Dado el sistema de ecuaciones (...)

ENUNCIADO. Dado el sistema de ecuaciones $$\left\{\begin{matrix}2x&+&(a-1)y&-&2z&=&a \\ 2x&+&y&-&az&=&2 \\ -x&+&y&+&z&=&1-a\end{matrix}\right.$$ se pide:
a) Discutirlo según los valores del parámetro $a$
b) Resolverlo cuando sea posible

SOLUCIÓN.
a)
Procedimiento I ( Estudio de los rangos por reducción de Gauss ).
Recordemos que el rango de una matriz, una vez reducida por Gauss, es igual al número de filas no nulas.
La matriz ampliada de los coeficientes del sistema es $\tilde{A}=\left(\begin{array}{ccc|c}2 & a-1 & -2 & a \\ 2 & 1 & -a & 2 \\ -1 & 1 & 1 & 1-a \end{array}\right)$ Reordenando las filas, su rango equivale al de la matriz $\left(\begin{array}{ccc|c}-1 & 1 & 1 & 1-a \\ 2 & a-1 & -2 & a \\ 2 & 1 & -a & 2 \end{array}\right)$ Procedemos ahora a reducirla por Gauss. Mediante las operaciones elementales entre filas $2f_1+f_2 \rightarrow f_2;2f_1+f_3 \rightarrow f_3$ obtenemos la siguiente matriz equivalente en rango $\left(\begin{array}{ccc|c}-1 & 1 & 1 & 1-a \\ 0 & a+1 & 0 & 2-a \\ 0 & 3 & 2-a & 4-2a \end{array}\right)$ Permutando el orden de la segunda y de la tercera filas, se llega a esta otra matriz equivalente en rango $\left(\begin{array}{ccc|c}-1 & 1 & 1 & 1-a \\ 0 & 3 & 2-a & 4-2a \\ 0 & a+1 & 0 & 2-a \end{array}\right) \overset{-\frac{1}{3}(a+1)\,f_2+f_3 \rightarrow f_3}{\sim}$
$$\sim \left(\begin{array}{ccc|c}-1 & 1 & 1 & 1-a \\ 0 & 3 & 2-a & 4-2a \\ 0 & 0 & \frac{1}{3}\,(a-2)(a+1) & \frac{1}{3}\,(1-2a)(2-a) \end{array}\right)$$

A partir de aquí, y teniendo en cuenta el teorema de Rouché-Fröbenius, aparecen los siguientes casos:

1. Si $a=2$, $\tilde{a}_{33}=\tilde{a}_{34}=0$ y por tanto la tercera fila es nula, luego al haber dos filas no nulas tanto en $A$ como en $\tilde{A}$, $\text{rg}(A)=\text{rg}(\tilde{A})=2 \prec n=3$, así que el sistema es compatible indeterminado con $n-r=3-2=1$ variable secundaria y $r=2$ variables principales

2. Si $a=-1$, $\tilde{a}_{33}=0$ pero $\tilde{a}_{34}\neq 0$, luego $\text{rg}(A)=2$ y $\text{rg}(\tilde{A})=3$. Al no coincidir los rangos el sistema es incompatible

3. Para otros valores de $a$ distintos de $2$ y $-1$, $\text{rg}(A)=\text{rg}(\tilde{A})=3 = n$ y por tanto el sistema es compatible determinado. OBSERVACIÓN 1: Si bien $a=1/2$ anula el coeficiente $\tilde{a}_{34}$, no anula $\tilde{a}_{33}$, así que aunque $a$ tome ese valor ello no impide que el rango de $\tilde{A}$ no sea $3$.

Procedimiento II ( Estudio de los rangos empleando determinantes ).
Recordemos que el rango de una matriz corresponde al orden del mayor menor no nulo que contenga dicha matriz.
Es evidente que el menor $$\begin{vmatrix}2 & 1 \\ -1 & 1\end{vmatrix} \neq 0$$ y por tanto podemos afirmar que los rangos de la matriz $A$ y de la matriz $\tilde{A}$ son iguales o mayores que $2$. Cabe ahora discernir para qué valores de $a$ dichos rangos pueden ser igual a $3$ para, empleando el teorema de Rouché-Fröbenius, clasificar todos los posibles casos.

