces, B=(B\cap C) \cup (B\cap R) \cup (B\cap V) y como (B\cap C) \cap (B\cap R) \cap (B\cap V) = \emptyset ( son incompatibles ), podemos escribir P(B)=P(B\cap C)+P(B\cap R)+P(B\cap V) que, por la definición de probabilidad condicionada, puede ponerse de la forma ( teorema de la probabilidad total ) P(B)=P(B|C)P(C)+P(B|R)P(R)+P(B|V)P(V)
y con los datos obtenemos P(B)=\dfrac{3}{5}\cdot \dfrac{2}{5}+\dfrac{1}{5}\cdot \dfrac{3}{2}+\dfrac{4}{5}\cdot \dfrac{3}{10}=\dfrac{27}{50}
luego la probabilidad pedida de \bar{B} ( 'no quedar con los compañeros de baloncesto' ) es igual a P(\bar{B})=1-P(B)=1-\dfrac{27}{50}=\dfrac{23}{50}
b)
P(C|B)\overset{\text{teorema de Bayes}}{=}\dfrac{P(B|C)P(C)}{P(B)}=\dfrac{\dfrac{3}{5}\cdot \dfrac{2}{5}}{\dfrac{27}{50}}=\dfrac{4}{9}
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Etiquetas:
cálculo de probabilidades,
probabilidad,
teorema de Bayes,
teorema de la probabilidad total
Geometría analítica
ENUNCIADO.
a) Determinar la distancia entre las rectas r_1:x=y=z y r_2:\left\{\begin{matrix}x+y-1=0\\ x-z+1=0\end{matrix}\right.
b) Obténgase el punto de corte de la recta s:x=2-y=z-1 con el plano perpendicular a s que pasa por el origen de coordenadas
SOLUCIÓN.
a)
En primer lugar vamos a estudiar la incidencia entre r_1 y r_2.
Un vector director de r_1 es \vec{u}_1=(1,1,1)
Encontremos ahora un vector director de r_2. De las ecuaciones implícitas de la recta podemos escribir la misma en forma paramétrica de la forma \left\{\begin{matrix}x&=&-\lambda+2 \\ y&=&\lambda-1 \\ z&=&\lambda \end{matrix}\right. y despejando el parámetro \lambda de cada una de ellas, \left\{\begin{matrix}\lambda&=&\dfrac{x-2}{-1}\\ \lambda&=&y+1 \\ \lambda&=&z \end{matrix}\right. por lo que la ecuación en forma continua es \dfrac{x-2}{-1}=\dfrac{y-(-1)}{1}=\dfrac{z}{1} y de ello deducimos que un vector director de r_2 es \vec{u}_2=(-1,1,1)
A continuación necesitamos conocer un punto de cada una de las dos rectas, que denotaremos por P_{r_1} y P_{r_2} para construir un vector que apunte de uno a otro ( de una recta a la otra ): \vec{P_{r_1}P_{r_2}}, ya que: i) si \text{rango}\{\vec{u}_1,\vec{u}_2,\vec{P_{r_1}P_{r_2}}\}=3 las rectas se cruzan pero no se cortan, con lo cual la distancia pedida será distinta de cero, y, ii) en caso de que \text{rango}\{\vec{u}_1,\vec{u}_2,\vec{P_{r_1}P_{r_2}}\}=2 y \text{rango}\{\vec{u}_1,\vec{u}_2\}=1, las rectas son paralelas y distintas, con lo cual la distancia entre estas también es distinta de cero.
Es evidente que un punto de r_1 es P_{r_1}=(0,0,0). Por otra parte, fijando el parámetro \lambda ( pongamos que \lambda:=0 ) en las ecuaciones paramétricas de r_2, encontramos un punto de la misma, P_{r_2}=(2,-1,0). Hecho esto, \vec{P_{r_1}P_{r_2}}=(2-0,-1-0,0-0)=(2,-1,0)
Como \begin{vmatrix}1&1&1\\-1&1&1\\2&-1&0\end{vmatrix}=2\neq 0, deducimos de ello que \text{rango}\{\vec{u}_1,\vec{u}_2,\vec{P_{r_1}P_{r_2}}\}=3 y por tanto r_1 y r_2 se cruzan pero no se cortan, con lo cual la distancia pedida es distinta de cero.
Para calcular la distancia d(r_1,r_2), tendremos en cuenta que los vectores \{\vec{u}_1,\vec{u}_2,\vec{P_{r_1}P_{r_2}}\} forman un paralelepípedo de volumen igual al valor absoluto del producto mixto de los tres \left|[\vec{u}_1,\vec{u}_2,\vec{P_{r_1}P_{r_2}}]\right|, pero ese mismo volumen puede calcularse también mediante d(r_1,r_2)\cdot \left\|\vec{u}_1 \times \vec{u}_2\right\| luego d(r_1,r_2)=\dfrac{\left|[\vec{u}_1,\vec{u}_2,\vec{P_{r_1}P_{r_2}}]\right|}{\left\|\vec{u}_1 \times \vec{u}_2\right\|} \quad \quad (1)
donde
\left|[\vec{u}_1,\vec{u}_2,\vec{P_{r_1}P_{r_2}}]\right|=2
Por otra parte \vec{u}_1 \times \vec{u}_2=\begin{vmatrix}\vec{i}&\vec{j}&\vec{k}\\1&1&1\\-1&1&1\end{vmatrix}=2\,\vec{k}=(0,-2,2)
b)
La recta s puede expresarse de la forma ( continua ) s:\dfrac{x}{1}=\dfrac{y-2}{-1}=\dfrac{z-1}{1} \quad \quad (2), luego un vector director de la recta es \vec{u}_s=(1,-1,1), que a su vez es un vector perpendicular al plano \pi ( perpendicular a s ); entonces, como la ecuación general de un plano es Ax+By+Cz+D=0 y A=1, B=-1 y C=1, podemos escribir \pi:x-y+z+D=0 \quad \quad (3) . Y como sabemos que O(0,0,0) es un punto de \pi, deducimos ( sustituyendo las coordenadas de O en la ecuación (3) ) que D=0, con lo cual vemos que la ecuación del plano pedido es \pi:x-y+z=0
La ecuación de la recta (2) también podemos expresarla en forma implícita (como la intersección de dos planos): s:\left\{\begin{matrix}x=2-y\\x=z-1\end{matrix}\right.
