Geometría analítica

ENUNCIADO.
a) Determinar la distancia entre las rectas $r_1:x=y=z$ y $r_2:\left\{\begin{matrix}x+y-1=0\\ x-z+1=0\end{matrix}\right.$
b) Obténgase el punto de corte de la recta $s:x=2-y=z-1$ con el plano perpendicular a $s$ que pasa por el origen de coordenadas

SOLUCIÓN.
a)
En primer lugar vamos a estudiar la incidencia entre $r_1$ y $r_2$.

Un vector director de $r_1$ es $\vec{u}_1=(1,1,1)$

Encontremos ahora un vector director de $r_2$. De las ecuaciones implícitas de la recta podemos escribir la misma en forma paramétrica de la forma $\left\{\begin{matrix}x&=&-\lambda+2 \\ y&=&\lambda-1 \\ z&=&\lambda \end{matrix}\right.$ y despejando el parámetro $\lambda$ de cada una de ellas, $\left\{\begin{matrix}\lambda&=&\dfrac{x-2}{-1}\\ \lambda&=&y+1 \\ \lambda&=&z \end{matrix}\right.$ por lo que la ecuación en forma continua es $\dfrac{x-2}{-1}=\dfrac{y-(-1)}{1}=\dfrac{z}{1}$ y de ello deducimos que un vector director de $r_2$ es $\vec{u}_2=(-1,1,1)$

A continuación necesitamos conocer un punto de cada una de las dos rectas, que denotaremos por $P_{r_1}$ y $P_{r_2}$ para construir un vector que apunte de uno a otro ( de una recta a la otra ): $\vec{P_{r_1}P_{r_2}}$, ya que: i) si $\text{rango}\{\vec{u}_1,\vec{u}_2,\vec{P_{r_1}P_{r_2}}\}=3$ las rectas se cruzan pero no se cortan, con lo cual la distancia pedida será distinta de cero, y, ii) en caso de que $\text{rango}\{\vec{u}_1,\vec{u}_2,\vec{P_{r_1}P_{r_2}}\}=2$ y $\text{rango}\{\vec{u}_1,\vec{u}_2\}=1$, las rectas son paralelas y distintas, con lo cual la distancia entre estas también es distinta de cero.

Es evidente que un punto de $r_1$ es $P_{r_1}=(0,0,0)$. Por otra parte, fijando el parámetro $\lambda$ ( pongamos que $\lambda:=0$ ) en las ecuaciones paramétricas de $r_2$, encontramos un punto de la misma, $P_{r_2}=(2,-1,0)$. Hecho esto, $\vec{P_{r_1}P_{r_2}}=(2-0,-1-0,0-0)=(2,-1,0)$

Como $\begin{vmatrix}1&1&1\\-1&1&1\\2&-1&0\end{vmatrix}=2\neq 0$, deducimos de ello que $\text{rango}\{\vec{u}_1,\vec{u}_2,\vec{P_{r_1}P_{r_2}}\}=3$ y por tanto $r_1$ y $r_2$ se cruzan pero no se cortan, con lo cual la distancia pedida es distinta de cero.

Para calcular la distancia $d(r_1,r_2)$, tendremos en cuenta que los vectores $\{\vec{u}_1,\vec{u}_2,\vec{P_{r_1}P_{r_2}}\}$ forman un paralelepípedo de volumen igual al valor absoluto del producto mixto de los tres $\left|[\vec{u}_1,\vec{u}_2,\vec{P_{r_1}P_{r_2}}]\right|$, pero ese mismo volumen puede calcularse también mediante $d(r_1,r_2)\cdot \left\|\vec{u}_1 \times \vec{u}_2\right\|$ luego $$d(r_1,r_2)=\dfrac{\left|[\vec{u}_1,\vec{u}_2,\vec{P_{r_1}P_{r_2}}]\right|}{\left\|\vec{u}_1 \times \vec{u}_2\right\|} \quad \quad (1)$$
donde
$$\left|[\vec{u}_1,\vec{u}_2,\vec{P_{r_1}P_{r_2}}]\right|=2$$ ya que $$\begin{vmatrix}1&1&1\\-1&1&1\\2&-1&0\end{vmatrix}=2$$
Por otra parte $$\vec{u}_1 \times \vec{u}_2=\begin{vmatrix}\vec{i}&\vec{j}&\vec{k}\\1&1&1\\-1&1&1\end{vmatrix}=2\,\vec{k}=(0,-2,2)$$ luego $\left\|\vec{u}_1 \times \vec{u}_2\right\|=2\,|\sqrt{2}|$. Y, finalmente, sustituyendo en (1) llegamos a $$d(r_1,r_2)=\dfrac{2}{2\,|\sqrt{2}|}=\dfrac{|\sqrt{2}|}{2}$$

b)
La recta $s$ puede expresarse de la forma ( continua ) $s:\dfrac{x}{1}=\dfrac{y-2}{-1}=\dfrac{z-1}{1} \quad \quad (2)$, luego un vector director de la recta es $\vec{u}_s=(1,-1,1)$, que a su vez es un vector perpendicular al plano $\pi$ ( perpendicular a $s$ ); entonces, como la ecuación general de un plano es $Ax+By+Cz+D=0$ y $A=1$, $B=-1$ y $C=1$, podemos escribir $\pi:x-y+z+D=0 \quad \quad (3) $. Y como sabemos que $O(0,0,0)$ es un punto de $\pi$, deducimos ( sustituyendo las coordenadas de $O$ en la ecuación (3) ) que $D=0$, con lo cual vemos que la ecuación del plano pedido es $$\pi:x-y+z=0$$

La ecuación de la recta (2) también podemos expresarla en forma implícita (como la intersección de dos planos): $$s:\left\{\begin{matrix}x=2-y\\x=z-1\end{matrix}\right.$$ que junto con la ecuación del plano $\pi:x-y+z=0$ nos lleva al sistema de ecuaciones $$\left\{\begin{matrix}x&-&y&+&z&=&0 \\ x&+&y&&&=&2 \\ x&&&-&z&=&-1\end{matrix}\right. \sim \left\{\begin{matrix}x&-&y&+&z&=&0 \\ &&2y&-&z&=&2 \\ &&y&-&2z&=&-1\end{matrix}\right.\sim$$
$$\sim \left\{\begin{matrix}x&-&y&+&z&=&0 \\ &&2y&-&z&=&2 \\ &&&&3z&=&4\end{matrix}\right.$$ con lo cual, despejando de la última ecuación, $z=\dfrac{4}{3}$; sustituyendo en la segunda, $y=\dfrac{5}{3}$; y, sustituyendo estos dos valores en la primera ecuación, $x=\dfrac{1}{3}$. Así pues el punto de corte viene dado por $( \dfrac{1}{3}\,,\,\dfrac{5}{3}\,,\,\dfrac{4}{3})$

$\square$