ENUNCIADO:
Calcular el ángulo que forma los planos $\pi:\,x+y+z-1=0$ y $\pi_2:\,x-y+x+1=0$
SOLUCIÓN:
$\angle(\pi_1,\pi_2) \equiv \angle(\vec{n_1},\vec{n_2})$, donde $\vec{n_1}=(1,1,1)$ y $\vec{n_2}=(1,-1,1)$ son vectores perpendiculares los respectivos planos ( sus coordenadas vienen dadas por los valores de los coeficientes $A$, $B$ y $C$ de las ecuaciones respectivas, $Ax+By+Cz+D=0$ ).
Así pues, $\angle(\pi_1,\pi_2)=\text{arccos}\left(\dfrac{\langle \vec{n_1},\vec{n_2} \rangle }{\left\|\vec{n_1}\right\|\,\left\|\vec{n_2}\right\|}\right)$
Teniendo en cuenta que el valor del producto escalar de dichos vectores es $\langle \vec{n_1},\vec{n_2} \rangle = \langle (1,1,1),(1,-1,1) \rangle=1\cdot1+1\cdot(-1)+1\cdot 1=1$
y que los módulos de estos son
$\left\|\vec{n_1}\right\|=\left| \sqrt{1^2+1^2+1^2}\right| = \left| \sqrt{3} \right|$ y $\left\|\vec{n_2}\right\|=\left| \sqrt{1^2+(-1)^2+1^2}\right| = \left| \sqrt{3} \right|$
obtenemos
$$\angle(\pi_1,\pi_2)=\text{arccos}(\dfrac{1}{3}) \approx 70^{\circ}\,31'$$
$\square$
viernes, 13 de marzo de 2015
miércoles, 11 de marzo de 2015
distancia ( en $\mathbb{R}^3$ ) entre dos puntos
ENUNCIADO:
Calcular la distancia euclídea, en $\mathbb{R}^3$, entre los puntos $P(1,-1,-1)$ y $Q(-1,1,1)$
SOLUCIÓN:
$\text{dist}(P,Q)=\left\| \vec{PQ} \right\| \overset{\text{def}}{=} \left| \sqrt{(x_Q-x_P)^2+(y_Q-y_P)^2+(z_Q-z_P)^2} \right|$
y, con los datos, obtenemos
$\text{dist}(P,Q)= \left| \sqrt{(-1-1)^2+(1-(-1))^2+(1-(-1))^2} \right|= \left| \sqrt{(-2)^2+2^2+2^2} \right|$
$=2\,\left|\sqrt{3}\right|\,\text{unidades de longitud}$
$\square$
Calcular la distancia euclídea, en $\mathbb{R}^3$, entre los puntos $P(1,-1,-1)$ y $Q(-1,1,1)$
SOLUCIÓN:
$\text{dist}(P,Q)=\left\| \vec{PQ} \right\| \overset{\text{def}}{=} \left| \sqrt{(x_Q-x_P)^2+(y_Q-y_P)^2+(z_Q-z_P)^2} \right|$
y, con los datos, obtenemos
$\text{dist}(P,Q)= \left| \sqrt{(-1-1)^2+(1-(-1))^2+(1-(-1))^2} \right|= \left| \sqrt{(-2)^2+2^2+2^2} \right|$
$=2\,\left|\sqrt{3}\right|\,\text{unidades de longitud}$
$\square$
Haz de planos paralelos
ENUNCIADO:
Sea el plano $\pi:\,x+2y+3z-1=0$. ¿ Cual es la ecuación del haz de planos paralelos a dicho plano ?.
SOLUCIÓN:
Como un vector perpendicular a cualquier plano del haz viene dado por $\vec{n}=(1,2,3)$ ya que sus coordenadas/componentes, $(A,B,C)$, corresponden a los valores de los coeficientes de la ecuación general del plano $Ax+By+Cz+D=0$ ), la ecuación del haz de planos paralelos vendrá dada por $\mathcal{F}:Ax+By+Cz+\mu=0$, para cualquier $\mu \in \mathbb{R}$.
Así, pues, el haz pedido es:
$$\mathcal{F}:x+2y+3z+\mu=0\,,\,\text{para todo}\, \mu \in \mathbb{R}$$
$\square$
Sea el plano $\pi:\,x+2y+3z-1=0$. ¿ Cual es la ecuación del haz de planos paralelos a dicho plano ?.
SOLUCIÓN:
Como un vector perpendicular a cualquier plano del haz viene dado por $\vec{n}=(1,2,3)$ ya que sus coordenadas/componentes, $(A,B,C)$, corresponden a los valores de los coeficientes de la ecuación general del plano $Ax+By+Cz+D=0$ ), la ecuación del haz de planos paralelos vendrá dada por $\mathcal{F}:Ax+By+Cz+\mu=0$, para cualquier $\mu \in \mathbb{R}$.
Así, pues, el haz pedido es:
$$\mathcal{F}:x+2y+3z+\mu=0\,,\,\text{para todo}\, \mu \in \mathbb{R}$$
$\square$
Ecuación del haz de planos que da como intersección una determinada recta
ENUNCIADO:
Sea la recta $r:\,(x,y,z)=(1,-1,1)+\lambda\,(1,2,3)$ de $\mathbb{R}^3$ ( expresada en forma paramétrica, de parámetro $\lambda$ ). ¿ Cuál es la ecuación del haz de planos tal que la recta dada es su intersección ?.
SOLUCIÓN:
Expresando $r$ en forma paramétrica,
$$\left\{\begin{matrix}
x-1 & = & \lambda \\
\\
\dfrac{y-(-1)}{2} & = & \lambda \\
\\
\dfrac{z-1}{3} & = & \lambda
\end{matrix}\right.$$
y, de ahí, podemos escribir la ecuación de la recta en forma continua
$$x-1=\dfrac{y-(-1)}{2}=\dfrac{z-1}{3}$$
por tanto, las ecuaciones implícitas de dicha recta son
$$\left\{\begin{matrix}
x-1 & = & \dfrac{y+1}{2} \\
\\
x-1 & = & \dfrac{z-1}{3} \\
\end{matrix}\right.$$
es decir
$$\left\{\begin{matrix}
2x &-&y&-&3&=&0 \\
\\
3x &-&z&-&2&=&0 \\
\end{matrix}\right.$$
que son las ecuaciones de dos de los planos, $\pi_1$ y $\pi_2$, del hay de planos. Con lo cual, para cualesquiera $\alpha, \beta \in \mathbb{R}$ ( no simultáneamente nulos ), podemos escribir la ecuación del haz de planos pedido de la forma:
$$\mathcal{F}:\alpha ( 2x-y-3 ) + \beta ( 3x -z - 2) = 0$$
$\square$
OBSERVACIÓN:
En general, dados dos de los planos del haz, $\pi_1: Ax+By+Cz+D=0$ y $\pi_2:A'x+B'z+C'z+D'=0$, entonces $\mathcal{F}:\alpha\,(Ax+By+Cz+D) + \beta\,(A'x+B'z+C'z+D')=0$, siendo $\alpha, \beta \in \mathbb{R}$ ( no simultáneamente nulos ).