\sim \left\{\begin{matrix}x&-&y&+&z&=&0 \\ &&2y&-&z&=&2 \\ &&&&3z&=&4\end{matrix}\right.
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a) Determinar la distancia entre las rectas r_1:x=y=z y r_2:\left\{\begin{matrix}x+y-1=0\\ x-z+1=0\end{matrix}\right.
b) Obténgase el punto de corte de la recta s:x=2-y=z-1 con el plano perpendicular a s que pasa por el origen de coordenadas
SOLUCIÓN.
a)
En primer lugar vamos a estudiar la incidencia entre r_1 y r_2.
Un vector director de r_1 es \vec{u}_1=(1,1,1)
Encontremos ahora un vector director de r_2. De las ecuaciones implícitas de la recta podemos escribir la misma en forma paramétrica de la forma \left\{\begin{matrix}x&=&-\lambda+2 \\ y&=&\lambda-1 \\ z&=&\lambda \end{matrix}\right. y despejando el parámetro \lambda de cada una de ellas, \left\{\begin{matrix}\lambda&=&\dfrac{x-2}{-1}\\ \lambda&=&y+1 \\ \lambda&=&z \end{matrix}\right. por lo que la ecuación en forma continua es \dfrac{x-2}{-1}=\dfrac{y-(-1)}{1}=\dfrac{z}{1} y de ello deducimos que un vector director de r_2 es \vec{u}_2=(-1,1,1)
A continuación necesitamos conocer un punto de cada una de las dos rectas, que denotaremos por P_{r_1} y P_{r_2} para construir un vector que apunte de uno a otro ( de una recta a la otra ): \vec{P_{r_1}P_{r_2}}, ya que: i) si \text{rango}\{\vec{u}_1,\vec{u}_2,\vec{P_{r_1}P_{r_2}}\}=3 las rectas se cruzan pero no se cortan, con lo cual la distancia pedida será distinta de cero, y, ii) en caso de que \text{rango}\{\vec{u}_1,\vec{u}_2,\vec{P_{r_1}P_{r_2}}\}=2 y \text{rango}\{\vec{u}_1,\vec{u}_2\}=1, las rectas son paralelas y distintas, con lo cual la distancia entre estas también es distinta de cero.
Es evidente que un punto de r_1 es P_{r_1}=(0,0,0). Por otra parte, fijando el parámetro \lambda ( pongamos que \lambda:=0 ) en las ecuaciones paramétricas de r_2, encontramos un punto de la misma, P_{r_2}=(2,-1,0). Hecho esto, \vec{P_{r_1}P_{r_2}}=(2-0,-1-0,0-0)=(2,-1,0)
Como \begin{vmatrix}1&1&1\\-1&1&1\\2&-1&0\end{vmatrix}=2\neq 0, deducimos de ello que \text{rango}\{\vec{u}_1,\vec{u}_2,\vec{P_{r_1}P_{r_2}}\}=3 y por tanto r_1 y r_2 se cruzan pero no se cortan, con lo cual la distancia pedida es distinta de cero.
Para calcular la distancia d(r_1,r_2), tendremos en cuenta que los vectores \{\vec{u}_1,\vec{u}_2,\vec{P_{r_1}P_{r_2}}\} forman un paralelepípedo de volumen igual al valor absoluto del producto mixto de los tres \left|[\vec{u}_1,\vec{u}_2,\vec{P_{r_1}P_{r_2}}]\right|, pero ese mismo volumen puede calcularse también mediante d(r_1,r_2)\cdot \left\|\vec{u}_1 \times \vec{u}_2\right\| luego d(r_1,r_2)=\dfrac{\left|[\vec{u}_1,\vec{u}_2,\vec{P_{r_1}P_{r_2}}]\right|}{\left\|\vec{u}_1 \times \vec{u}_2\right\|} \quad \quad (1)
donde
\left|[\vec{u}_1,\vec{u}_2,\vec{P_{r_1}P_{r_2}}]\right|=2
ya que \begin{vmatrix}1&1&1\\-1&1&1\\2&-1&0\end{vmatrix}=2
Por otra parte \vec{u}_1 \times \vec{u}_2=\begin{vmatrix}\vec{i}&\vec{j}&\vec{k}\\1&1&1\\-1&1&1\end{vmatrix}=2\,\vec{k}=(0,-2,2)
luego \left\|\vec{u}_1 \times \vec{u}_2\right\|=2\,|\sqrt{2}|. Y, finalmente, sustituyendo en (1) llegamos a d(r_1,r_2)=\dfrac{2}{2\,|\sqrt{2}|}=\dfrac{|\sqrt{2}|}{2}
b)
La recta s puede expresarse de la forma ( continua ) s:\dfrac{x}{1}=\dfrac{y-2}{-1}=\dfrac{z-1}{1} \quad \quad (2), luego un vector director de la recta es \vec{u}_s=(1,-1,1), que a su vez es un vector perpendicular al plano \pi ( perpendicular a s ); entonces, como la ecuación general de un plano es Ax+By+Cz+D=0 y A=1, B=-1 y C=1, podemos escribir \pi:x-y+z+D=0 \quad \quad (3) . Y como sabemos que O(0,0,0) es un punto de \pi, deducimos ( sustituyendo las coordenadas de O en la ecuación (3) ) que D=0, con lo cual vemos que la ecuación del plano pedido es \pi:x-y+z=0
La ecuación de la recta (2) también podemos expresarla en forma implícita (como la intersección de dos planos): s:\left\{\begin{matrix}x=2-y\\x=z-1\end{matrix}\right.
