Cierta fundación ha destinado $247\,000$ euros para la dotación de $115$ becas de estudio (...)

ENUNCIADO. Cierta fundación ha destinado $247\,000$ euros para la dotación de $115$ becas de estudio. El importe de cada beca es de $3000$ euros, si el estudiante cursa un grado universitario; de $2000$ euros, si cursa formación profesional; y de $1500$ euros, si realiza estudios de postgrado. Sabiendo que la fundación ha concedido doble número de becas de formación profesional que de postgrado, ¿ cuántas becas ha concedido a cada nivel de estudios ?.

SOLUCIÓN.
Denotemos por $x$ el número de becas para estudios de grado universitario, por $y$ el número de becas de formación profesional, y por $z$ el número de becas de postgrado. Entonces, $$\left\{\begin{matrix}x&+&y&+&z&=&115 \\ 3000x&+&2000y&+&1500z&=&247000\\ &&y&-&2z&=&0 \end{matrix}\right.$$ Despejando $y$ de la tercera ecuación y sustituyendo en las los primeras, $$\left\{\begin{matrix}x&&&+&3z&=&115 \\ 3000x&&&+&5500z&=&247000\\ &&y&-&2z&=&0 \end{matrix}\right.$$ simplificando la segunda ecuación, $$\left\{\begin{matrix}x&&&+&3z&=&115 \\ 6x&&&+&11z&=&494\\ &&y&-&2z&=&0 \end{matrix}\right.$$ y sustituyendo la segunda ecuación por el resultado de la combinación $-6e_1+e_2$ llegamos al sistema equivalente $$\left\{\begin{matrix}x&&&+&3z&=&115 \\ &&&&-7z&=&-196\\ &&y&-&2z&=&0 \end{matrix}\right.$$ De la segunda ecuación resultante, y despejando $z$, obtenemos $$z=28 \;\text{becas de postgrado}$$ Sustituyendo este valor en la tercera ecuación encontramos $$y=56\;\text{becas de formación profesional}$$ Finalmente, sustituyendo los valores que hemos hallado de $z$ y de $y$ en la primera ecuación, se obtiene $$x=31 \; \text{becas de grado universitario}$$
$\square$