Análisis y cálculo

ENUNCIADO. Dada la función $f(x)=\dfrac{x^2+x+6}{x-2}$, se pide:
a) Determínese el dominio de definición y las rectas asíntotas de la función
b) Calcúlese el límite $\displaystyle \lim_{x \rightarrow \infty}\,\dfrac{f(x)}{x}$
c) Calcúlese $\displaystyle \int_{3}^{5}\,f(x)\,dx$

SOLUCIÓN.
a)
Recordemos que $\text{Dom}\,f\overset{\text{def}}{=}\{x\in \mathbb{R}: f(x)\in \mathbb{R}\}$. Veamos, primero, si se puede factorizar el polinomio del numerado $x^2+x+6$; démonos cuenta de que no tiene raíces ( reales ) pues el discriminante de la ecuación de segundo grado $1-4\cdot 6\cdot 1 \prec 0$, luego no tiene raíces en $\mathbb{R}$, luego $x^2+x+6$ no puede factorizarse. Así, el único número real que no tiene imagen por $f$ es $x=2$, pues este valor anula el denominador ( y no el numerador ) dando como resultado un infinito. Por consiguiente, $\text{Dom}\,f=\mathbb{R}\setminus\{2\}$

Por lo dicho anteriormente, sabemos que la función dada tiene un (recta) asíntota vertical, de ecuación $\text{a.v.}:x=2$. A continuación, examinemos si tiene (rectas) asíntotas oblicuas, que, desde luego, son del tipo: $a.o.:y=mx+k$. Primero, calcularemos la pendiente de esta(s) recta(s) $$m\overset{\text{def}}{=}\displaystyle \lim_{x\rightarrow \infty}\,f'(x)=\lim_{x\rightarrow \infty}\,\dfrac{f(x)}{x}=\lim_{x\rightarrow \infty}\,\dfrac{x^2+x+6}{x^2-2x}=1 \quad \quad (1)$$ A continuación, calcularemos el valor de la ordenada en el origen $$k\overset{\text{def}}{=}\displaystyle \lim_{x\rightarrow \infty}\,(f(x)-mx)=\lim_{x\rightarrow \infty}\,(f(x)-x)=\lim_{x\rightarrow \infty}\,\dfrac{3x+6}{x-2}=3$$ Así pues hay una sóla asíntota oblicua: $a.o.:y=x+3$. Y como $m\neq 0$, no la función no tiene asíntotas horizontales )

b)
En (1) ya se ha calculado este límite, que es igual a $1$

c)
Calculemos una primitiva de $f(x)$: $$F(x)=\int\,f(x)\,dx=\int\,\dfrac{x^2+x+6}{x-2}\,dx \quad \quad (1)$$ Haciendo el cambio de variable $t=x-2$, obtenemos $dt=(x-2)'\,dx=dx$; entonces $x=t+2$, por tanto (1) nos queda $$\int\,\dfrac{(t+2)^2+(t+2)+6}{t}\,dt=\int\,\dfrac{t^2+5t+12}{t}\,dt=\int\,t\,dt+5\,\int\,dt+12\,\int\,\dfrac{dt}{t}=$$ $$=\dfrac{1}{2}\,t^2+5\,t+12\,\ln\,|t|$$ Vamos ahora a aplicar la regla de Barrow para calcular la integral definida, pero para ello debemos tener en cuenta cuáles son los nuevos límites de integración ( con el cambio de variable ): cuando $x=3$, $t=1$; y para $x=5$, $t=3$, luego $$\int_{3}^{5}\,f(x)\,dx=\left[\dfrac{1}{2}\,t^2+5\,t+12\,\ln\,|t|\right]_{1}^{3}=$$ $$=(\dfrac{1}{2}\cdot 3^2+5\cdot 3+12\cdot \ln\,3)-(\dfrac{1}{2}\cdot 1^2+5\cdot 1+12\cdot \ln\,1)=12\cdot \ln\,3+14$$

$\square$