que junto con la ecuación del plano \pi:x-y+z=0 nos lleva al sistema de ecuaciones \left\{\begin{matrix}x&-&y&+&z&=&0 \\ x&+&y&&&=&2 \\ x&&&-&z&=&-1\end{matrix}\right. \sim \left\{\begin{matrix}x&-&y&+&z&=&0 \\ &&2y&-&z&=&2 \\ &&y&-&2z&=&-1\end{matrix}\right.\sim
\sim \left\{\begin{matrix}x&-&y&+&z&=&0 \\ &&2y&-&z&=&2 \\ &&&&3z&=&4\end{matrix}\right.
con lo cual, despejando de la última ecuación, z=\dfrac{4}{3}; sustituyendo en la segunda, y=\dfrac{5}{3}; y, sustituyendo estos dos valores en la primera ecuación, x=\dfrac{1}{3}. Así pues el punto de corte viene dado por ( \dfrac{1}{3}\,,\,\dfrac{5}{3}\,,\,\dfrac{4}{3})
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Etiquetas:
álgebra y geometría,
distancia entre dos rectas que se cruzan y que no se cortan,
Geometría analítica,
incidencia de rectas en el espacio,
plano,
rectas
Cálculo con matrices y determinantes
ENUNCIADO. Dadas las matrices P=\begin{pmatrix}1&2&1\\ 3&2&2 \\ 2&3&2\end{pmatrix} y J=\begin{pmatrix}-1&0&0\\ 0&2&0 \\ 0&0&1\end{pmatrix} se pide:
a) Determinar P^{-1}
b) Determinar B^{-1}, siendo B=P^{-1}J^{-1}
c) Calcular el determinante de A^2, siendo A=PJP^{-1}
SOLUCIÓN.
a)
Una condición necesaria y suficiente para que una matriz cuadrada tenga asociada una matriz inversa es que su determinante sea distinto de cero. Veamos si lo es: \text{det}(P)=\begin{vmatrix}1&2&1\\ 3&2&2 \\ 2&3&2\end{vmatrix}=-1, luego P tiene inversa. Sugiero que se utilice el método de Gauss-Jordan tal como se muestra en [este otro ejercicio rutinario], obteniendo P^{-1}=\begin{pmatrix}2&1&-2\\ 2&0&1 \\ -5&-1&4\end{pmatrix}
b)
Notemos que B=P^{-1}J^{-1}=(JP)^{-1} y, por tanto, B^{-1}=\left((JP)^{-1}\right)^{-1}=JP=\begin{pmatrix}-1&0&0\\ 0&2&0 \\ 0&0&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&2&1\\ 3&2&2 \\ 2&3&2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-1&-2&-1\\ 6&4&4 \\ 2&3&2\end{pmatrix}
c)
A^2=(PJP^{-1})^2=(PJP^{-1})(PJP^{-1})=PJ(P^{-1}P)JP^{-1}=PJIJP^{-1}=
=PJJP^{-1}=PJ^2P^{-1}=P(J^2P^{-1})\quad \quad \quad (1)
Entonces,
J^2=\begin{pmatrix}-1&0&0\\ 0&2&0 \\ 0&0&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}-1&0&0\\ 0&2&0 \\ 0&0&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&0&0\\ 0&4&0 \\ 0&0&1\end{pmatrix}
y por tanto J^2P^{-1}=\begin{pmatrix}1&0&0\\ 0&4&0 \\ 0&0&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}2&1&-2\\ 2&0&1 \\ -5&-1&4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2&1&-2\\ 8&0&-4 \\ -5&-1&4\end{pmatrix} luego, de (1), llegamos a A^2=\begin{pmatrix}1&2&1\\ 3&2&2 \\ 2&3&2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}2&1&-2\\ 8&0&-4 \\ -5&-1&4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}13&0&-6\\ 12&1&-6 \\ 18&0&-8\end{pmatrix}
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a) Determinar P^{-1}
b) Determinar B^{-1}, siendo B=P^{-1}J^{-1}
c) Calcular el determinante de A^2, siendo A=PJP^{-1}
SOLUCIÓN.
a)
Una condición necesaria y suficiente para que una matriz cuadrada tenga asociada una matriz inversa es que su determinante sea distinto de cero. Veamos si lo es: \text{det}(P)=\begin{vmatrix}1&2&1\\ 3&2&2 \\ 2&3&2\end{vmatrix}=-1, luego P tiene inversa. Sugiero que se utilice el método de Gauss-Jordan tal como se muestra en [este otro ejercicio rutinario], obteniendo P^{-1}=\begin{pmatrix}2&1&-2\\ 2&0&1 \\ -5&-1&4\end{pmatrix}
b)
Notemos que B=P^{-1}J^{-1}=(JP)^{-1} y, por tanto, B^{-1}=\left((JP)^{-1}\right)^{-1}=JP=\begin{pmatrix}-1&0&0\\ 0&2&0 \\ 0&0&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&2&1\\ 3&2&2 \\ 2&3&2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-1&-2&-1\\ 6&4&4 \\ 2&3&2\end{pmatrix}
c)
A^2=(PJP^{-1})^2=(PJP^{-1})(PJP^{-1})=PJ(P^{-1}P)JP^{-1}=PJIJP^{-1}=
=PJJP^{-1}=PJ^2P^{-1}=P(J^2P^{-1})\quad \quad \quad (1)
Entonces,
J^2=\begin{pmatrix}-1&0&0\\ 0&2&0 \\ 0&0&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}-1&0&0\\ 0&2&0 \\ 0&0&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&0&0\\ 0&4&0 \\ 0&0&1\end{pmatrix}
y por tanto J^2P^{-1}=\begin{pmatrix}1&0&0\\ 0&4&0 \\ 0&0&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}2&1&-2\\ 2&0&1 \\ -5&-1&4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2&1&-2\\ 8&0&-4 \\ -5&-1&4\end{pmatrix} luego, de (1), llegamos a A^2=\begin{pmatrix}1&2&1\\ 3&2&2 \\ 2&3&2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}2&1&-2\\ 8&0&-4 \\ -5&-1&4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}13&0&-6\\ 12&1&-6 \\ 18&0&-8\end{pmatrix}
Con lo cual \text{det}(A^2)=\begin{vmatrix}13&0&-6\\ 12&1&-6 \\ 18&0&-8\end{vmatrix}=4
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Etiquetas:
cálculo con matrices,
determinantes,
matrices
Análisis de funciones y cálculo integral
ENUNCIADO. Dadas las funciones f(x)=\dfrac{2}{x} y g(x)=\sin\,x, se pide:
a) Calcular \displaystyle \lim_{x\rightarrow 0}\,(f(x)-\dfrac{2}{g(x)})
b) Calcular la ecuación de la recta tangente a la curva y=f(x) en el punto (\dfrac{1}{2}\,,\,4)
c) Calcular el área delimitada por la curva y=f(x) y la recta y=-x+3
SOLUCIÓN.