$\lozenge$
Sea la recta $r:\,(x,y,z)=(1,-1,1)+\lambda\,(1,2,3)$ de $\mathbb{R}^3$ ( expresada en forma paramétrica, de parámetro $\lambda$ ). ¿ Cuál es la ecuación del haz de planos tal que la recta dada es su intersección ?.
SOLUCIÓN:
Expresando $r$ en forma paramétrica,
$$\left\{\begin{matrix}
x-1 & = & \lambda \\
\\
\dfrac{y-(-1)}{2} & = & \lambda \\
\\
\dfrac{z-1}{3} & = & \lambda
\end{matrix}\right.$$
y, de ahí, podemos escribir la ecuación de la recta en forma continua
$$x-1=\dfrac{y-(-1)}{2}=\dfrac{z-1}{3}$$
por tanto, las ecuaciones implícitas de dicha recta son
$$\left\{\begin{matrix}
x-1 & = & \dfrac{y+1}{2} \\
\\
x-1 & = & \dfrac{z-1}{3} \\
\end{matrix}\right.$$
es decir
$$\left\{\begin{matrix}
2x &-&y&-&3&=&0 \\
\\
3x &-&z&-&2&=&0 \\
\end{matrix}\right.$$
que son las ecuaciones de dos de los planos, $\pi_1$ y $\pi_2$, del hay de planos. Con lo cual, para cualesquiera $\alpha, \beta \in \mathbb{R}$ ( no simultáneamente nulos ), podemos escribir la ecuación del haz de planos pedido de la forma:
$$\mathcal{F}:\alpha ( 2x-y-3 ) + \beta ( 3x -z - 2) = 0$$
$\square$
OBSERVACIÓN:
En general, dados dos de los planos del haz, $\pi_1: Ax+By+Cz+D=0$ y $\pi_2:A'x+B'z+C'z+D'=0$, entonces $\mathcal{F}:\alpha\,(Ax+By+Cz+D) + \beta\,(A'x+B'z+C'z+D')=0$, siendo $\alpha, \beta \in \mathbb{R}$ ( no simultáneamente nulos ).
$\lozenge$
martes, 10 de marzo de 2015
Volumen de un paralelepípedo dado por los vectores ...
ENUNCIADO:
Sean los puntos de $\mathbb{R}^3$: $A(3,0,0)$, $B(0,2,0)$ y $C(1,1,1)$. Calcular el volumen del paralelepípedo que forman los vectores: $\vec{a}$, dado por $\vec{OA}=(3,0,0)$; $\vec{b}$, dado por $\vec{OB}=(0,2,0)$, y $\vec{c}$, dado por $\vec{OC}=(1,1,1)$, siendo $O(0,0,0)$ el origen de coordenadas.
SOLUCIÓN:
El área, $\mathcal{A}$, del paralelogramo ( de la base del paralelepípedo ), dado por los vectores $\vec{a}$ y $vec{b}$ ( recordemos que tienen origen común en $O$ ) viene dada por $\left\| \vec{a} \times \vec{b} \right\|$, siendo
$$ \vec{a} \times \vec{b}=\begin{vmatrix}
\vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\
3& 0 &0 \\
0& 2 &0
\end{vmatrix}=6\,\vec{k}$$
donde $\vec{i}=(1,0,0)$, $\vec{j}=(1,0,0)$ y $\vec{k}=(0,0,1)$ son los vectores de la base canónica del espacio vectorial $\mathbb{R}^3$. Así, pues, $\mathcal{A}=\left\|6\,\vec{k}\right\|=6 \, \text{unidades de área}$
Para calcular el volumen ( del paralelepípedo ) debemos multiplicar dicha área por la altura del paralelepípedo, y ésta es igual al módulo del vector proyección del vector $\vec{c}$ sobre el vector unitario $\vec{u}$ ( perpendicular al plano que contiene los vectores $\vec{a}$ y $\vec{b}$ ):
$$\left\|\overset{\rightarrow}{\text{Proj}_{\vec{u}}}\,\vec{c}\right\|$$
siendo $\vec{u}=\dfrac{ \vec{a} \times \vec{b} } { \left\| \vec{a} \times \vec{b} \right\|}$ que, en este caso, es igual a $\vec{k}=(0,0,1)$
con lo cual
$$\left\|\overset{\rightarrow}{\text{Proj}_{\vec{u}}}\,\vec{c}\right\|=\langle ( 1,1,1),(0,0,1) \rangle=1$$
Por consiguiente,
$$\mathcal{V}=\mathcal{A}\cdot \left\|\overset{\rightarrow}{\text{Proj}_{\vec{u}}}\,\vec{c}\right\|=6 \cdot 1 = 6 \, \text{unidades de volumen} $$
$\square$
OBSERVACIÓN:
También se puede calcular el volumen, $\mathcal{V}$, directamente, del siguiente modo.
