ENUNCIADO. Se administra una medicina a un enfermo y t horas después la concentración en sangre del principio activo viene dada por c(t)=t\,e^{-t/2} ( en miligramos por mililitro ). Determínese el valor máximo de la concentración e indique en qué momento se alcanza dicho valor máximo. Sabiendo que la máxima concentración sin peligro para el paciente es de 1 miligramo por mililitro, señale si en algún momento hay riesgo.
SOLUCIÓN.
Imponiendo la condición necesaria de extremos relativos, c'(t)=0, y siendo c'(t)=e^{-t/2}\,(1-\dfrac{t}{2}), dichos extremos han de ser solución de la ecuación e^{-t/2}\,(1-\dfrac{t}{2})=0, encontrando un único valor como solución: t=2 horas. Para ver si corresponde a un máximo local, utilizaremos el criterio del signo de la segunda derivada, c''(t)=-\dfrac{1}{2}\,e^{-t/2}\,((2-\dfrac{t}{2}) ( se ruega al lector que reproduzca los cálculos omitidos ); así, c''(2)=-\dfrac{1}{2e} \prec 0, de lo cual deducimos que t=2 es la abscisa de un máximo local, y teniendo en cuenta que \text{Dom}\,c(t)=[0\,,\,+\infty)\subset \mathbb{R} y \displaystyle \lim_{t\rightarrow +\infty}\,c(t)=0, dicho máximo es también el máximo absoluto.
La máxima concentración en sangre del principio activo es pues c(2)=2\cdot e^{-2/2}=\dfrac{2}{e} \approx 0,7 \; \dfrac{\text{mg}}{\text{ml}}\prec 1\; \dfrac{\text{mg}}{\text{ml}}, luego no habrá ningún momento de riesgo para el paciente. \square
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