Discutir en función de los valores del parámetro y resolver cuando proceda el siguiente sistema de ecuaciones

ENUNCIADO. Dado el siguiente sistema de ecuaciones $$\begin{matrix} 2\,x&+&a\,y&+&z&=&a \\ x&-&4\,y&+&(a+1)\,z&=&1 \\ &&4\,y&-&a\,z&=&0\end{matrix}$$ Se pide:
a) Discutirlo en función de los valores del parámetro $a$
b) Resolver el sistema para $a=1$
c) Resolver el sistema para $a=2$

SOLUCIÓN.
a)
La matriz de los coeficientes del sistema es $A=\begin{pmatrix}2&a&1\\1&-4&(a+1)\\ 0&4&-a\end{pmatrix}$ y la matriz ampliada $(A|b)=\begin{pmatrix}2&a&1&a\\1&-4&(a+1)&1\\ 0&4&-a&0\end{pmatrix}$

Observemos que $\text{det}(A)=\begin{vmatrix}2&a&1\\1&-4&(a+1)\\ 0&4&-a\end{vmatrix}=a^2-4 = 0 \Leftrightarrow a=\pm 2$. Entonces, si $a \in \{-2\,,\,2\}$, $\text{rango}(A)=2$, puesto que en estas condiciones no puede ser igual a $3$, y $A$ tiene un menor de orden $2$ distinto de $0$ ( en efecto, $\begin{vmatrix}1&-4\\0&4\end{vmatrix}=4\neq 0$ )

Veamos ahora cuáles son los posibles rangos de la matriz ampliada $(A|b)$, para ello emplearemos el método del orlado del menor complementario no nulo que hemos encontrado. Así, aparecen dos menores de orden $3$ que son:
$\Delta_1=\begin{vmatrix}2&a&1\\1&-4&(a+1)\\ 0&4&-a\end{vmatrix}$, que es el de la matriz de los coeficientes y ya hemos analizado
y
$\Delta_2=\begin{vmatrix}2&a&a\\1&-4&1\\ 0&4&0\end{vmatrix}=0 \Leftrightarrow 4\,(a-2)=0 \Leftrightarrow a=2$

Entonces, por el teorema de Rouché-Fröbenius, tenemos los siguientes casos:

i) Si $a=-2$, $r=\text{rango}(A)=2$ y $\text{rango}(A|b)=3$ ( ya que hay un menor de orden $3$, $\Delta_2$, que no se anula para esos valores ), y, al no coincidir los rangos, el sistema es incompatible

ii) Si $a=2$, $r=\text{rango}(A)=2$ y $\text{rango}(A|b)=2$ ( ya que los menores de orden $3$ del orlado, $\Delta_1$ como $\Delta_2$, son nulos ); entonces $r=2\prec n=3$, luego el sistema es compatible indeterminado con $n-r=3-2=1$ variable secundaria

iii) Para cualquier otro valor de $a$, $\text{rango}(A|b)=\text{rango}(A)=3=n$ y el sistema es compatible determinado

b)
Para $a=1$ estamos en el caso (ii) y el sistema es compatible determinado. Queda así: $$\left\{\begin{matrix} 2\,x&+&y&+&z&=&1 \\ x&-&4\,y&+&2\,z&=&1 \\ &&4\,y&-&z&=&0\end{matrix}\right.$$ al reducirlo por Gauss nos queda el sistema equivalente $$\left\{\begin{matrix} 2\,x&+&y&+&z&=&1 \\ &&9\,y&-&3\,z&=&-1 \\ &&&&3\,z&=&4\end{matrix}\right.$$ así que, despejando $z$ de la última ecuación y sustituyendo de forma regresiva, llegamos a $$\left\{\begin{matrix} x&&&&&=&-\dfrac{1}{3} \\ &&y&&&=&\dfrac{1}{3} \\ &&&&z&=&\dfrac{4}{3}\end{matrix}\right.$$

c)
Para $a=2$ estamos en el caso (iii) y el sistema es compatible indeterminado con una variable secundaria. Queda así: $$\left\{\begin{matrix} 2\,x&+&\,2y&+&z&=&2 \\ x&-&4\,y&+&3\,z&=&1 \\ &&4\,y&-&2\,z&=&0\end{matrix}\right.$$ Reduciendo por Gauss llegamos al siguiente sistema equivalente $$\left\{\begin{matrix} 2\,x&+&\,2y&+&z&=&2 \\ &&2\,y&-&z&=&0 \end{matrix}\right.$$
Tomando ahora $z$ como variable secundaria ( a la que llamamos $\lambda$ ) nos queda el siguiente sistema $$\left\{\begin{matrix} 2\,x&+&\,2y&=&2-\lambda \\ &&2\,y&=&\lambda \end{matrix}\right.$$ Despejando $y$ la segunda ecuación obtenemos $y=\dfrac{\lambda}{2}$ y sustituyendo este resultado en la primera llegamos a $2x+2\cdot \dfrac{\lambda}{2}=2-\lambda$, de donde $x=1-\lambda$. Así pues la solución viene dada por el conjunto de infinitos puntos del espacio $\mathbb{R}^3$ dados por $$\text{Solución}=\{(1-\lambda\,,\,\dfrac{\lambda}{2}\,,\,\lambda)\;\forall \lambda \in \mathbb{R}\}$$
$\square$