a)
Cuando x \rightarrow 0, x \sim \sin\,x ( son infinitésimos equivalentes ), luego \displaystyle \lim_{x\rightarrow 0}\,(\dfrac{2}{x}-\dfrac{2}{\sin\,x})=2\,\displaystyle \lim_{x\rightarrow 0}\,(\dfrac{2}{x}-\dfrac{2}{x})=0
b)En x=\dfrac{1}{2} podemos determinar la recta tangente a la gráfica de la función f(x) pues en ese punto la función es derivable. Sea la ecuación en forma explícita de la recta tangente t:y=mx+k en dicho punto. Vamos a determinar los valores de los coeficientes m ( pendiente de la recta ) y k ( ordenada en el origen ).
m\overset{\text{def}}{=}f'(1/2)=((\dfrac{2}{x})')|_{x=1/2}=(-\dfrac{2}{x^2})|_{x=1/2}=-8, con lo cual podemos escribir t:y=-8\,x+k, veamos ahora, cuál es el valor de k: como en x=1/2 se tiene que cumplir que f(1/2)=(-8\,x+k)_{x=1/2}, vemos que f(1/2)=-8\cdot \dfrac{1}{2} +k, luego k=f(1/2)+4, esto es, k=(\dfrac{2}{1/2})+4=8. Así concluimos que la ecuación de la recta tangente pedida es t:y=-8\,x+8
c) El siguiente gráfico ( las gráficas de las dos funciones inciden en el primer cuadrante ) ayuda a visualizar el área pedida
Entonces, \text{Área}=\displaystyle \int_{x_A}^{x_B}\,((-x+3)-f(x))\,dx=\int_{x_A}^{x_B}\,((-x+3)-\dfrac{2}{x})\,dx \quad \quad (1)
Así, de (1), \text{Área}=\displaystyle \int_{1}^{2}\,\dfrac{-x^2+3x-2}{x}\,dx=\int_{1}^{2}\,(-x+3-\dfrac{2}{x})\,dx=\displaystyle -\dfrac{1}{2}\,\left[x^2\right]_{1}^{2}+3\,\left[x\right]_{1}^{2}-2\,\left[\ln\,x\right]_{1}^{2}
=-\dfrac{1}{2}\cdot (4-1)+3\cdot (2-1)-2\cdot (\ln\,2-\ln\,1)=-\dfrac{3}{2}+3-2\,\ln\,2=
=(\dfrac{3}{2}-2\,\ln\,2) \; \text{u.a.} \approx 0,1137 \; \text{u.a.}
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a) Calcular \displaystyle \lim_{x\rightarrow 0}\,(f(x)-\dfrac{2}{g(x)})
b) Calcular la ecuación de la recta tangente a la curva y=f(x) en el punto (\dfrac{1}{2}\,,\,4)
c) Calcular el área delimitada por la curva y=f(x) y la recta y=-x+3
SOLUCIÓN.
a)
Cuando x \rightarrow 0, x \sim \sin\,x ( son infinitésimos equivalentes ), luego \displaystyle \lim_{x\rightarrow 0}\,(\dfrac{2}{x}-\dfrac{2}{\sin\,x})=2\,\displaystyle \lim_{x\rightarrow 0}\,(\dfrac{2}{x}-\dfrac{2}{x})=0
b)En x=\dfrac{1}{2} podemos determinar la recta tangente a la gráfica de la función f(x) pues en ese punto la función es derivable. Sea la ecuación en forma explícita de la recta tangente t:y=mx+k en dicho punto. Vamos a determinar los valores de los coeficientes m ( pendiente de la recta ) y k ( ordenada en el origen ).
m\overset{\text{def}}{=}f'(1/2)=((\dfrac{2}{x})')|_{x=1/2}=(-\dfrac{2}{x^2})|_{x=1/2}=-8, con lo cual podemos escribir t:y=-8\,x+k, veamos ahora, cuál es el valor de k: como en x=1/2 se tiene que cumplir que f(1/2)=(-8\,x+k)_{x=1/2}, vemos que f(1/2)=-8\cdot \dfrac{1}{2} +k, luego k=f(1/2)+4, esto es, k=(\dfrac{2}{1/2})+4=8. Así concluimos que la ecuación de la recta tangente pedida es t:y=-8\,x+8
c) El siguiente gráfico ( las gráficas de las dos funciones inciden en el primer cuadrante ) ayuda a visualizar el área pedida
Entonces, \text{Área}=\displaystyle \int_{x_A}^{x_B}\,((-x+3)-f(x))\,dx=\int_{x_A}^{x_B}\,((-x+3)-\dfrac{2}{x})\,dx \quad \quad (1)
Necesitamos conocer los límite de integración, que son las abscisas de los puntos de intersección A y B, y que se calculan resolviendo la ecuación \dfrac{2}{x}=-x+3
esto es x^2-3x+2=0\Leftrightarrow x=\dfrac{-(-3)\pm \sqrt{(-3)^2-4\cdot 1 \cdot 2}}{2 \cdot 1}=\dfrac{3\pm 1}{2}=\left\{\begin{matrix}2 \\ 1 \end{matrix}\right.