Como $$\mathcal{V}=\mathcal{A}\cdot \left\|\overset{\rightarrow}{\text{Proj}_{\vec{u}}}\,\vec{c}\right\| = \displaystyle \left\| \vec{a} \times \vec{b} \right\| \, \langle \dfrac{\vec{a} \times \vec{b}}{\left\| \vec{a} \times \vec{b} \right\|}, \vec{c} \rangle = \langle \vec{a} \times \vec{b}, \vec{c} \rangle$$
expresión conocida como producto mixto, y que viene dada por el valor del siguiente determinante
$$\begin{vmatrix}
c_x & c_y & c_z \\
a_x & a_y & a_z \\
b_x & b_y & b_z \\
\end{vmatrix}$$
así, en nuestro caso, con los datos del problema
$$\mathcal{V}=\begin{vmatrix}
1 & 1 & 1 \\
3 & 0 & 0 \\
0 & 2 & 0 \\
\end{vmatrix}=1\cdot \begin{vmatrix}
3 & 0 \\
0 & 2 \\
\end{vmatrix}=1 \cdot 6 = 6\, \text{unidades de volumen}$$
$\square$
Sean los puntos de $\mathbb{R}^3$: $A(3,0,0)$, $B(0,2,0)$ y $C(1,1,1)$. Calcular el volumen del paralelepípedo que forman los vectores: $\vec{a}$, dado por $\vec{OA}=(3,0,0)$; $\vec{b}$, dado por $\vec{OB}=(0,2,0)$, y $\vec{c}$, dado por $\vec{OC}=(1,1,1)$, siendo $O(0,0,0)$ el origen de coordenadas.
SOLUCIÓN:
El área, $\mathcal{A}$, del paralelogramo ( de la base del paralelepípedo ), dado por los vectores $\vec{a}$ y $vec{b}$ ( recordemos que tienen origen común en $O$ ) viene dada por $\left\| \vec{a} \times \vec{b} \right\|$, siendo
$$ \vec{a} \times \vec{b}=\begin{vmatrix}
\vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\
3& 0 &0 \\
0& 2 &0
\end{vmatrix}=6\,\vec{k}$$
donde $\vec{i}=(1,0,0)$, $\vec{j}=(1,0,0)$ y $\vec{k}=(0,0,1)$ son los vectores de la base canónica del espacio vectorial $\mathbb{R}^3$. Así, pues, $\mathcal{A}=\left\|6\,\vec{k}\right\|=6 \, \text{unidades de área}$
Para calcular el volumen ( del paralelepípedo ) debemos multiplicar dicha área por la altura del paralelepípedo, y ésta es igual al módulo del vector proyección del vector $\vec{c}$ sobre el vector unitario $\vec{u}$ ( perpendicular al plano que contiene los vectores $\vec{a}$ y $\vec{b}$ ):
$$\left\|\overset{\rightarrow}{\text{Proj}_{\vec{u}}}\,\vec{c}\right\|$$
siendo $\vec{u}=\dfrac{ \vec{a} \times \vec{b} } { \left\| \vec{a} \times \vec{b} \right\|}$ que, en este caso, es igual a $\vec{k}=(0,0,1)$
con lo cual
$$\left\|\overset{\rightarrow}{\text{Proj}_{\vec{u}}}\,\vec{c}\right\|=\langle ( 1,1,1),(0,0,1) \rangle=1$$
Por consiguiente,
$$\mathcal{V}=\mathcal{A}\cdot \left\|\overset{\rightarrow}{\text{Proj}_{\vec{u}}}\,\vec{c}\right\|=6 \cdot 1 = 6 \, \text{unidades de volumen} $$
$\square$
OBSERVACIÓN:
También se puede calcular el volumen, $\mathcal{V}$, directamente, del siguiente modo.
Como $$\mathcal{V}=\mathcal{A}\cdot \left\|\overset{\rightarrow}{\text{Proj}_{\vec{u}}}\,\vec{c}\right\| = \displaystyle \left\| \vec{a} \times \vec{b} \right\| \, \langle \dfrac{\vec{a} \times \vec{b}}{\left\| \vec{a} \times \vec{b} \right\|}, \vec{c} \rangle = \langle \vec{a} \times \vec{b}, \vec{c} \rangle$$
expresión conocida como producto mixto, y que viene dada por el valor del siguiente determinante
$$\begin{vmatrix}
c_x & c_y & c_z \\
a_x & a_y & a_z \\
b_x & b_y & b_z \\
\end{vmatrix}$$
así, en nuestro caso, con los datos del problema
$$\mathcal{V}=\begin{vmatrix}
1 & 1 & 1 \\
3 & 0 & 0 \\
0 & 2 & 0 \\
\end{vmatrix}=1\cdot \begin{vmatrix}
3 & 0 \\
0 & 2 \\
\end{vmatrix}=1 \cdot 6 = 6\, \text{unidades de volumen}$$
$\square$
lunes, 9 de marzo de 2015
Distancia ( en el espacio ) de un punto a una recta
ENUNCIADO:
Calcular la distancia del punto $P(1,1,1)$ a la recta $r:(x,y,z)=\lambda\,(0,1,0)+(1,-1,0)$ ( en forma paramétrica, de parámetro $\lambda$ ).
SOLUCIÓN:
Sea $\vec{u}$ un vector de la recta, por ejemplo, $\vec{u}=(0,1,0)$, y consideremos un punto sobre la recta $r$, por ejemplo $P_{r}(1,-1,0)$; entonces, podemos formar el triángulo vectorial $\vec{d}+\overset{\rightarrow}{\text{Proj}_{\vec{u}}}\left(\overset{\rightarrow}{P_{r}P}\right)=\overset{\rightarrow}{P_{r}P}$, donde $\vec{d} \perp \vec{u}$
Así, $\text{dist}(P,r)=\left\|\vec{d}\right\|$
Calculamos, primero $\vec{d}$, haciendo $\vec{d}=\overset{\rightarrow}{P_{r}P}-\overset{\rightarrow}{\text{Proj}_{\vec{u}}}\left(\overset{\rightarrow}{P_{r}P}\right)$
para ello, debemos calcular el vector que resulta de la proyección:
$\overset{\rightarrow}{\text{Proj}_{\vec{u}}}\left(\overset{\rightarrow}{P_{r}P}\right)=\langle \overset{\rightarrow}{P_{r}P}, \vec{d} \rangle \, \dfrac{\vec{u}}{\left\|\vec{u}\right\|}$
$=\langle (0,2,1),(0,1,0)\rangle \, \dfrac{(0,1,0)}{1}=2\,(0,1,0)=(0,2,0)$
por tanto, $\vec{d}=(0,2,1)-(0,2,0)=(0,0,1)$
con lo cual $\left\|\vec{d}\right\|=1$, que es la distancia pedida.
$\square$
Calcular la distancia del punto $P(1,1,1)$ a la recta $r:(x,y,z)=\lambda\,(0,1,0)+(1,-1,0)$ ( en forma paramétrica, de parámetro $\lambda$ ).
