Cálculo con matrices y determinantes

ENUNCIADO. Dadas las matrices $P=\begin{pmatrix}1&2&1\\ 3&2&2 \\ 2&3&2\end{pmatrix}$ y $J=\begin{pmatrix}-1&0&0\\ 0&2&0 \\ 0&0&1\end{pmatrix}$ se pide:
a) Determinar $P^{-1}$
b) Determinar $B^{-1}$, siendo $B=P^{-1}J^{-1}$
c) Calcular el determinante de $A^2$, siendo $A=PJP^{-1}$

SOLUCIÓN.
a)
Una condición necesaria y suficiente para que una matriz cuadrada tenga asociada una matriz inversa es que su determinante sea distinto de cero. Veamos si lo es: $\text{det}(P)=\begin{vmatrix}1&2&1\\ 3&2&2 \\ 2&3&2\end{vmatrix}=-1$, luego $P$ tiene inversa. Sugiero que se utilice el método de Gauss-Jordan tal como se muestra en [este otro ejercicio rutinario], obteniendo $$P^{-1}=\begin{pmatrix}2&1&-2\\ 2&0&1 \\ -5&-1&4\end{pmatrix}$$

b)
Notemos que $B=P^{-1}J^{-1}=(JP)^{-1}$ y, por tanto, $B^{-1}=\left((JP)^{-1}\right)^{-1}=JP=\begin{pmatrix}-1&0&0\\ 0&2&0 \\ 0&0&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&2&1\\ 3&2&2 \\ 2&3&2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-1&-2&-1\\ 6&4&4 \\ 2&3&2\end{pmatrix}$

c)
$A^2=(PJP^{-1})^2=(PJP^{-1})(PJP^{-1})=PJ(P^{-1}P)JP^{-1}=PJIJP^{-1}=$
  $=PJJP^{-1}=PJ^2P^{-1}=P(J^2P^{-1})\quad \quad \quad (1)$

Entonces,
$J^2=\begin{pmatrix}-1&0&0\\ 0&2&0 \\ 0&0&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}-1&0&0\\ 0&2&0 \\ 0&0&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&0&0\\ 0&4&0 \\ 0&0&1\end{pmatrix}$
y por tanto $J^2P^{-1}=\begin{pmatrix}1&0&0\\ 0&4&0 \\ 0&0&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}2&1&-2\\ 2&0&1 \\ -5&-1&4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2&1&-2\\ 8&0&-4 \\ -5&-1&4\end{pmatrix}$ luego, de (1), llegamos a $$A^2=\begin{pmatrix}1&2&1\\ 3&2&2 \\ 2&3&2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}2&1&-2\\ 8&0&-4 \\ -5&-1&4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}13&0&-6\\ 12&1&-6 \\ 18&0&-8\end{pmatrix}$$ Con lo cual $$\text{det}(A^2)=\begin{vmatrix}13&0&-6\\ 12&1&-6 \\ 18&0&-8\end{vmatrix}=4$$
$\square$