con lo cual x_A=1 y x_B=2
Así, de (1), \text{Área}=\displaystyle \int_{1}^{2}\,\dfrac{-x^2+3x-2}{x}\,dx=\int_{1}^{2}\,(-x+3-\dfrac{2}{x})\,dx=\displaystyle -\dfrac{1}{2}\,\left[x^2\right]_{1}^{2}+3\,\left[x\right]_{1}^{2}-2\,\left[\ln\,x\right]_{1}^{2}
=-\dfrac{1}{2}\cdot (4-1)+3\cdot (2-1)-2\cdot (\ln\,2-\ln\,1)=-\dfrac{3}{2}+3-2\,\ln\,2=
=(\dfrac{3}{2}-2\,\ln\,2) \; \text{u.a.} \approx 0,1137 \; \text{u.a.}
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Etiquetas:
análisis de funciones,
área de un recinto,
integral definida
Análisis y cálculo
ENUNCIADO. Dada la función f(x)=\dfrac{x^2+x+6}{x-2}, se pide:
a) Determínese el dominio de definición y las rectas asíntotas de la función
b) Calcúlese el límite \displaystyle \lim_{x \rightarrow \infty}\,\dfrac{f(x)}{x}
c) Calcúlese \displaystyle \int_{3}^{5}\,f(x)\,dx
SOLUCIÓN.
a)
Recordemos que \text{Dom}\,f\overset{\text{def}}{=}\{x\in \mathbb{R}: f(x)\in \mathbb{R}\}. Veamos, primero, si se puede factorizar el polinomio del numerado x^2+x+6; démonos cuenta de que no tiene raíces ( reales ) pues el discriminante de la ecuación de segundo grado 1-4\cdot 6\cdot 1 \prec 0, luego no tiene raíces en \mathbb{R}, luego x^2+x+6 no puede factorizarse. Así, el único número real que no tiene imagen por f es x=2, pues este valor anula el denominador ( y no el numerador ) dando como resultado un infinito. Por consiguiente, \text{Dom}\,f=\mathbb{R}\setminus\{2\}
Por lo dicho anteriormente, sabemos que la función dada tiene un (recta) asíntota vertical, de ecuación \text{a.v.}:x=2. A continuación, examinemos si tiene (rectas) asíntotas oblicuas, que, desde luego, son del tipo: a.o.:y=mx+k. Primero, calcularemos la pendiente de esta(s) recta(s) m\overset{\text{def}}{=}\displaystyle \lim_{x\rightarrow \infty}\,f'(x)=\lim_{x\rightarrow \infty}\,\dfrac{f(x)}{x}=\lim_{x\rightarrow \infty}\,\dfrac{x^2+x+6}{x^2-2x}=1 \quad \quad (1)
b)
En (1) ya se ha calculado este límite, que es igual a 1
c)
Calculemos una primitiva de f(x): F(x)=\int\,f(x)\,dx=\int\,\dfrac{x^2+x+6}{x-2}\,dx \quad \quad (1)
\square
a) Determínese el dominio de definición y las rectas asíntotas de la función
b) Calcúlese el límite \displaystyle \lim_{x \rightarrow \infty}\,\dfrac{f(x)}{x}
c) Calcúlese \displaystyle \int_{3}^{5}\,f(x)\,dx
SOLUCIÓN.
a)
Recordemos que \text{Dom}\,f\overset{\text{def}}{=}\{x\in \mathbb{R}: f(x)\in \mathbb{R}\}. Veamos, primero, si se puede factorizar el polinomio del numerado x^2+x+6; démonos cuenta de que no tiene raíces ( reales ) pues el discriminante de la ecuación de segundo grado 1-4\cdot 6\cdot 1 \prec 0, luego no tiene raíces en \mathbb{R}, luego x^2+x+6 no puede factorizarse. Así, el único número real que no tiene imagen por f es x=2, pues este valor anula el denominador ( y no el numerador ) dando como resultado un infinito. Por consiguiente, \text{Dom}\,f=\mathbb{R}\setminus\{2\}
Por lo dicho anteriormente, sabemos que la función dada tiene un (recta) asíntota vertical, de ecuación \text{a.v.}:x=2. A continuación, examinemos si tiene (rectas) asíntotas oblicuas, que, desde luego, son del tipo: a.o.:y=mx+k. Primero, calcularemos la pendiente de esta(s) recta(s) m\overset{\text{def}}{=}\displaystyle \lim_{x\rightarrow \infty}\,f'(x)=\lim_{x\rightarrow \infty}\,\dfrac{f(x)}{x}=\lim_{x\rightarrow \infty}\,\dfrac{x^2+x+6}{x^2-2x}=1 \quad \quad (1)
A continuación, calcularemos el valor de la ordenada en el origen k\overset{\text{def}}{=}\displaystyle \lim_{x\rightarrow \infty}\,(f(x)-mx)=\lim_{x\rightarrow \infty}\,(f(x)-x)=\lim_{x\rightarrow \infty}\,\dfrac{3x+6}{x-2}=3
Así pues hay una sóla asíntota oblicua: a.o.:y=x+3. Y como m\neq 0, no la función no tiene asíntotas horizontales )
b)
En (1) ya se ha calculado este límite, que es igual a 1
c)
Calculemos una primitiva de f(x): F(x)=\int\,f(x)\,dx=\int\,\dfrac{x^2+x+6}{x-2}\,dx \quad \quad (1)
Haciendo el cambio de variable t=x-2, obtenemos dt=(x-2)'\,dx=dx; entonces x=t+2, por tanto (1) nos queda \int\,\dfrac{(t+2)^2+(t+2)+6}{t}\,dt=\int\,\dfrac{t^2+5t+12}{t}\,dt=\int\,t\,dt+5\,\int\,dt+12\,\int\,\dfrac{dt}{t}=
=\dfrac{1}{2}\,t^2+5\,t+12\,\ln\,|t|
Vamos ahora a aplicar la regla de Barrow para calcular la integral definida, pero para ello debemos tener en cuenta cuáles son los nuevos límites de integración ( con el cambio de variable ): cuando x=3, t=1; y para x=5, t=3, luego \int_{3}^{5}\,f(x)\,dx=\left[\dfrac{1}{2}\,t^2+5\,t+12\,\ln\,|t|\right]_{1}^{3}=
=(\dfrac{1}{2}\cdot 3^2+5\cdot 3+12\cdot \ln\,3)-(\dfrac{1}{2}\cdot 1^2+5\cdot 1+12\cdot \ln\,1)=12\cdot \ln\,3+14
\square
Análisis de funciones
ENUNCIADO. Se administra una medicina a un enfermo y t horas después la concentración en sangre del principio activo viene dada por c(t)=t\,e^{-t/2} ( en miligramos por mililitro ). Determínese el valor máximo de la concentración e indique en qué momento se alcanza dicho valor máximo. Sabiendo que la máxima concentración sin peligro para el paciente es de 1 miligramo por mililitro, señale si en algún momento hay riesgo.