SOLUCIÓN:
Sea $\vec{u}$ un vector de la recta, por ejemplo, $\vec{u}=(0,1,0)$, y consideremos un punto sobre la recta $r$, por ejemplo $P_{r}(1,-1,0)$; entonces, podemos formar el triángulo vectorial $\vec{d}+\overset{\rightarrow}{\text{Proj}_{\vec{u}}}\left(\overset{\rightarrow}{P_{r}P}\right)=\overset{\rightarrow}{P_{r}P}$, donde $\vec{d} \perp \vec{u}$
Así, $\text{dist}(P,r)=\left\|\vec{d}\right\|$
Calculamos, primero $\vec{d}$, haciendo $\vec{d}=\overset{\rightarrow}{P_{r}P}-\overset{\rightarrow}{\text{Proj}_{\vec{u}}}\left(\overset{\rightarrow}{P_{r}P}\right)$
para ello, debemos calcular el vector que resulta de la proyección:
$\overset{\rightarrow}{\text{Proj}_{\vec{u}}}\left(\overset{\rightarrow}{P_{r}P}\right)=\langle \overset{\rightarrow}{P_{r}P}, \vec{d} \rangle \, \dfrac{\vec{u}}{\left\|\vec{u}\right\|}$
$=\langle (0,2,1),(0,1,0)\rangle \, \dfrac{(0,1,0)}{1}=2\,(0,1,0)=(0,2,0)$
por tanto, $\vec{d}=(0,2,1)-(0,2,0)=(0,0,1)$
con lo cual $\left\|\vec{d}\right\|=1$, que es la distancia pedida.
$\square$
Distancia de un punto a un plano
ENUNCIADO:
Sea el plano $\pi:x-y+z+2=0$ y el punto $P(1,1,1)$. Calcular la distancia del punto $P$ al plano $\pi$
SOLUCIÓN:
La distancia de un punto $P(x_P,y_P,z_P)$ a un plano $\pi:Ax+By+Cz+D=0$ viene dado por
$$d(P,\pi)=\left|\dfrac{Ax_P+By_P+Cy_P+D}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}\right|$$
Poniendo los datos del problema: $A=1$, $B=-1$, $C=1$, $D=2$; $x_P=1$, $y_P=1$,$z_P=1$, encontramos
$$d(P,\pi)=\left|\dfrac{1\cdot 1+(-1)\cdot 1+1\cdot 1+2}{ \sqrt{1^2+(-1)^2+1^2}}\right|=\dfrac{3}{\left|\sqrt{3}\right|}=\left|\sqrt{3}\right| \, \text{unidades de longitud}$$
$\square$
Sea el plano $\pi:x-y+z+2=0$ y el punto $P(1,1,1)$. Calcular la distancia del punto $P$ al plano $\pi$
SOLUCIÓN:
La distancia de un punto $P(x_P,y_P,z_P)$ a un plano $\pi:Ax+By+Cz+D=0$ viene dado por
$$d(P,\pi)=\left|\dfrac{Ax_P+By_P+Cy_P+D}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}\right|$$
Poniendo los datos del problema: $A=1$, $B=-1$, $C=1$, $D=2$; $x_P=1$, $y_P=1$,$z_P=1$, encontramos
$$d(P,\pi)=\left|\dfrac{1\cdot 1+(-1)\cdot 1+1\cdot 1+2}{ \sqrt{1^2+(-1)^2+1^2}}\right|=\dfrac{3}{\left|\sqrt{3}\right|}=\left|\sqrt{3}\right| \, \text{unidades de longitud}$$
$\square$
miércoles, 25 de febrero de 2015
Cálculo de primitivas
ENUNCIADO:
Calcular la integral indefinida $$\int x\,e^{x^2}\,dx$$
SOLUCIÓN:
Haciendo el cambio de variable $e^{x^2}=t$, $$dt=\left( e^{x^2} \right)' \,dx$$
es decir
$$dt=2x\,e^{x^2} \,dx$$
Así, $$\int x\,e^{x^2}\,dx=\dfrac{1}{2}\,\int dt=\dfrac{1}{2}\,t+k=\dfrac{1}{2}\, e^{x^2}+C$$
Comentario:
Otra forma, más directa, de resolverlo es poner la función del integrando bajo el signo diferencial:
$$\int x\,e^{x^2}\,dx=\dfrac{1}{2}\,\int d\left( e^{x^2} \right)=\dfrac{1}{2}\,e^{x^2}+C$$
$\square$
Calcular la integral indefinida $$\int x\,e^{x^2}\,dx$$
SOLUCIÓN:
Haciendo el cambio de variable $e^{x^2}=t$, $$dt=\left( e^{x^2} \right)' \,dx$$
es decir
$$dt=2x\,e^{x^2} \,dx$$
Así, $$\int x\,e^{x^2}\,dx=\dfrac{1}{2}\,\int dt=\dfrac{1}{2}\,t+k=\dfrac{1}{2}\, e^{x^2}+C$$
Comentario:
Otra forma, más directa, de resolverlo es poner la función del integrando bajo el signo diferencial:
$$\int x\,e^{x^2}\,dx=\dfrac{1}{2}\,\int d\left( e^{x^2} \right)=\dfrac{1}{2}\,e^{x^2}+C$$
$\square$
viernes, 27 de junio de 2014
El problema de los aniversarios
Enunciado: El problema de los aniversarios
Cierto número $n$ de personas se encuentran reunidas en una sala de fiestas. El animador escoge a una de ellas y le pregunta si cree muy probable que entre los presentes haya por lo menos dos personas que cumplan años el mismo día del año. ¿ Si fuese usted el espectador al que se le pregunta qué respondería ?
Solución:
Muchas personas tienden a dar una probabilidad muy pequeña como respuesta a dicha pregunta, pues engañados por su intuición, les parece que así debería ser, lo cual es un error. Resolvamos el problema, que, por cierto, fue popularizado a raiz de la publicación de un trabajo de Zoe Emiliy Schnabel, en 1938, en el American Mathematical Monthly que trataba sobre un problema de estimación: [ The Estimation of Total Fish Population of a Lake ].