Ahora emplearemos el método del orlado de dicho menor para realizar este estudio. Orlándolo, aparecen sólo dos menores de orden $3$:
$$\Delta_1=\begin{vmatrix} 2 & a-1 & -2 \\ 2 & 1 & -a \\ -1 & 1 & 1 \end{vmatrix}=(a-2)(a+1)$$ y $$\Delta_2=\begin{vmatrix} 2 & a-1 & a \\ 2 & 1 & 2 \\ -1 & 1 & 1-a \end{vmatrix}=(a-2)(2a-1)$$
NOTA: Dejo que el lector haga los cálculos pormenorizados de los determinantes, para comprobar que salen los resultados mostrados.

De todo ello podemos distinguir los siguientes casos que, naturalmente, coinciden con los que hemos visto empleando el primer procedimiento:
1. Si $a=2$, $\Delta_1=\Delta_2=0$ luego $\text{rg}(A)=\text{rg}(\tilde{A})=2 \prec n=3$, así que el sistema es compatible indeterminado con $n-r=3-2=1$ variable secundaria y $r=2$ variables principales

2. Si $a=-1$, $\Delta_1=0$ pero $\Delta_2 \neq 0$, luego $\text{rg}(A)=2$ y $\text{rg}(\tilde{A})=3$. Al no coincidir los rangos el sistema es incompatible

3. Para otros valores de $a$ distintos de $2$ y $-1$, $\Delta_1\neq 0$ y $\Delta_2 \neq 0$ lo cual implica que $\text{rg}(A)=\text{rg}(\tilde{A})=3 = n$ y por tanto el sistema es compatible determinado.

OBSERVACIÓN 2. Debemos recordar ahora el comentario hecho en la OBSERVACIÓN 1 ( del Procedimiento I ), con respecto a la posibilidad de que $a$ tome el valor $1/2$. Ello no impide que el rango de la matriz $\tilde{A}$ sea $3$, pues a pesar de que $\Delta_2$ se anula para dicho valor, $\Delta_1$ ( que es también un menor de $\tilde{A}$ ) es distinto de cero.

b)
Vamos a resolver ahora el sistema para los casos en que éste es compatible, esto es, para los casos 1 y 3.

Solución para el caso 3 ( sistema compatible determinado ):
El sistema equivalente reducido ( por Gauss ) es $$\left\{\begin{matrix}-x&+&y&+&z&=&1-a \\ &&3y&+&(2-a)z&=&2(2-a)\\ &&&&\dfrac{1}{3}(a-2)(a+1)z&=&\dfrac{1}{3}(1-2a)(2-a)\end{matrix}\right.$$ Entonces, siempre que $a \notin \{-1,2\}$, despejando $z$ de la tercera ecuación obtenemos $$z=\dfrac{2a-1}{a+1}$$ Sustituyendo ésto en la segunda ecuación y despejando $y$ se llega a $$y=\dfrac{1}{a+1}$$ Y, finalmente, sustituyendo los valares encontrados para $x$ e $y$ en la primera ecuación, y despejando $x$ encontramos $$x=\dfrac{a^2+2a-1}{a+1}$$

Solución para el caso 1 ( sistema compatible indeterminado, con $2$ variables principales y $1$ variable secundaria ):
La solución consta de infinitos puntos, que dependerán de $1$ parámetro ( que corresponde a la variable secundaria ). Vamos a caracterizarlas. El sistema equivalente reducido por Gauss es ahora ( $a=2$ ) el siguiente, $$\left\{\begin{matrix}-x&+&y&+&z&=&-1 \\ &&3y&&&=&0 \end{matrix}\right.$$

Es obvio que $y=0$ ( de la segunda ecuación ). Sustituyendo ésto en la primera y tomando $z$ como variable secundaria ( la denotamos por $\lambda$ ) llegamos a $x=\lambda+1$. Entonces la solución del sistema para este caso es el conjunto de infinitos puntos ( de $\mathbb{R}^3$ ) $$\{(\lambda+1,0,\lambda); \lambda \in \mathbb{R}\}$$
$\square$