SOLUCIÓN.
Imponiendo la condición necesaria de extremos relativos, c'(t)=0, y siendo c'(t)=e^{-t/2}\,(1-\dfrac{t}{2}), dichos extremos han de ser solución de la ecuación e^{-t/2}\,(1-\dfrac{t}{2})=0, encontrando un único valor como solución: t=2 horas. Para ver si corresponde a un máximo local, utilizaremos el criterio del signo de la segunda derivada, c''(t)=-\dfrac{1}{2}\,e^{-t/2}\,((2-\dfrac{t}{2}) ( se ruega al lector que reproduzca los cálculos omitidos ); así, c''(2)=-\dfrac{1}{2e} \prec 0, de lo cual deducimos que t=2 es la abscisa de un máximo local, y teniendo en cuenta que \text{Dom}\,c(t)=[0\,,\,+\infty)\subset \mathbb{R} y \displaystyle \lim_{t\rightarrow +\infty}\,c(t)=0, dicho máximo es también el máximo absoluto.
La máxima concentración en sangre del principio activo es pues c(2)=2\cdot e^{-2/2}=\dfrac{2}{e} \approx 0,7 \; \dfrac{\text{mg}}{\text{ml}}\prec 1\; \dfrac{\text{mg}}{\text{ml}}, luego no habrá ningún momento de riesgo para el paciente. \square
SOLUCIÓN.
Imponiendo la condición necesaria de extremos relativos, c'(t)=0, y siendo c'(t)=e^{-t/2}\,(1-\dfrac{t}{2}), dichos extremos han de ser solución de la ecuación e^{-t/2}\,(1-\dfrac{t}{2})=0, encontrando un único valor como solución: t=2 horas. Para ver si corresponde a un máximo local, utilizaremos el criterio del signo de la segunda derivada, c''(t)=-\dfrac{1}{2}\,e^{-t/2}\,((2-\dfrac{t}{2}) ( se ruega al lector que reproduzca los cálculos omitidos ); así, c''(2)=-\dfrac{1}{2e} \prec 0, de lo cual deducimos que t=2 es la abscisa de un máximo local, y teniendo en cuenta que \text{Dom}\,c(t)=[0\,,\,+\infty)\subset \mathbb{R} y \displaystyle \lim_{t\rightarrow +\infty}\,c(t)=0, dicho máximo es también el máximo absoluto.
La máxima concentración en sangre del principio activo es pues c(2)=2\cdot e^{-2/2}=\dfrac{2}{e} \approx 0,7 \; \dfrac{\text{mg}}{\text{ml}}\prec 1\; \dfrac{\text{mg}}{\text{ml}}, luego no habrá ningún momento de riesgo para el paciente. \square
Geometría analítica en el espacio R^3
ENUNCIADO. Dados los puntos P(1,-2,1), Q(-4,0,1) , R(-3,1,2), S(0,-3,0). Se pide:
a) Hallar la ecuación del plano que contiene a P, Q y R
b) Estudiar la posición relativa de la recta r que pasa por los puntos P y Q, y la recta s que pasa por los puntos R y S
c) Hallar el área del triángulo cuyos vértices son los puntos P, Q y R
SOLUCIÓN.
a) Denotemos por \pi al plano pedido. Un vector perpendicular a \pi es \vec{PQ}\times \vec{PR}=\begin{vmatrix}\vec{i}&\vec{j}&\vec{k}\\-5&2&0\\-4&3&1\end{vmatrix}=2\,\vec{i}+5\,\vec{j}-7\,\vec{k}=(2,5,-7), luego \pi:2x+5y-7z+D=0. Para determinar D tendremos en cuenta que P(1,-2,1) está en \pi, por lo que deberá cumplirse que 2\cdot 1+5\cdot (-2)-7\cdot 1+D=0 de donde despejando D, obtenemos D=15. Así pues, \pi:2x+5y-7z+15=0
b) Un vector director de r es \vec{PQ}=(-5,2,0), luego r:\dfrac{x-1}{-5}=\dfrac{y-(-2)}{2}=\dfrac{z-1}{0} \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} \dfrac{x-1}{-5}=\dfrac{y+2}{2} \\ \dfrac{x-1}{-5}=\dfrac{z-1}{0}\end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 2x+5y=-8 \\ z-1=0 \end{matrix}\right.\quad \quad (1)
Un vector director de s es \vec{RS}=(0-(-3),-3-1,0-2)=(3,-4,-2), luego r:\dfrac{x-(-3)}{3}=\dfrac{y-1}{-4}=\dfrac{z-2}{-2} \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} \dfrac{x+3}{3}=\dfrac{z-2}{-2} \\ \dfrac{x+3}{3}=\dfrac{y-1}{-4}\end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 2x+3z=0 \\ 4x+3y=-9 \end{matrix}\right.\quad \quad (2)
Resolviendo ( muy fácilmente ) el sistema de ecuaciones formado por las dos ecuaciones de (1) y las dos ecuaciones de (2) \left\{\begin{matrix}2x&+&5y&&&=&-8 \\ &&&&z&=&1\\ 2x&&&+&3z&=&0 \\ 4x&+&3y&&&=&-9\end{matrix}\right. obtenemos como solución ( resulta ser un sistema compatible determinado y por tanto las rectas se cortan ) \left\{\begin{matrix}x&&&&&=&-\dfrac{3}{2} \\ &&y&&&=&-1\\ &&&&z&=&1 \end{matrix}\right. que son las coordenadas del punto de intersección de r y s
c)
Recordemos que \text{Área}\overset{\text{def}}{=}\left|\vec{PQ} \times \vec{PR}\right\| y como [ apartado a) ] \vec{PQ} \times \vec{PR}=(2,5,-7), \text{Área}=\left\|\sqrt{2^2+5^2+(-7)^2}\right\|=\left|\sqrt{78}\right| u.a.