Por la propiedad del contrario se cumple que P("por lo menos dos personas de entre un número n de personas reunidas coincidan en la fecha de su aniversario") = 1-P("no haya ninguna coincidencia). Veamos un ejemplo, suponiendo que el número de personas en la sala es $25$ y que partiendo del supuesto de que las fechas de nacimiento de cada una de ellas son independientes ( esto es, no hay mellizos o gemelos, y no se da ninguna circunstancia que invalide dicha independencia ), entonces, como la probabilidad que no haya ninguna coincidencia es $$\dfrac{365}{365}\cdot \dfrac{364}{365} \cdot \dfrac{363}{365} \cdot \ldots \cdot \dfrac{365-25+1}{365}$$
la probabilidad de que al menos haya una coincidencia es
$$1-\dfrac{365}{365}\cdot \dfrac{364}{365} \cdot \dfrac{363}{365} \cdot \ldots \cdot \dfrac{365-25+1}{365} \approx 0,57$$
que es más del $50\,\%$, en contra de la intuición por la que, en un principio, sin reflexionar demasiado, uno podría dejarse llevar a la hora de responder; evidentemente, para encontrar por lo menos dos personas que cumplan años el mismo día del año, de forma segura (probabilidad igual a $1$, esto es del $100\,\%$ ), debería haber en la sala un mínimo de $365+1$ personas, de acuerdo con el principio de recuento del palomar o de las cajas de Dirichlet, lo cual es ciertamente correcto, pero de lo que se trata es de calcular la probabilidad para el caso en que $n \le 365$, que es lo interesante. Vamos a arrojar un poco de luz sobre este asunto.
Podemos expresar el cálculo que hemos realizado de manera adecuada, para poder hacer algunos cálculos que nos permitan acabar de esclarecer qué es lo que realmente se obtiene para un número arbitrario de personas, $n$: $$P(\text{al menos dos personas coincidan en su aniversario})=\displaystyle 1-\dfrac{\prod_{i=365-n+1}^{365}\,i}{365^n} $$
Comprobemos, primero, que la probabilidad de que al menos dos coincidan en la fecha de su aniversario para un número pequeño de personas es -- tal como nos podría parecer sin hacer ningún cálculo -- pequeña; en efecto, si en la sala sólo hay dos personas, se obtiene una probabilidad muy pequeña, como debe ser:
$$\displaystyle 1-\dfrac{\prod_{i=365-2+1}^{365}\,i}{365^2} = 0,00274 \approx 0,27 \,\%$$
En este caso, podemos hacer un cálculo más sencillo, razonando de la siguiente manera: si sólo hay dos personas en la sala, habiendo seleccionado una, la probabilidad que la otra cumpla años el mismo día que los cumple la primera es, por el principio de Laplace, igual a $\dfrac{1}{365}$, que es igual, evidentemente al
resultado que se obtiene a partir de la fórmula deducida para el caso general, esto es, $0,00274$.
Hemos visto antes que, para $n=25$ la probabilidad es ya mucho mayor, lo cual debería habernos causado ya una cierta sorpresa. Veamos qué ocurre para $n=30$
$$P(\text{al menos dos personas coincidan})=\displaystyle 1-\dfrac{\prod_{i=365-30+1}^{365}\,i}{365^{30}} \approx 71\,\%$$
y para $n=40$:
$$P(\text{al menos dos personas coincidan})=\displaystyle 1-\dfrac{\prod_{i=365-40+1}^{365}\,i}{365^{40}} \approx 90\,\%$$
Así que, para valores de $n$ "no muy grandes" ( una sala de fiestas tiene un aforo mucho mayor que $40$, que es el valor para el que acabamos de ver que la probabilidad es ya muy alta ) enseguida rozamos el $99\,\%$ de probabilidad; en efecto, para $n=55$ obtenemos
$$P(\text{al menos dos personas coincidan})=\displaystyle 1-\dfrac{\prod_{i=365-55+1}^{365}\,i}{365^{55}} \approx 99\,\%$$
por lo que la persona a la cual preguntaba el animador podría responder a su pregunta dando una probabilidad superior al $99\,\%$ para un número de personas superior a $55$.
En resumen, la probabilidad de que se den muchas coincidencias es mucho más alta de lo que, aparentemente, nos pueda parecer; el problema del aniversario es un ejemplo de ello y se inspiró en su en las conclusiones a las que llegó Zoe Emily Schnabel en su trabajo sobre estimación de la población de peces en un lago, que fue, en su momento, un hallazgo muy importante en estadística aplicada a la ecología.
-oOo- Observaciones:
Los cálculos, que son demasiado costosos para hacerlos con una calculadora científica básica, se han realizado con una calculadora TI Voyage 200 ( alternativamente, con MAXIMA ).
-oOo-
Comentarios:
(1) Pero, cuidado, el animador, habiendo dado respuesta a su pregunta, podría hacer otra más, aparentemente muy parecida, pero muy distinta a la que ya hemos dado respuesta:
"-- Entonces, ¿ cree usted ( refiriéndose a una determinada persona ) que la probabilidad de encontrar en la sala exactamente una persona que cumpla años el mismo día que usted, ronda ese valor tan alto, como ha dicho antes ? ( en la sala hay $55$ personas, incluido usted )
Cabe, ahora, no caer en la respuesta fácil de contestar afirmativamente -- lo cual , aparentemente, se seguiría de la respuesta a la primera pregunta --, pues sería un error: la pregunta que se hace ahora no es la misma. Fijémonos en el hecho de que al preguntar a una persona, fijamos como dato su fecha de nacimiento lo cual no hacíamos al responder a la primera pregunta, y esto, claro, hace que la probabilidad pedida ahora sea mucho menor. Hagamos el cálculo para darnos cuenta de ello; en este caso debemos entender este segundo problema como un problema de distribución binomial de una variable aleatoria $X$ ( número de personas de la cuyo aniversario coincide con el de una de ellas, a la que se le hace la pregunta ), y, por tanto, los valores que puede tomar son $\{0,1,2,\ldots,54\}$ ( lógicamente, debemos descontar del total a la persona preguntada ). Entonces, por la función de cuantía de dicha distribución de probabilidad sabemos que $\displaystyle P\{X=i\}=\binom{n}{i}\,p^{i}\,(1-p)^{n-i}$, donde $i \le n$
Así, pues, la respuesta a la pregunta vendrá dada por
$\displaystyle P\{X=1\}=\binom{54}{1}\,(\dfrac{1}{365})^{1}\,(1-\dfrac{1}{365})^{54-1} \approx 13\,\%$, que evidentemente es más bien, pequeña. Fijémonos que ésto no contradice lo encontrado antes, pues la pregunta es distinta ahora, por referirse a una persona en concreto (a la persona preguntada), cuyo aniversario pueda coincidir con alguna de las otras personas de la sala.
