Geometría analítica en el espacio R^3

ENUNCIADO. Dados los puntos $P(1,-2,1)$, $Q(-4,0,1)$ , $R(-3,1,2)$, $S(0,-3,0)$. Se pide:
a) Hallar la ecuación del plano que contiene a $P$, $Q$ y $R$
b) Estudiar la posición relativa de la recta $r$ que pasa por los puntos $P$ y $Q$, y la recta $s$ que pasa por los puntos $R$ y $S$
c) Hallar el área del triángulo cuyos vértices son los puntos $P$, $Q$ y $R$

SOLUCIÓN.
a) Denotemos por $\pi$ al plano pedido. Un vector perpendicular a $\pi$ es $\vec{PQ}\times \vec{PR}=\begin{vmatrix}\vec{i}&\vec{j}&\vec{k}\\-5&2&0\\-4&3&1\end{vmatrix}=2\,\vec{i}+5\,\vec{j}-7\,\vec{k}=(2,5,-7)$, luego $\pi:2x+5y-7z+D=0$. Para determinar $D$ tendremos en cuenta que $P(1,-2,1)$ está en $\pi$, por lo que deberá cumplirse que $2\cdot 1+5\cdot (-2)-7\cdot 1+D=0$ de donde despejando $D$, obtenemos $D=15$. Así pues, $\pi:2x+5y-7z+15=0$

b) Un vector director de $r$ es $\vec{PQ}=(-5,2,0)$, luego $$r:\dfrac{x-1}{-5}=\dfrac{y-(-2)}{2}=\dfrac{z-1}{0} \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} \dfrac{x-1}{-5}=\dfrac{y+2}{2} \\ \dfrac{x-1}{-5}=\dfrac{z-1}{0}\end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 2x+5y=-8 \\ z-1=0 \end{matrix}\right.\quad \quad (1)$$

Un vector director de $s$ es $\vec{RS}=(0-(-3),-3-1,0-2)=(3,-4,-2)$, luego $$r:\dfrac{x-(-3)}{3}=\dfrac{y-1}{-4}=\dfrac{z-2}{-2} \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} \dfrac{x+3}{3}=\dfrac{z-2}{-2} \\ \dfrac{x+3}{3}=\dfrac{y-1}{-4}\end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 2x+3z=0 \\ 4x+3y=-9 \end{matrix}\right.\quad \quad (2)$$

Resolviendo ( muy fácilmente ) el sistema de ecuaciones formado por las dos ecuaciones de (1) y las dos ecuaciones de (2) $\left\{\begin{matrix}2x&+&5y&&&=&-8 \\ &&&&z&=&1\\ 2x&&&+&3z&=&0 \\ 4x&+&3y&&&=&-9\end{matrix}\right.$ obtenemos como solución ( resulta ser un sistema compatible determinado y por tanto las rectas se cortan ) $\left\{\begin{matrix}x&&&&&=&-\dfrac{3}{2} \\ &&y&&&=&-1\\ &&&&z&=&1 \end{matrix}\right.$ que son las coordenadas del punto de intersección de $r$ y $s$

c)
Recordemos que $\text{Área}\overset{\text{def}}{=}\left|\vec{PQ} \times \vec{PR}\right\|$ y como [ apartado a) ] $\vec{PQ} \times \vec{PR}=(2,5,-7)$, $\text{Área}=\left\|\sqrt{2^2+5^2+(-7)^2}\right\|=\left|\sqrt{78}\right|$ u.a.
$\square$