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a) Hallar la ecuación del plano que contiene a P, Q y R
b) Estudiar la posición relativa de la recta r que pasa por los puntos P y Q, y la recta s que pasa por los puntos R y S
c) Hallar el área del triángulo cuyos vértices son los puntos P, Q y R
SOLUCIÓN.
a) Denotemos por \pi al plano pedido. Un vector perpendicular a \pi es \vec{PQ}\times \vec{PR}=\begin{vmatrix}\vec{i}&\vec{j}&\vec{k}\\-5&2&0\\-4&3&1\end{vmatrix}=2\,\vec{i}+5\,\vec{j}-7\,\vec{k}=(2,5,-7), luego \pi:2x+5y-7z+D=0. Para determinar D tendremos en cuenta que P(1,-2,1) está en \pi, por lo que deberá cumplirse que 2\cdot 1+5\cdot (-2)-7\cdot 1+D=0 de donde despejando D, obtenemos D=15. Así pues, \pi:2x+5y-7z+15=0
b) Un vector director de r es \vec{PQ}=(-5,2,0), luego r:\dfrac{x-1}{-5}=\dfrac{y-(-2)}{2}=\dfrac{z-1}{0} \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} \dfrac{x-1}{-5}=\dfrac{y+2}{2} \\ \dfrac{x-1}{-5}=\dfrac{z-1}{0}\end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 2x+5y=-8 \\ z-1=0 \end{matrix}\right.\quad \quad (1)
Un vector director de s es \vec{RS}=(0-(-3),-3-1,0-2)=(3,-4,-2), luego r:\dfrac{x-(-3)}{3}=\dfrac{y-1}{-4}=\dfrac{z-2}{-2} \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} \dfrac{x+3}{3}=\dfrac{z-2}{-2} \\ \dfrac{x+3}{3}=\dfrac{y-1}{-4}\end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 2x+3z=0 \\ 4x+3y=-9 \end{matrix}\right.\quad \quad (2)
Resolviendo ( muy fácilmente ) el sistema de ecuaciones formado por las dos ecuaciones de (1) y las dos ecuaciones de (2) \left\{\begin{matrix}2x&+&5y&&&=&-8 \\ &&&&z&=&1\\ 2x&&&+&3z&=&0 \\ 4x&+&3y&&&=&-9\end{matrix}\right. obtenemos como solución ( resulta ser un sistema compatible determinado y por tanto las rectas se cortan ) \left\{\begin{matrix}x&&&&&=&-\dfrac{3}{2} \\ &&y&&&=&-1\\ &&&&z&=&1 \end{matrix}\right. que son las coordenadas del punto de intersección de r y s
c)
Recordemos que \text{Área}\overset{\text{def}}{=}\left|\vec{PQ} \times \vec{PR}\right\| y como [ apartado a) ] \vec{PQ} \times \vec{PR}=(2,5,-7), \text{Área}=\left\|\sqrt{2^2+5^2+(-7)^2}\right\|=\left|\sqrt{78}\right| u.a.
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Discutir en función de los valores del parámetro y resolver cuando proceda el siguiente sistema de ecuaciones
ENUNCIADO. Dado el siguiente sistema de ecuaciones \begin{matrix} 2\,x&+&a\,y&+&z&=&a \\ x&-&4\,y&+&(a+1)\,z&=&1 \\ &&4\,y&-&a\,z&=&0\end{matrix}
a) Discutirlo en función de los valores del parámetro a
b) Resolver el sistema para a=1
c) Resolver el sistema para a=2
SOLUCIÓN.
a)
La matriz de los coeficientes del sistema es A=\begin{pmatrix}2&a&1\\1&-4&(a+1)\\ 0&4&-a\end{pmatrix} y la matriz ampliada (A|b)=\begin{pmatrix}2&a&1&a\\1&-4&(a+1)&1\\ 0&4&-a&0\end{pmatrix}
Observemos que \text{det}(A)=\begin{vmatrix}2&a&1\\1&-4&(a+1)\\ 0&4&-a\end{vmatrix}=a^2-4 = 0 \Leftrightarrow a=\pm 2. Entonces, si a \in \{-2\,,\,2\}, \text{rango}(A)=2, puesto que en estas condiciones no puede ser igual a 3, y A tiene un menor de orden 2 distinto de 0 ( en efecto, \begin{vmatrix}1&-4\\0&4\end{vmatrix}=4\neq 0 )
Veamos ahora cuáles son los posibles rangos de la matriz ampliada (A|b), para ello emplearemos el método del orlado del menor complementario no nulo que hemos encontrado. Así, aparecen dos menores de orden 3 que son:
\Delta_1=\begin{vmatrix}2&a&1\\1&-4&(a+1)\\ 0&4&-a\end{vmatrix}, que es el de la matriz de los coeficientes y ya hemos analizado
y
\Delta_2=\begin{vmatrix}2&a&a\\1&-4&1\\ 0&4&0\end{vmatrix}=0 \Leftrightarrow 4\,(a-2)=0 \Leftrightarrow a=2
Entonces, por el teorema de Rouché-Fröbenius, tenemos los siguientes casos:
i) Si a=-2, r=\text{rango}(A)=2 y \text{rango}(A|b)=3 ( ya que hay un menor de orden 3, \Delta_2, que no se anula para esos valores ), y, al no coincidir los rangos, el sistema es incompatible
ii) Si a=2, r=\text{rango}(A)=2 y \text{rango}(A|b)=2 ( ya que los menores de orden 3 del orlado, \Delta_1 como \Delta_2, son nulos ); entonces r=2\prec n=3, luego el sistema es compatible indeterminado con n-r=3-2=1 variable secundaria
iii) Para cualquier otro valor de a, \text{rango}(A|b)=\text{rango}(A)=3=n y el sistema es compatible determinado
b)
Para a=1 estamos en el caso (ii) y el sistema es compatible determinado. Queda así: \left\{\begin{matrix} 2\,x&+&y&+&z&=&1 \\ x&-&4\,y&+&2\,z&=&1 \\ &&4\,y&-&z&=&0\end{matrix}\right.