(2) Incluso si la pregunta hubiese sido
"-- ¿ cree usted que la probabilidad de encontrar alguna de las otras personas del público que cumpla años el mismo día que usted, es tan alta como ha dicho antes ? ( en la sala hay $55$ personas, incluido usted )
la probabilidad que se encuentra es bastante pequeña; en efecto
$\displaystyle P\{X \le 54\}=P\sum_{i=1}^{54}\,P\{X=i\}=\sum_{i=1}^{54}\,\binom{54}{i}\,(\dfrac{1}{365})^{i}\,(1-\dfrac{1}{365})^{54-i} \approx 14\,\%$
$\square$
Cierto número $n$ de personas se encuentran reunidas en una sala de fiestas. El animador escoge a una de ellas y le pregunta si cree muy probable que entre los presentes haya por lo menos dos personas que cumplan años el mismo día del año. ¿ Si fuese usted el espectador al que se le pregunta qué respondería ?
Solución:
Muchas personas tienden a dar una probabilidad muy pequeña como respuesta a dicha pregunta, pues engañados por su intuición, les parece que así debería ser, lo cual es un error. Resolvamos el problema, que, por cierto, fue popularizado a raiz de la publicación de un trabajo de Zoe Emiliy Schnabel, en 1938, en el American Mathematical Monthly que trataba sobre un problema de estimación: [ The Estimation of Total Fish Population of a Lake ].
Por la propiedad del contrario se cumple que P("por lo menos dos personas de entre un número n de personas reunidas coincidan en la fecha de su aniversario") = 1-P("no haya ninguna coincidencia). Veamos un ejemplo, suponiendo que el número de personas en la sala es $25$ y que partiendo del supuesto de que las fechas de nacimiento de cada una de ellas son independientes ( esto es, no hay mellizos o gemelos, y no se da ninguna circunstancia que invalide dicha independencia ), entonces, como la probabilidad que no haya ninguna coincidencia es $$\dfrac{365}{365}\cdot \dfrac{364}{365} \cdot \dfrac{363}{365} \cdot \ldots \cdot \dfrac{365-25+1}{365}$$
la probabilidad de que al menos haya una coincidencia es
$$1-\dfrac{365}{365}\cdot \dfrac{364}{365} \cdot \dfrac{363}{365} \cdot \ldots \cdot \dfrac{365-25+1}{365} \approx 0,57$$
que es más del $50\,\%$, en contra de la intuición por la que, en un principio, sin reflexionar demasiado, uno podría dejarse llevar a la hora de responder; evidentemente, para encontrar por lo menos dos personas que cumplan años el mismo día del año, de forma segura (probabilidad igual a $1$, esto es del $100\,\%$ ), debería haber en la sala un mínimo de $365+1$ personas, de acuerdo con el principio de recuento del palomar o de las cajas de Dirichlet, lo cual es ciertamente correcto, pero de lo que se trata es de calcular la probabilidad para el caso en que $n \le 365$, que es lo interesante. Vamos a arrojar un poco de luz sobre este asunto.
Podemos expresar el cálculo que hemos realizado de manera adecuada, para poder hacer algunos cálculos que nos permitan acabar de esclarecer qué es lo que realmente se obtiene para un número arbitrario de personas, $n$: $$P(\text{al menos dos personas coincidan en su aniversario})=\displaystyle 1-\dfrac{\prod_{i=365-n+1}^{365}\,i}{365^n} $$
Comprobemos, primero, que la probabilidad de que al menos dos coincidan en la fecha de su aniversario para un número pequeño de personas es -- tal como nos podría parecer sin hacer ningún cálculo -- pequeña; en efecto, si en la sala sólo hay dos personas, se obtiene una probabilidad muy pequeña, como debe ser:
$$\displaystyle 1-\dfrac{\prod_{i=365-2+1}^{365}\,i}{365^2} = 0,00274 \approx 0,27 \,\%$$
En este caso, podemos hacer un cálculo más sencillo, razonando de la siguiente manera: si sólo hay dos personas en la sala, habiendo seleccionado una, la probabilidad que la otra cumpla años el mismo día que los cumple la primera es, por el principio de Laplace, igual a $\dfrac{1}{365}$, que es igual, evidentemente al
resultado que se obtiene a partir de la fórmula deducida para el caso general, esto es, $0,00274$.
Hemos visto antes que, para $n=25$ la probabilidad es ya mucho mayor, lo cual debería habernos causado ya una cierta sorpresa. Veamos qué ocurre para $n=30$
$$P(\text{al menos dos personas coincidan})=\displaystyle 1-\dfrac{\prod_{i=365-30+1}^{365}\,i}{365^{30}} \approx 71\,\%$$
y para $n=40$:
$$P(\text{al menos dos personas coincidan})=\displaystyle 1-\dfrac{\prod_{i=365-40+1}^{365}\,i}{365^{40}} \approx 90\,\%$$
Así que, para valores de $n$ "no muy grandes" ( una sala de fiestas tiene un aforo mucho mayor que $40$, que es el valor para el que acabamos de ver que la probabilidad es ya muy alta ) enseguida rozamos el $99\,\%$ de probabilidad; en efecto, para $n=55$ obtenemos
$$P(\text{al menos dos personas coincidan})=\displaystyle 1-\dfrac{\prod_{i=365-55+1}^{365}\,i}{365^{55}} \approx 99\,\%$$
por lo que la persona a la cual preguntaba el animador podría responder a su pregunta dando una probabilidad superior al $99\,\%$ para un número de personas superior a $55$.
En resumen, la probabilidad de que se den muchas coincidencias es mucho más alta de lo que, aparentemente, nos pueda parecer; el problema del aniversario es un ejemplo de ello y se inspiró en su en las conclusiones a las que llegó Zoe Emily Schnabel en su trabajo sobre estimación de la población de peces en un lago, que fue, en su momento, un hallazgo muy importante en estadística aplicada a la ecología.
Los cálculos, que son demasiado costosos para hacerlos con una calculadora científica básica, se han realizado con una calculadora TI Voyage 200 ( alternativamente, con MAXIMA ).
Comentarios:
(1) Pero, cuidado, el animador, habiendo dado respuesta a su pregunta, podría hacer otra más, aparentemente muy parecida, pero muy distinta a la que ya hemos dado respuesta:
"-- Entonces, ¿ cree usted ( refiriéndose a una determinada persona ) que la probabilidad de encontrar en la sala exactamente una persona que cumpla años el mismo día que usted, ronda ese valor tan alto, como ha dicho antes ? ( en la sala hay $55$ personas, incluido usted )
Cabe, ahora, no caer en la respuesta fácil de contestar afirmativamente -- lo cual , aparentemente, se seguiría de la respuesta a la primera pregunta --, pues sería un error: la pregunta que se hace ahora no es la misma. Fijémonos en el hecho de que al preguntar a una persona, fijamos como dato su fecha de nacimiento lo cual no hacíamos al responder a la primera pregunta, y esto, claro, hace que la probabilidad pedida ahora sea mucho menor. Hagamos el cálculo para darnos cuenta de ello; en este caso debemos entender este segundo problema como un problema de distribución binomial de una variable aleatoria $X$ ( número de personas de la cuyo aniversario coincide con el de una de ellas, a la que se le hace la pregunta ), y, por tanto, los valores que puede tomar son $\{0,1,2,\ldots,54\}$ ( lógicamente, debemos descontar del total a la persona preguntada ). Entonces, por la función de cuantía de dicha distribución de probabilidad sabemos que $\displaystyle P\{X=i\}=\binom{n}{i}\,p^{i}\,(1-p)^{n-i}$, donde $i \le n$
Así, pues, la respuesta a la pregunta vendrá dada por
$\displaystyle P\{X=1\}=\binom{54}{1}\,(\dfrac{1}{365})^{1}\,(1-\dfrac{1}{365})^{54-1} \approx 13\,\%$, que evidentemente es más bien, pequeña. Fijémonos que ésto no contradice lo encontrado antes, pues la pregunta es distinta ahora, por referirse a una persona en concreto (a la persona preguntada), cuyo aniversario pueda coincidir con alguna de las otras personas de la sala.
(2) Incluso si la pregunta hubiese sido
"-- ¿ cree usted que la probabilidad de encontrar alguna de las otras personas del público que cumpla años el mismo día que usted, es tan alta como ha dicho antes ? ( en la sala hay $55$ personas, incluido usted )
la probabilidad que se encuentra es bastante pequeña; en efecto
$\displaystyle P\{X \le 54\}=P\sum_{i=1}^{54}\,P\{X=i\}=\sum_{i=1}^{54}\,\binom{54}{i}\,(\dfrac{1}{365})^{i}\,(1-\dfrac{1}{365})^{54-i} \approx 14\,\%$
$\square$
sábado, 7 de diciembre de 2013
Dados los puntos del espacio euclídeo $\mathbb{R}^3$ $P(1,0,-1)$ i $Q(-1,2,3)$ encontrar el punto $R$ de la recta $r:\,\dfrac{x+3}{2}=\dfrac{y+4}{3}=\dfrac{z-3}{-1}$ que cumpla que el triángulo $\triangle{PQR}$ sea isósceles, siendo $\overline{PR}$ i $\overline{QR}$ los lados de igual longitud.
Enunciado:
Dados los puntos del espacio euclídeo $\mathbb{R}^3$
$P(1,0,-1)$ i $Q(-1,2,3)$
encontrar el punto $R$ de la recta
$r:\,\dfrac{x+3}{2}=\dfrac{y+4}{3}=\dfrac{z-3}{-1}$
que cumpla que el triángulo $\triangle{PQR}$ sea isósceles, siendo $\overline{PR}$ i $\overline{QR}$ los lados de igual longitud.
Solución:
Las componentes de un vector director de $r$ - recordemos que las coordenadas de un vector, expresado éste respecto a la base canónica, suelen ser designadas como componentes del mismo - vienen dados por los denominadores de la ecuación en forma continua de la recta, por tanto
$\vec{u}=(2,3,-1)$
Si el triángulo $\triangle{PQR}$ es isósceles y los lados iguales son $\overline{PR}$ y $\overline{QR}$ deberá cumplirse
$\angle ( \vec{u},\vec{RP} )=\pi-\angle ( \vec{u},\vec{RQ} ) \Rightarrow \cos \big( \angle ( \vec{u},\vec{RP} ) \big)=-\cos \big ( \angle ( \vec{u},\vec{RQ} ) \big)$
luego, según la definición del producto escalar euclídeo,
$\dfrac{[\vec{u},\vec{RP}]}{||\vec{u}||\,||\vec{RP}||}=-\dfrac{[\vec{u},\vec{RQ}]}{||\vec{u}||\,||\vec{RQ}||}$
y como
$||\vec{RP}||=||\vec{RQ}||$
podemos escrbir
$\left \langle \vec{u},\vec{RP} \right \rangle=- \left \langle \vec{u},\vec{RQ} \right \rangle\quad \quad \quad (*)$
====
Nota:
$\left \langle.\;,\;.\right \rangle$ denota el producto escalar usual ( expresando los vectores respecto de la base canónica ), es decir, $\left \langle v,w \right \rangle=v_{x}\,w_{x}+v_{y}\,w_{y}+v_{z}\,w_{z}$
====
de aquí, si $R(x_R,y_R,z_R)$ y teniendo en cuenta los vectores de posición y su relación vectorial
$\vec{RP}=\vec{OP}-\vec{OR}$ i $\vec{RQ}=\vec{OQ}-\vec{OR}$
podemos escribir:
$\vec{RP}=(1-x_R,0-y_R,-1-z_R)$
y
$\vec{RQ}=(-1-x_R,2-y_R,3-z_R)$
calculando, ahora, el valor del producto escalar de ambos miembros de (*), llegamos a:
$\left \langle\vec{u},\vec{RP} \right \rangle=\left \langle(2,3,-1),(1-x_R,0-y_R,-1-z_R)\right \rangle$
$=2\,(1-x_R)-3\,y_R+(1+z_R)$
$\left \langle\vec{u},\vec{RQ}\right \rangle=\left \langle(2,3,-1),(-1-x_R,2-y_R,3-z_R) \right \rangle$
$=-2\,(1+x_R)+3\,(2-y_R)-(3-z_R)$
simplificiando e igualando las dos expresiones, podemos escribir
$2\,x_R+3\,y_R-z_R=2\quad \quad \quad (1)$
Por otro lado, teniendo en cuenta que $R(x_R,y_R,z_R)$ es un punto de la recta $r$, se cumple la doble igualdad de la ecuación en forma continua de la recta:
$\dfrac{x_R+3}{2}=\dfrac{y_R+4}{3} \quad \quad \quad (2)$
$\dfrac{x_R+3}{2}=\dfrac{z_R-3}{-1} \quad \quad \quad (3)$