c)
Para a=2 estamos en el caso (iii) y el sistema es compatible indeterminado con una variable secundaria. Queda así: \left\{\begin{matrix} 2\,x&+&\,2y&+&z&=&2 \\ x&-&4\,y&+&3\,z&=&1 \\ &&4\,y&-&2\,z&=&0\end{matrix}\right.
Tomando ahora z como variable secundaria ( a la que llamamos \lambda ) nos queda el siguiente sistema \left\{\begin{matrix} 2\,x&+&\,2y&=&2-\lambda \\ &&2\,y&=&\lambda \end{matrix}\right.
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Se pide:
a) Discutirlo en función de los valores del parámetro a
b) Resolver el sistema para a=1
c) Resolver el sistema para a=2
SOLUCIÓN.
a)
La matriz de los coeficientes del sistema es A=\begin{pmatrix}2&a&1\\1&-4&(a+1)\\ 0&4&-a\end{pmatrix} y la matriz ampliada (A|b)=\begin{pmatrix}2&a&1&a\\1&-4&(a+1)&1\\ 0&4&-a&0\end{pmatrix}
Observemos que \text{det}(A)=\begin{vmatrix}2&a&1\\1&-4&(a+1)\\ 0&4&-a\end{vmatrix}=a^2-4 = 0 \Leftrightarrow a=\pm 2. Entonces, si a \in \{-2\,,\,2\}, \text{rango}(A)=2, puesto que en estas condiciones no puede ser igual a 3, y A tiene un menor de orden 2 distinto de 0 ( en efecto, \begin{vmatrix}1&-4\\0&4\end{vmatrix}=4\neq 0 )
Veamos ahora cuáles son los posibles rangos de la matriz ampliada (A|b), para ello emplearemos el método del orlado del menor complementario no nulo que hemos encontrado. Así, aparecen dos menores de orden 3 que son:
\Delta_1=\begin{vmatrix}2&a&1\\1&-4&(a+1)\\ 0&4&-a\end{vmatrix}, que es el de la matriz de los coeficientes y ya hemos analizado
y
\Delta_2=\begin{vmatrix}2&a&a\\1&-4&1\\ 0&4&0\end{vmatrix}=0 \Leftrightarrow 4\,(a-2)=0 \Leftrightarrow a=2
Entonces, por el teorema de Rouché-Fröbenius, tenemos los siguientes casos:
i) Si a=-2, r=\text{rango}(A)=2 y \text{rango}(A|b)=3 ( ya que hay un menor de orden 3, \Delta_2, que no se anula para esos valores ), y, al no coincidir los rangos, el sistema es incompatible
ii) Si a=2, r=\text{rango}(A)=2 y \text{rango}(A|b)=2 ( ya que los menores de orden 3 del orlado, \Delta_1 como \Delta_2, son nulos ); entonces r=2\prec n=3, luego el sistema es compatible indeterminado con n-r=3-2=1 variable secundaria
iii) Para cualquier otro valor de a, \text{rango}(A|b)=\text{rango}(A)=3=n y el sistema es compatible determinado
b)
Para a=1 estamos en el caso (ii) y el sistema es compatible determinado. Queda así: \left\{\begin{matrix} 2\,x&+&y&+&z&=&1 \\ x&-&4\,y&+&2\,z&=&1 \\ &&4\,y&-&z&=&0\end{matrix}\right.
al reducirlo por Gauss nos queda el sistema equivalente \left\{\begin{matrix} 2\,x&+&y&+&z&=&1 \\ &&9\,y&-&3\,z&=&-1 \\ &&&&3\,z&=&4\end{matrix}\right.
así que, despejando z de la última ecuación y sustituyendo de forma regresiva, llegamos a \left\{\begin{matrix} x&&&&&=&-\dfrac{1}{3} \\ &&y&&&=&\dfrac{1}{3} \\ &&&&z&=&\dfrac{4}{3}\end{matrix}\right.
c)
Para a=2 estamos en el caso (iii) y el sistema es compatible indeterminado con una variable secundaria. Queda así: \left\{\begin{matrix} 2\,x&+&\,2y&+&z&=&2 \\ x&-&4\,y&+&3\,z&=&1 \\ &&4\,y&-&2\,z&=&0\end{matrix}\right.
Reduciendo por Gauss llegamos al siguiente sistema equivalente \left\{\begin{matrix} 2\,x&+&\,2y&+&z&=&2 \\ &&2\,y&-&z&=&0 \end{matrix}\right.
Tomando ahora z como variable secundaria ( a la que llamamos \lambda ) nos queda el siguiente sistema \left\{\begin{matrix} 2\,x&+&\,2y&=&2-\lambda \\ &&2\,y&=&\lambda \end{matrix}\right.
Despejando y la segunda ecuación obtenemos y=\dfrac{\lambda}{2} y sustituyendo este resultado en la primera llegamos a 2x+2\cdot \dfrac{\lambda}{2}=2-\lambda, de donde x=1-\lambda. Así pues la solución viene dada por el conjunto de infinitos puntos del espacio \mathbb{R}^3 dados por \text{Solución}=\{(1-\lambda\,,\,\dfrac{\lambda}{2}\,,\,\lambda)\;\forall \lambda \in \mathbb{R}\}
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Etiquetas:
álgebra lineal,
sistemas de ecuaciones lineales
domingo, 18 de junio de 2017
Giro de un triángulo equilátero alrededor de un punto del plano
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