Resolviendo el sistema de ecuaciones formado por (1), (2) y (3), encontramos, finalmente, les coordenadas del punto $R$. El sistema queda,
$\left.\begin{matrix}2\,x_R & +&3\,y_R &-& z_R&=&2\\ x_R & & &+&2\,z_R &=&3\\3\,x_R & -&2\,y_R && &=&-1\\ \end{matrix}\right\}$
que vamos a reducir por Gauss, procediendo a realizar las siguientes operaciones elementales entre ecuaciones:
$2\,e_2-e_1 \rightarrow e_2$
$3\,e_1-e_e \rightarrow e_3$
obteniendo el sistema equivalente
$\left.\begin{matrix}2\,x_R & +&3\,y_R &-& z_R&=&2\\ & &-3\,y_R&+&5\,z_R&=&4\\ & &13\,y_R &-&3\,z_R &=&8\\ \end{matrix}\right\}$
por comodidad, intercambiamos el orden de la segunda y tercera incógnitas:
$\left.\begin{matrix}2\,x_R & -&z_R &+& 3\,y_R&=&2\\ & &5\,z_R&-&3\,y_R&=&4\\ & &-3\,z_R &+&13\,y_R &=&8\\ \end{matrix}\right\}$
y, finalmente, haciendo
$5\,e_3+3\,e_2 \rightarrow e_3$
llegamos al sistema escalonado ( reducido )
$\left.\begin{matrix}2\,x_R & -&z_R &+& 3\,y_R&=&2\\ & &5\,z_R&-&3\,y_R&=&4\\ & &&&56\,y_R &=&52\\ \end{matrix}\right\}$
cuyo número de ecuaciones no identicamente nulas es $3$, luego el número de ecuaciones linealmente independientes es $3$, que coincide con el número de incógnitas, luego, por el Teorema de Rouché, el sistema es compatible determinado ( tiene solución única ), tal como cabía esperar. Veamos cuál es la solución.
De la tercera ecuación se obtiene el valor de $y_R$
$y_R=\dfrac{52}{56}=\dfrac{13}{14}$
sustituyendo este valor en la segunda,
$z_R=\dfrac{4+3\cdot \frac{13}{14}}{5}=\dfrac{19}{14}$
y, a su vez, sustituyendo ambos en la primera ecuación,
$x_R=\dfrac{2-3\cdot \frac{13}{14}+\frac{19}{14}}{2}=\dfrac{2}{7}$
$\square$
domingo, 1 de diciembre de 2013
Sobre los errores
Desde luego, todos nos equivocamos. Pero, ciertamente, el error, bien empleado, constituye una herramienta de aprendizaje muy valiosa. Las erratas que el lector pudiera encontrar pueden ser debidas a la forma de exposición ( incluyendo los errores tipográficos ), o bien al cálculo.
Cuando, descubro que hay alguna errata en algo que ya había expuesto - esto sucede o bien al hacer las revisiones y actualizaciones de dichos materiales, o bien gracias a la amable colaboración de los alumnos ( que me lo comentan en clase ), o a la de otros usuarios de este sitio ( que me lo comentan por correo electrónico ), a los que les doy las gracias de antemano -, me apresuro a realizar los cambios y correcciones oportunas; sin embargo, a veces pasa algún tiempo hasta que no me doy cuenta, por lo que, de antemano, pido disculpas a los lectores, por si se diera el caso.
Cuando, descubro que hay alguna errata en algo que ya había expuesto - esto sucede o bien al hacer las revisiones y actualizaciones de dichos materiales, o bien gracias a la amable colaboración de los alumnos ( que me lo comentan en clase ), o a la de otros usuarios de este sitio ( que me lo comentan por correo electrónico ), a los que les doy las gracias de antemano -, me apresuro a realizar los cambios y correcciones oportunas; sin embargo, a veces pasa algún tiempo hasta que no me doy cuenta, por lo que, de antemano, pido disculpas a los lectores, por si se diera el caso.
Sobre los tipos de ejercicios
Los ejercicios que expongo son de diversa índole: a) problemas, que representan el tipo de ejercicio de mayor dificultad, pues trabajar con ellos requiere: comprender la naturaleza de los mismos, elaborar estrategias y enfoques, ser capaces de hacer los cálculos necesarios, y cotejar y analizar los resultados encontrados, teniendo que volver a empezar si algo no funcionara bien al final de dicho proceso; b) tareas rutinarias de cálculo en las cuales se utilizan las diversas técnicas y resultados de la teoría que, por supuesto, es necesario aprender y comprender, pues son indispensables para poder trabajar con los problemas; y, c) cuestiones, en las que intervienen definiciones, y demostraciones de resultados, que solemos emplear en las tareas rutinarias y en los problemas. Todos los ejercicios están resueltos y comentados; a veces, de varias maneras, para que se puedan ver las cosas desde varios enfoques; distintos, pero conducentes a unas mismas conclusiones y resultados y, por ello, enriquecedores.
Aprender y ayudar a aprender con las dudas
Con estos materiales espero ayudar resolver las viejas dudas a mis alumnos con mayor eficacia, reforzando, pues, mi labor en el aula; pero, también, deseo que se planteen nuevas preguntas y nuevos retos, para, así, no dejar de aprender; ello, por supuesto, es aplicable a todo en la vida, no sólo al aprendizaje de las matemáticas. Con todo ello yo, por supuesto, también aprendo. A veces, creemos haber "entendido" algo, pero tarde o temprano, barruntado sobre tales cosas, y a raíz de algo que requiera su comprensión, uno descubre que no es así, y, en realidad, se hace evidente que aún faltaban piezas por encajar, por lo que hay que volver sobre nuestros pasos, para poder seguir avanzando. Así, pues, el hecho de aprender es una aventura; esforzada, pero también gratificante desde el punto de vista emocional e intelectual, a la que no se debería renunciar.
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